В.Н. Нефедов, В.А. Осипова - Курс дискретной математики (1127083), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Какое слово бмло передана? 2. Пусть !!0!ООП и ПСО)1П вЂ искаженн слова (47)-кода Хеммннга с проверкой на четносгь. Какое нв слов содержит олниочную, а какое двойную ошибку? Определшь положение адниочной ошибки. э-?шв КОМБИНАТОРИКА ПНАВА й Оскс»на» задача комбнвзторнкн — пересчет н перев»ею»не элементов в нонечвых множесгвак.
Если нас ннтересуег, сколько элементов, прнналлежашнк заданному конечному множесг. ну, обладает неноторым свойством нлн заланным набором свойств, то эта задача ларесчста. Еслн лля какнх-лаба целей не. обходнмо выделить все элементы множества, удовлетворяющве валаиным свойствам, то это э»леча леле»пеленг»к В некоторых задачах на нскоднам конечном множестве элемегпо» огграчечеггэ пекотора» целевая функцц», прячем нас интересуют элементы множеств», доставляющие мнннмальное (нлн максимальное) значение этой функннп. В зтам случае имеем задачу опт»вше.
пои. Прн этом «од решением задача аптнмнзацнп в смгыюл с»мохе поннмаетс» совокупность всех элементов, достаелягошнк мин»малыше (пзн мансвмальное) значение целевой функцнн, а под решеннсм задачи в слобо» смысле в праязвольный элемент, доставляющий ыкннмальное (нлн макснмальное) значе. пне целевой фу»пенн. Иногда внтересунпся лншь мннпмальнмн (нлв максимальным) значением функции. Перечисленные задач» тесно связаны друг с другом. Например, нрн решенин задач оптнмнзацнн обычно предполагается, по ны располагаем мещ. дом перечвслення элементов походного множества (которое, кан правило.
явл»етс» совокупностью элементов некоторого бя лес широкого множества, удовлетеоряющгщ залапным своды" вам), э дл» тога чтобы оценить эффепгнвносгь методов перечислен»н взв алтнмнзацнв. часто целесообразно решнть задачу верссчета элементов в исходном множе тве нл» в некоторых еш нодмгюжествах. ЗЛ. КОМБННАТОРНЫЕ СХЕМЫ Приведем некоторые начзнькые сведения нз комбннамгрнко й 1.1. Правила суммы, произведения Х- к ес кнщюм. ы нне зз ым з . Т л ю м,к Гыь( Тыл. южщ н» ся р мз (п х,(- х (х,(.
В комбннаторнке тпм факт назыааетс» правилом суммы. для й=2 оно формулнруется следующим образом. Если обьент з пожег быть выбран ж споссбамп, а объект р — друг»мы л спассбамн, то выбор лабо з, лнбо р» мажет быть осуществлен м+л способамп. Другнм часто применяемым в номбнпаторкке прав»лом »власте» щюанло крокзеедскнк Еслн объект л может быть выбран м способамн к после каждого кз таких выборов объект р в аюю очередь может быть выбран л способамп, то выбор упарялочевной пары щз, р) может быть осуществлен тл способамн.
т л »кзмтм х, м зк е з тына м», (х,(, г 1, Я,...,м, юа«е з ыз з<з,зле ь Ох„комюэ гсг и к 1 П х,1 - х (х,( - з. йты сформулнровалн н доказали правило пранэвгпення для последовательностк пэ двук объекгов. В общем случае правила арокзвелення формул»русте» следующнм образом. Если обьент з, мажет быть выбран л, способамн, носке чего объект э, может быть выбРап лз способамн н Лла любого 1, где 2Щ!щж — 1, «есле выбора объектов .тг...., .т, обьскт кы может быть выбран пы скскобамн, то выбор упорядоченной «оследоеательнсста нэ эг обьскгов <зь ль ..., к ) может бить ссУшествлен лгпг...л способамп. Обабшенное правнло пронзведення является следствнем правила нронзведення для упорядоченной пары абсентов и хаказы«аегс» методом мат»катк»есной нндукднн.
3.1.2. Размещення »сочетания Пабор элементов лг,,...,кь яэ множества х=(ю.... Х,г называется выборкой обьсма г нз л элементов нл», нначк (л, г)- выборкой Выборка называется ржгрядочснкой, *слн порядок следаванг<в элементов в ней задан. две упорпжженныс выборки, разтнчающпсся лнщь порядком следовапв» элементов. считаются различными. 3 гэ! Если порядок следовании элементов в выборке не являегщ существенным, то такая выборка называется иерлорлдочеигюйт В выборках могут допускаться илн ие допускаться повторе'. ния элементов. Упорядоченная (л, г)-выборка, в которой эле; иеиты могут повторяться, называется (л, г)-Размен(еиием с дое.
торсиилми. Если элементы упорядоченной (л, г)-выборка по. парно различны, то она называется (и, г)-Размен(синем без лавтореииа нлн просто (л, г)-размещением. Будем, кроме тога, (л, «)-размещения без повторений называть лергсгалоека ч множества Х. Неупорядоченная (л, г)-выбориа, в которой эле. менты могут повторяться, называется (», г)-сочетанием с лонго. реиилми.
Если элементы неупорядоченной (и, г)-выборки попар. но раз.тачки, то она называется (л, г)-сочегалием без гюаторе. иий илн проста (л, г)-сочсгалием. Заметим, что любое (л, г)-сочетание можно рассматривать как г-элементное подмножестве л-элементного множества. Пример 3.1. Пусть Х=(1, 2, 3).
Тогда: !) <1,1), <1,2), <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>, <3,1>, <3,2>, <З,З> — (3,2)-размещения с йовторепними! 2) <1,2>, <1,3>, <2,1), <23>, <3,!>, <32> — (32)-размещения; 3) (1,!), (1,2, (1,3), (2,2). (2,3), (3,3) — (3,2)-сочетания с повторениями, 4) 1,2), (1,3), (2,3) — (3,2)-сочетания. ~.: .) .. - '.- нсло (л, г)-размещеенй с повторениями обозначаем через А"„а без повторений — через А" Число перестановок л-элементного множества обозначаем через Р„(т.
е. Р =А",), «!ис. ло [л. г)-сочетаний с повторениями обозначаем через Сок а бы повторений — через С" . Утверждение 3.1. А',=лк Действительно, каждое (л, г)-размещение с повторениями является упорядоченной последовательностью длины г, иричеи каждый член этой послеловательиости может бмть выбран лю. бым нз л способов, стнуда по обобщенному правилу произвеяе. иия н получаем требуемую формулу.
В дальнейшем для большей общности формул будем считать что 01=1. я! Утверждение 32. А'„=л(л — П,.(л — г+1)= — ' лри г< (а- )1 <л и А"„=О лри г) л. Рассмотрнн случай, когда г<л (случай г)л очевидеа), Каждое (л, г)-размещение без повторений явкяется упорядочен. иой последовательностью длины г, члены которой попарно раз личны и выбираются из множества с л злементамн.
Тогда перс вмй член этой последовательности может быть выбран л спо сабами, после каждого выбора первого члена последовательности второй шен может быть выбран и — 1 снособами н т. д. Со. ответственно после каждого выбора первого и т. д. (г — 1)а~ членов последовательности г-й член может быть выбра . 1ЗЯ л — (г — '1) м-г+1 спсссбаьщ, откуда ио обобщенному праввлу произведения н получаем требуемую формулу. Следстэие. Р„А,=л(л — 1)...1 л! Утверждение 3.3, С „ А' ! пря гж:и, л СЫ 0 Л (я-г)!Л лри г>л Рассмотрим негривиатьный скучай, ногда г(л Каждое (я, г]-сочстание можно упорялочить г! сжкобами. Объединение получаемык таким образом попарно неперссснающихся множеств (л, «)-размещений для всех возможных (л, г)-сочетаний, очевидно, даст есс (л, г)-размещения.
Тогда по правилу суммы имеем А! Ег( С' г! (злесь суммирование производите» па всем (л, г)-сочетаниям без повторений). откуда С' = — ". Яы ! Утверло!янис ЗА. С;=С Каждому (л, г)-сочетаняю В с повторениями, ссставленно. му аз элементов множества К= (хь, х ), постланы в соотзег. стане вектор а(В) длсны л+г — 1 иэ г нулей и л — 1 единиц такой, что число пулей, находящихся между (! — 1)-й н !-й единя. нами, где йж;гщю — 1, будет равно числу элементов хь входящих в сочетание В, а число нулей, спжщнх перед первой единя.
пей (посте (л — 1).й елянпцы), равно числу элементов х~ (со. ответственно х ), входящих в сочетание В. Это ссотеетсгвие между (л, г)-сс4етаниями с повторениями я еенторамн с и — 1 еднннцамп н г нулями взаимно однозначно (см. ниже ириней 3.2). С другой стороны, число векторов с л — 1 единицами н г нулями равно числу г-элементных множеств (номеров вулевык номпонент в векторах), явлнющяхс» подмножествами (л+г — 1)- щементнаго множества (1, 2, л+г — Ц (множества всек номеров компонент в венторал), т. е. анену (л+г — 1, г)-сочетаний без повторений. Таким образом,О,=Сты Пример 3.2. Пусть л=4, «=б, К=(1, 2, 3, 4), В=(2, 2, 3, 3. 3, 4) — (40)-сочетание с повторениями.
Тогда п(В)= 100100010. С другой стороны, если, напрлмер, п(В) = =1!0010000, то однозначно получаем, что В=(3, 3, 4, 4, 4, 4). Замечание 3А. При определении выборки предполагалось. 'ла сна содержит по крайней мере одни алемент. Однако длн общности рассуждений в число выборок часто включают н пустую выборну, не содержащую элементов.
Она единственна для асах рассмотренных нами случаев, т. е. Хс =Ас„=ьз„ Сч„= 1; прп этом формулы, приведенные в утверждениях 3.1 — 34, остаются справедливымн. 3.1 3. Раэыагцглня и фуикциоиальиме отображения Обцначнм через У» множество всех отображений ): К-ьУ. !е-!зщ 133 Прнмер 3.6. В скольких случзял прн выборе нз «плоды в 62 кврты 10 карт среди нпк окажутся все 4 туза! Искаючвв нв рассмотренна тузы, получпм, что выбираются б карт нз 43, а такой выбор можно гкущесгввть Сьев способами. Врнмер 3.7.
Имеется 30 мансг достоинством 1. 2 н 3 копей«я. Скольно существует различных комбвнацнй монет (напрныер, 3 монеты по 1 копейке, 17 — по 2 копейюн 10 — по Э копейки)р По условням задач« требуетсн определить кол«честно неупорядоченных выборок с повтореннямц обьема 30 из множеспю объема 3, т. е. чвсло (Э, ЭО)-сочетаний с повторениями. Используя утвержден«в 3.4, получаем, его искомое ю~сло равно Оез= =С" гы =См*з=496.
Прнмер 3.8. Выведем формулу для «олячестеа целочнслен вых решений свсгемм х,+к+...+к, х~>оь ! 1,2, ..., и, (3.1) где л)1! о; — целью числа. Прежде всего заметнм, что прн любых целых н~1, г~О велнчнпа ь „выражает количество реп!вней в целых неотрнцательных чнслах уравнения «гтхг+..+х =г. Действггтельно, «аждоыу решению (хь хз... х„) этого уран«сная мохшо посгавнть в аютветствве неупорядоченную выборку с повторения м«обгона г нэ множества Я= (оь аз, ..., а„) такую, пп в ней содержатся х, элементов авда оь к, элементов энда а, н т. Л,. х„элементов впав а„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
