В.Н. Нефедов, В.А. Осипова - Курс дискретной математики (1127083), страница 25
Текст из файла (страница 25)
тзжхый ьз которых псрсстановочек со всемв з.теысвтамн этой группы, авзяется нормальным делнтелем (центр группы 6). !9. Лахззать, чта группа Клейна У» есть нормальнмй делитель спкхетрпчсснал группы 5». т д КОЛЬЦД И ПОЛЯ Ознакахапся еще с даумп важнелшнмн панятпяпп алгсбры— *льном х возем. 2.23. Кольна» определение, озорства, примеры )(еяустае кножество К, на котором заданы лве бпнарвые опе. ранна — сложение (+) н умножснве ( ), удовлетвориющпе усховпяч: 1) атно зте.тьно аперацяп сложеяьш К вЂ” коммугатплнах гауппа; 2) относнтазыю операцнп умпажсння К вЂ” пшгугруппа! 3) аперашш отаженпя н умнов»ения связаны законом дпстс»б!п»аностп, т.
е. !а+Ь)с=ос+бе, с(а+Ь) =са+сь для иех .", Ь гщК. называется кольцом (К, +, ). Стрпстура (К, +) называется аддатие ай арувлой кальцач Естп спсращ!я умножения коммутатнвна, т. е, аз=ба длз всеХ , Ьшд, -.а вольно явзывэетса коммутатилным. 1!а Если относнтельно ояерацнн умноженпя существует сдвначный злемент, «огорый в кольце принято обозначать ел«выпей 1, то говорят. что К есть кольцо с единицей. Подмножество Е кольна называется подкопы(оп, если Е— подгруппа алднтивной группы кольца н Е замкнуто огносотезсю на операция умнозгекня, т.
е. для всех а, йш!. выполняется а-бснЕ н езыЕ. Пересечение подколец будет подколыюм. Тогда. «ак н е случае групп, полкольном, лорамденным множеством бшК, аазьн оается пересечеяае всех пол«слеп К. содержащчх Я. Пример 2.7. 1. убножесгео келых чисел относятельно операппй умпоже. пкя к сложен«я (2, +, ) — коммутатпваое кольцо Цпогкестао лд целык чнсел, пятящееся на л, будет подкольцом без еж пкпн прн л)1. Апалопыно множество рвшюнальных к дейстептельных чясел — «омму:ативкые колыю с сдннпцей. 2.
рйножество квадратных матрон порядка п стноевтелыго операцнй сложеппя н умножеяня матриц есть кольцо с сдана ей. Š— едпннчной матрекей. Прн л)1 опо некоммутатггвлсе. 3. Пусть К вЂ” пронзвольнсе поямутатпвнсе кольцо. Рзс потрем всевозможные многочлепы ае-г-аьт.(.е,х*+..+п„х", лрмб, с переменной к н ксзффпцнентамп ае, аь оз, .... а нз К. Опюсптельно алгебранческпх операкпй сложения н уыпожен«. чпсгочленов — тго коммугатпвнсе польцо. Опо называется хсльгеоп лкогочлеяое К[х) от переменной х над кольцом К (напр кер, нед колыюм пезмх, рацпопальнык, дедствегельных чггсет). Лпалогнчно определается «ольцо многочленов К[хо ..., .т,) ог переменных как кольцо многочленов ст одной перемен«е:: .т .
нагг «ачыю» К[кг, ..., к г[. Е. Пусть Х вЂ” пронзводьное мномество, К вЂ” прон вотькое ксльпо. Ржсмстркм множество всех функций ) гХ Ь'. о«сед«- ленных на множестве Х со значенняып в К. Опретезкч сунну п прошведские функцвй, «ак обычно, равенствамн ([+2)(х) =)(х)+2(х); ([й)(к) =)(х)й(к), где + я — операция в кольце К. Нетрулво проверять. чш все условие. втолящне в оп)есезенае кольна, еыпатняются, н построенное кольцо будет «е г«утатнвпым, ест« комчутатнвно нстодгюе кольцо К. Опо хзгмаается «ольяол функций па множестве Х со аначепкямн .
чсзььв й б. Рассмотрнм множество Се. Сг..... С классов «мчетсм цо молузю л (см. пример 2.2, н. 6). Ово образует комцутат"акую группу отнссптельно оперении слоагеппяг Се+С С„где й+1=г (шойл), О(г(п 1Г7 'Оггределвм операцнв умножеяня классов вычетов: СьСг=Сь где Ы г (пзобн), О~г(гь Тзк как этн операнкн сводятся к соотвеитвувщнм операцн. ям пзд числами нз классов вмчетов, то множество классов вы. четов также есть коммутвтнвное кольцо с елннзпей Сь жлорое обозначается Е .
Это важный пример кольца, ссстожцсго нз ко. печного числа элементов. Приведем таблнцы сложенкя н умногкснн» а Х, (сн. соотнес. огненно табл. 23а я 2.3б). Тзб н ° тэ тзблнеа тзб + С С, С С С С, ! С С, С, С, С, С С Ыногае свойства колеп — это перефорыглпровапные оклветстаулшнс свойства групп н позтгрупн, напркмсрг а а"=а"ь, (а )"=а " для всех т, нга!У н всех а-К. Лр!тггс спгнкфнчсские свойства кыеа модедпружт свойства 'чпссл." 1) лхк воск оыК о О=б.а=О; 2) ( — а)б=а( — Ы= — (аЫ; 3) — а=( — 1)а Нействнтельног 1) а+О=а ы- а(а.(-О) =аа ~ а*+а.б=а':- а'+а О=аз+ +!Ььа 0=0 (аналогнчно О.а 0); 2) О=а О=а !Ь вЂ” Ц аЬ+а ( — Ь)~а ( — Ь)= — (аЬ) (анзлогнчнз ( — а)Ь= — (аЫ); 3! используя второе свойство. плесы — а= ( — а)! =а ( — !) = ( — 1)а.
'2.2.2. Пале В кольнах целых. рациональных н дсГктвнтезьпых засел нз то. го. ло произведение аЬ=О, следует, что лабо а=О, лнбо Ь=-О. Но в кольце квадратных матриц порядка л)1 это свойство уже ве выполняется, так как. нанрвмср, [сс ! 1 (с! '! ~ )се о ~. ыз Если в кольке К аЬ 0 прп ачьО, ЬФО, то а называется левым, а Ь вЂ” правым делнгглеи хуля.
Если в К иет делителей нуля (кроме элемента О, который является тривиальным делителем нуля),то К называется кольцом без делителей нуля. Пр р 2.3. 1. В кольце фтнкций ) г й — ь-й на множестве действительных чпсса й рассчотрйм функции ), (х) =)х(+х; Д (х) =)х( — х. Для нвл )~ (х) =0 ири х<0 н )г(х) — —.0 при х)0, а поэтому произведение Д(х))ь(х) — нулевая функция, хотя ),(х)звО и )ь(х)ФО. Следовательно, в этом кольце есть делители нуля. 2. Рассмотрим множество иар целых чисел (а, Ь), з котором заданы операции сложения н умножения; (аь Ьь)+(аь, Ьг)= (щ+аь, Ь +Ь ); (аь Ь|) (аь, Ьг) =(а~аз, Ььуз).
Это множество образует номмутатнвное кольцо с единнцеВ (1,1) и делитечямк нуля. так как (1,0) (О,1) = (00). 3. В кольце 2, элемент С, — дельпель нуля (см. табл. 2.3а). Если а «альве иет делителей нуля, то в пем выполняется закон сокращения. т. е. аЬ ас, а~бюЬ=с. Действительно.ив— — ас=Оюа(Ь вЂ” с) =О=э (Ь вЂ” с) =ОСЬ =с. Пусть К вЂ” кольцо с еланицей.
Элемент а называется обрагючыи. если существует такой элемент а-', для ногорого аа-'= а-'а=1. Обратььчый эзечепг не может быть делателем нуля. тан «ак. еечи аЬ=О. то а-'(аЬ) =0~ (а-'а)Ь=Ою1Ь=ОюЬ=О (аеалогичцо Ьа=ОюЬ=О). Теорема 2.0. Вес обрат симе злеиеигы колька К с едииицеа образуют группу огиосигслзио улиожсиил.
Действительно. умножение в К ассоцпатнвво. едииипа содержятся во множестве обратимых элементов н пропзвелсниене выводит пз множеств» обраткмых элементов, так как есльь и и Ь обратимы, то (ау) '=Ь-'а-К Важную алгебраическую структуру образуют коммугатпвиые кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим„ т. с. относительно операция умножения множество К' (0) образует группу. В таких колыьай определены три операции: сложе«ве, умножение и деление. Коммутатппное кольцо Р с елиницей 1тьО.
в котором каждый ненулевой элемент обратны, называется полем. Относььтелыьо умножения все отличные ст нуля элементы поля образуют группу, которая называется иульютлихагиеиоа сругшой полю и Пропзвсдение аЬ-' записывается в виде дробп — и выест э а смысл лишь ирн ЬтьО. Элемент — является единственным реь 11В шепнем уравненнл Ьк=ц Дейсгвня с драбямы падчвняютса нрваычвыы для нас правнлам; — — Ы-ьс, Ь, Ы, О; — "+ — ' = ~+", Ь, б~б) с 'э г ьы а с — — =- — = —.
Ьчьо: — — = —, Ь, ыФО) ь э -.с' ' э л ьс' — 1 = —,а,ЬФО. Ь ь! Дохэжсм, например. второе нз них. Пусть к= — в у= —— с ь и решснпя уравненнй Ох=а. уй=с. Из этна уьаавнеппй следует уьх=ыа, Оду=всю-ьд(х+у) =да+ьсп4= — — едныствен. се нее решенпе урввнсння ЬО да+Ьс. Прыыер 2.0. 1.
Да.гьыо целых эпоса не образует паля. Полем являепя множсспю рациональных н множество действнтельньп чнсел. 2. Рассмотрим кольна «даосов вычетов Е (см. прнмср 2.1, п. а). Покажем, па Е„падается нолем тогда ы пшьпо тогда, ногдз л=р — простое чнсза. Если п=р — простое чнсло, то Еэ— мяожестно ыз р элемента» С» С» -. Сэ-г. Допвжем, чта любой элемент С., кроме С» обратим. Числа з п р взапмна просты. Спсхаватсаьно, существуют ганне целые числа ! н гп, что имеет место равенства а(+ргп 1.
прнчем ! можно выбрать тап, что 1(!(р. Отсюда следует. ч-.о ы кольце вычетов Уэ выполняемы С.С,=С» т. с. Сг — эдсыент, обратный С.. Еслп л — составное чпс;.о (п=с!), то С.Сг=С . Следовательно, С,— делнтсль нуля п 2, — не поле. Пасе «ычста» Еэ — эта вример пол», саспжщепт пз ыонечнога числа элевснтов. Следовательно. существуют конечные полн. Расснотрнм теперь аздптггвную гр>ппу поля (Р, +).
Еднннчмш! элемент поля 1 есть элемент этой группы. Рассматрам под. группу. порожденную !. Он» сссюнт нз всех кратных 1: л1=1+..+1, ( — п) ° 1= — (п.))=п( — !); 0.1=0. Таа пап ! ч»О, то ес порядок нс меньше двух. уаракгерастшюй поля Р называется число. равное О, есан эссненг 1 порождает подгруппу бесконечного порядка, в парлдыу э этой подгруппы. есты он конечен. Панаме», по сслн сара»тернет»па поля Р не равна О, то р — прост«с чнсло.
Дсйстнптеэьно, пусть р †составн часта (с=а Ь). Па опрсдслспяю. Р1=0. Тогда (аЫ! (а)) (Ы) О. Но в пош нет делнтелсй нуда. Следовательно, а! 0 пля Ы=О. Но зго противоречат тому, чта р — порядок подгруппы, пормызмпнай 1. Понятие характеристики есть одно ив важных структурнчх понятий паля. Задачи н улражмения 1. Пусть Р(Х) †множест всех подмножеств ынажествт Х с оосрациямн А+В=(А()В) (А((В), АЗ=А()В, А, В Х Доказать, что оло являстсл ка.чьцом с единицей, в е элес«акты адкитивной группы которого имеют порядок 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
