Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Сформулируем критерии знакоопределенности матрицы А в терминах собственных чисел этой матрицы. Йапомним, что собственным числом матрицы А называется решение Л уравнения г(е!)А — Л1„[ = О, где 1„— единичная матрица размера и х ть. Так как у нас А — симметричная матрица, то у нее существует ть действительных собственных чисел Л „Л„.. и Л„ (с учетом их кратности). Для того, чтобы А > 0 [А > 0], необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы А были неотрицательны [положительны[. Квадратичная форма (А6, 6) знакопеременна тогда и только тогда, когда у матрицы А имеется хотя бы одно положительное и хотя бы одно отрицательное собственное число. 4 2.
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 57 а"г! !=Х! с!'., гь!е,—.;.!ь! !ь г, Упражнении В том случае, когда в стационарной точке о квадратичная форма ((л(о)6, 6) не меняет знака при всех Ь е Е", но может равняться нулю при некоторых Ь ~0, то для выяснения поведения функции в окрестности точки о можно привлечь старшие производные и связанные с ними формы более высокого порядка: где суммирование проводится по всем целым г„..., т„таким, что 0 < и! < т, в' = 1,..., и, г, +и,+...+г„= т. Однако на практике исследование характера стационарных точек с помощью форм г("1(п), гп > 3, почти не применяется из-за его громоздкости.
В тех случаях, когда описанным выше способом удается выявить все точки локального минимума [максимума[ функции 7(х), то для определения глобального минимума [максимума) этои функции на всем пространстве Е" нужно перебрать все найденные точки и из них выбрать точку с наименьшим [наибольшим) значсннсм функции, сели такая точка существует, Пример 2. Пусть в пуостранстве Е даны р точек х! =(х,',..., х,"), ( = 1, .. ч р, и требуется нанти точку х Е Е", сумма квадратов расстояний от которой до этих данных точек минимальна.
г Эта задача равносильна задаче минимизации функции )'(х) = ~„"~х — х,.[' г=! на Е". Функцию 1(х) удобнее представить в виде: 1(х) = р[х[в — 2р(х, х )+ р Р + 2 ~х,.~в, где х = — 2, 'х,. Отсюда видно, что 1'(х) — --2р(х — х ) и о = х— ! стационарная точка. Матрица Г'(о)= 2р1„, где 1, — единичная матрица размера и х п. Следовательно, (Г'(т!)Ь, 6) =2р[Ь~а > 0 при всех Ь е Е", 6 ~0. Согласно теореме 2 это значит, что о = х — точка строгого локального минимума. Однако здесь можно сказать больше: о = х — точка глобального минимума 1(х) на Е".
В самом деле, рассматриваемая функция такова, что !пп 1(х) = со. Тогда по теореме 1.3 множество Х, точек глобального минимума 7(х) на Е" непусто, а по теореме 1 )Ух, е Х. является стационарной точкой. Поскольку здесь имеется единственная стационаг!наярточка э = х, то о Е Х„. Следовательно, Х„= (х ), 1, = 1(хо) = — р[хо[ + 2,' [хг['. Заме'=! тим, что при исследовании этой несложной задачи можно было обойтись и без привлечения теоремы 1.3, поскольку здесь |(х) — у'(хо) = р~х — хо[' > 0 Чх Е Е". Ясно также, что в этой задаче 1* = зцр 7(х) =+ос, т, е.
задача яег максимизации 7(х) на Е" не имеет решения. !. Найти экстремумы функций: а) 1(о)=(х+зч — !)е гх чг+т ), м=(х,у)еЕ; б) 1(м)=хука (! — х — 2р — Зл), м=(т„р,л)чЕ; а, в) 1(о) = а!п(х+ р) — ми х — хп у, ч = (х, у) е Е, 2. Может ли функция двух переменных на плоскости иметь бесконечно много точек локального минимума и ни одной точки локального максимума) Рассмотрите функцию 1(м) = = хе* — ()+ е") соа р, м=(х, р) ЕЕ .
58 Гл, 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА $ 3. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В следующие упражнения 3 — 8 вошли задачи, которые автору сообщил Н. А. Бобылев, 3. В точке яо — — (0,0) функция У(п) переменных п=(И у) еЕ имеет локальный минимум вдоль каждой прямой, проходящей через точку ис. Мои[но ли утяерждать, что а точке и реализуется локальный минимум функции У(х)7 Рассмотреть функции: У (и) (и уг)(2л уг) Уг(п) мг 4.
Построить пример гладкой функции у(п), и =(а у) ЕЕ', для которой точка (О, 0) является единственной стационарной точкой, причем (О, 0) — точка локального минимума функции А не яаляющаяся точкой ее глобального минимума. Рассмотреть функцию г з Зх — 2х — 1„(Зг 22)-т 1 1 2 б.
Пусть то — — 0 яэляется единственной стационарной точкой гладкой функции У(х) на Еп, я которой реализуется локальный минимум этой функции. Пусть для некоторых е > 0 и гс > 0 выполнено неравенство [~'(л)[ > а Ул, ~л( > й. Докажите, что то —— 0 — точка глобального минимума функции у на Ь*п. 6, Постройте пример (нарисуйте графики линий уровня) дифференцируемой функции у(ч), и = (л, у) ЕЕ , у которой имеется ровно гп стационарных точек и эсе они являются точками локального минимума этой функции. т. Пусть заданы произвольные целые числа тп > О, Й > О, 1 > О. Покажите, что существует гладкая функция у(х), п =(л, у) е ж~, у которой имеется ровно тп ч- Й ч-1 стационарных точек, причем тп из них являются точками локального минимума, Й вЂ” точками локального максимума, 1 — седлоаыми точками (определение 4. 9.
1). В. Пусть Вп ' =(леЖп: (к[2 =1) — единичная сфера э Еэ, пусть гладкая функция 7(х), л е Вп, имеет дэе точки локального максимума на В" . Покажите, что функция у имеет стационарную точку, отличную от упомянутых двух и от точки глобального минимума этой функции на В" 9 3. Задачи на условный экстремум. Необходимые условия первого порядка В приложениях задачи на безусловный экстремум встречаются редко.
Дело в том, что в практических задачах переменные, как правило, не могут быть совершенно произвольными и должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям, выражающим, например, условия неотрицательности тех или иных переменных, условия ограниченности используемых ресурсов, ограничения на параметры конструкции системы, условия нормировки и т. п. Иначе говоря, переменные х = (х',..., х") должны принадлежать некоторому заданному множеству Х из Е". Тогда, чтобы подчеркнуть, что экстремум функции ищется при условии х е Х ~ Е', часто говорят о задаче на условный экстремум. В таких задачах мы также будем различать точки локального минимума и максимума.
Напомним, что точка и е Х называется точкой локального минимума [максимума) функции у(х) на Х, если существует такая а-окрестность О(и, а) = (х е Е": [х — и~ < к) точки и, что 7(х) > Г(и) [ Г(х) < 7(и)) для ух Е Х й О(и, а). Если функция Г(х) дважды гладкая на Х и точка и ее локального минимума [максимума] является внутренней точкой множества Х, то необходимо Т'(и) = О, Тэ(и) > О [уа(и) < О). Эти условия доказываются точно также, как в теореме 2.1, Однако, если и — граничная точка множества Х, то такие условия, вообще говоря, не имеют места. Так, например, функция 7(х) = — х' на отрезке Х =(х ЕЕ'.
1 < х < 2) имеет глобальный минимум в точке и = 2, но ут(2) = — 4, 7'а(2) = — 2. Следовательно, условия экстремума в задачах на условный экстремум должны иметь другую форму, чем в теореме 2.1. В этом параграфе будут сформулированы необходимые условия экстремума, основанные на правиле множителей Лагранжа. 1. Начнем с классической задачи на условный экстремум, традиционно рассматриваемой в математическом анализе [327; 350; 352; 534; 768); найти экстремумы функции 7(х) при условии, что х Е Х = (х ЕЕ'. д (х) =О,..., д (х) =О).
Здесь предполагается, что функции У(х), д,(х) определены на всем пространстве Е". Ограничения д,(х) =О, г = 1,..., а, принято называть ограничениями типа равенств. В тех случаях, когда систему уравнений (1) удается преобразовать к эквивалентному виду х' = гр,(ха+',..., х"),..., х" = у,(хэ" ',, х ), (2) выразив из (1) какие-то р переменных через остальные, рассматриваемую задачу на условный экстремум можно свести к задаче на безусловный экстремум функции д(хг~',..., х") = 7(ьг,(хяь',..., х"),..., р„(хг"',...
..., х"), х""',..., х") переменных(хгч ',..., х )ЕЕ ', которуюможноисследовать по описанной в Э 2 схеме. Однако этот подход имеет ограниченное применение из-за того, что явное выражение вида (2) одной группы переменных через остальные удается получить лишь в редких случаях. Более общий подход к исследованию задачи поиска экстремума функции у(х) на множестве (1) дает правило множителей Лагранжа. Это правило заключается в следующем, Вводится функция й(х, Л) = ЛоУ(х) + т2, 'Л.ду(х) (3) у=! переменных х = (х',, х") е Е', Л = (Л„Л„..., Л,) е Е'+', называемая функцией Лагранжа. Имеет место Т е о р е м а 1 (правило множителей Лагранжа). Пусть х, — точка локального минимума функции 7'(х) на множестве (1), пусть функции У(х), д.(х) г =! ...
а непрерывно диффвренцируемы в окрестности точки х„. Тогда существуют числа Л',..., Л,*, называемые мнохсителями Лагранжа, такие, что Л =(Л*,...,Л,*)фО, Л" >О, Таким образом, в теореме 1 утверждается, что всякая точка локального минимума х, является стационарной точкой функции Лагранжа й(х, Л ) при некотором, подходящим образом выбранном, нетривиальном наборе множителей Л. До к аз а т е л ь с т в о.
Условие (4) означает, что градиенты У'(х„),д,'(х,), ..., д„'(х.) линейно зависимы. Допустим противное: пусть это не так, пусть 60 Гл. 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА 4 3. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ эти векторы линейно независимы. Тогда г + 1 < и. В случае г + 1 < и возьмем какие-либо векторы г,э „..., е„, так, чтобы система 7'(х,), д,'(х,),...
..., д,'(х„), е, „„..., г„, образовала базис в Е". Введем вектор-функцию г'(х, $) = (уг(х, Ф),У,(х, Ф),...,У„,(х, 1)), где Цх, З) = У(х) — У(х,) + Ф, 7 (х, г ) = д (х), з' = 1,..., г, 7 (х, $ ) = (е,, х — х ), з' = г + 1,..., и — 1, (х, г) Е е Е "~'. Рассмотрим систему и уравнений г (х, г) = (Ях, г), Л(х, г),..., ~„-,(х, г)) = 0 (5) относительно и неизвестных х = (х',...,х"). Для ее исследования применим теорему о неявных функциях 1327; 350; 352; 534; 768]. Заметим, что Е(х„ О) = О. Далее, функции 7,.(х,т) непрерывно дифференцируемы в окРестности точки (х.,О) ЕЕ"+', пРичем уг„(х,О)=У"(х,), ~м(х„, 0)=д '(х„), г =1,..., г, 1м(х„О) =е,, 4 =в+1,..., и — 1. Ьто значит, что в точке (х„, 0) якобиан системы функцйй Е(х, г) =(г",(х, г), 4 =О,..., и — 1), представляющий собой определитель квадратной матрицы со строками 7'(х,), д,'(х.),..., д,'(х„), е,+ „..., е„,, образующими базис в Е", отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
