Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Например, такие часто встречающиеся на практике множества, как Х = Е" — все пространство или Х = (х: х' > О,..., х > О)— Гл. 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА неотрицательный ортант, не являются компактными. Приведем две теоремы, в которых компактность множества Х не предполагается, но зато функция, кроме полунепрерывности снизу, удовлетворяет некоторым дополнительным требованиям. Те оре ма 2. Пусть Х вЂ” непустое замкнутое множество из Е", функция Т(х) конечна, полунепрерывна снизу на Х и для некоторой фиксированной точки о Е Х множество Лебега М(н) = (х: х Е Х, Г(х) < Г(о)) ограничено.
Тогда Г. > — оо, множество Х, непусто, компактно и любая минимизирующая последовательность (х„), принадлежащая М(о), сходится к Х,. Доказательство. По определению множества М(о) имеем: Г(х)> > Г(о) при всех х Е Х (, М(у) и р(х) < Т(у) при всех х е М(о). Это значит, что на Х (, М(о) функция Г(х) не может достигать своей нижней грани на Х и для доказательства теоремы достаточно рассмотреть функцию у(х) на множестве М(о).
Замкнутость множества М(у) вытекает из леммы 1. Из ограниченности и замкнутости М(о) следует его компактность. Применяя теорему 1 к функции Т(х) на М(у), получим все утверждения теоремы 2. Попутно установили, что Х, С М(о). П Заметим, что в теореме 2 утверждается сходимость к Х, только тех минимизирующих последовательностей х>ы которые принадлежат М(н).
Если у(н) > уы то условие (хь) Е М(о) можно не оговаривать, так как в этом случае для любой минимизирующей последовательности (хь) найдется номер ко такой, что у(х ) < у(у) для всех В )~ ко, т. е. хь Е М(о) при Й > ко. Если же Г(у) = Г„, то Х, = М(о) и, как видно из примера 1.1.5, в этом случае могут существовать минимизирующие последовательности, которые не принадлежат М(у) и не сходятся к Х,, Т е о р е м а 3.
Пусть Х вЂ” непустое замкнутое множество из Е", функция Т(х) конечна, полунепрерь<вна снизу на Х и для любой последовательности (х„) е Х, 1пп !хь! = со (если такие х существуют) имеет место соотношение !пп Т(хь) = со. Тогда ~„> -со, множество Х„непусто, компактно и любая минимизирующая последовательность (х„) сходится к Х.. Доказательство. Если множество Х ограничено, то все утверждения теоремы следуют из теоремы 1.
Поэтому пусть Х не ограничено, т. е. существует хотя бы одна последовательность (уь) Е Х такая, что (пп !уь! = оо. Тогда согласно условию теоремы !пп у(уь) = оо. Возьь ге ь мем какую-либо точку у Е Х такую, что Т(у) > Г. (например, можно принять о = уь при достаточно большом й), и рассмотрим множество Лебега М(о) = (х; х Е Х, Г(х) < у(о)).
Покан<ем, что М(о) ограничено. Допустим противное: пусть существует последовательность (шь) е М(у) такая, что 1пп !и> !=со. Тогда !пп Г(шь)=со, что противоречит неравенству ь сю ь Цн>ь) < у(о) < оо, вытекающему из включения п>ь Е М(о) (й = 1, 2,...). Таким образом, множество М(н) ограничено. Отсюда и из теоремы 2 следуют все утверждения теоремы 3.
П $!. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА С л е д с т в и е 1, Пусть Х вЂ” непустое замкнутое множество из Е". Тогда для любой точки х Е Е" найдется точка о = н(х) Е Х такая, что р(х, Х)= !п1 )х — и>!=(х — о(х)(, т. е. о(х) — ближайшая к х точка из Х. юеХ Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х — произвольная точка из Е". Рассмотрим функцию д(ш) = !н> — х~ переменной и> 6 Е".
Ясно, что д(ю) непрерывна на Е". Кроме того, д(ш) > !у>! — !х), так что 1!гп д(ш) =со. Таким )н( образом, д(ш) удовлетворяет условиям теоремы 3 на любом непустом замкнутом множестве Х е Е". Существование искомой точки у = у(х) теперь следует непосредственно из теоремы 3. Заметим, что такая точка о(х), вообще говоря, неединственна. П 6. В заключение кратко остановимся на задаче максимизации функции Г(х) на множестве Х.
Для обозначения этой задачи также будем пользоваться символической записью минин мак- рерывнкции задач штрас- рующая ено при х, ~ а< ся кХ„. е) ,Г(х) — зцр, х Е Х. Так как зцр Г(х) = — !и(( — Г(х)) для любого множества <х С Х, то ясно, *ее е о что любая точка локального или глобального максимума, а также л максимизирующая последовательность для функции Г(х) на множест будет соответственно точкой локального или глобального минимум .1 минимизирующей последовательностью для функции ( — Г(х)) на Х Это значит, что любая задача максимизации функции у(х) на Х рав- ,<",.".', носильна задаче минимизации функции ( — у(х)) на том же множестве Х.
Поэтому можно ограничиться изучением лишь задач минимизации. Предлагаем читателю, пользуясь указанной связью между задачами мизации и максимизации, по аналогии с п. 2 сформулировать задач симизации первого и второго типов. Далее, учитывая, что полунеп ность сверху функции у(х) равносильна полунепрерывности снизу фу —,г" (х), нетрудно сформулировать и доказать аналоги теорем 1-3 для максимизации.
Для примера приведем формулировку теоремы Вейер са, являющуюся аналогом теоремы 1 Теорема 4. Пусть Х вЂ” компактное множество, а фу Г(х) определена, конечна и полунепрерывна сверху на Х. Тогда = зпр Г(х) < +со, множество Х" = (х: х Е Х, Г(х) = Т*) непусто, х пактно и любая максимизирующая последовательность сходится к Х*. Упражнения '$.. 1. Выяснить, будет ли произвольная минимизирующая последовательность сходиться к мно. жеству точек минимума $ункции 1(н) на множестве Х, если а) Х=(н=(м,у)еЕ, а>0 у>0, к+2у<1), >(н)=к+у; :) -, ', б) Х = Е", У(а) = (а!$1+ /а(~) в) Х = Е", У(а) = !а/, Ф 2.
Пусть Х вЂ” замкнутое множество из Ь", функция >(и) полунепрерыана снизу >,= (п! >(*) >-со, Ые =(аеХ: Т(а)<у+о).доказать, что если множество АГ огра *ЕХ при некотором о > О, то Х, =(хе Х: >(х) = >,) непусто, компактно и любая минимизи последовательность сходится к Х„(ср. с теоремой 2). Если множество М„неограннч всех о > О, то возможны случаи, когда Х, = и> или Х, ~ и и неогранйчено, илн ограничено, но существует минимизиру>ощай последовательность, которая не стремит :3:1. а4'-::,;-". э 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 52 Гл.
2, КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА Рассмотреть функцию у(х) = х на множествах Х! — — (ж = (х, ж ) е Е: х > е ), Хт — — (х = 2 1 2 2. 2 — и' = (х', х ) е е; 0 < х < 1), хз = х1 ги (х = (О, ОЦ, 3. Доказать следующие свойства верхнего и нижнего пределов числовых последовательно- стей: а) 1ип сай=с 1пп аи, Иш са =с Иш ай, Иш ( — сай)= — с Иш ай, Ищ ( — сай) = б) если ай ( Ьй (п = 1, 2,,), то Ищ ай < Иш Ьй, Иш а < Иш Ьй, Можно ли утверж— ы" и йй й дать, что Ищ а > Иш Ь ? Рассмотреть пример: ай =(-1)", п=1, 2, .. и Ьй =О при п=2й, й й' Ьй= — 2 при о=26 — 1, 6=1,2,..4 в) 1ип а 4 (гш Ь < Иш (ай+ 6 ) < Иш ай+ Иш Ьи.
Рассмотреть пример ай =(-1)", — и п и 6 = (-1)й или Ьй = (-!)й т ' и убедиться, что здесь возможны строгие неравенства; г) Иш ай+ Иш Ьй ( Иш (а + 6й) < Иш а + Иш 6й. Привести примеры последовай м" й ый й ю " й тельностей, когда здесь возможны стт(югие неравенства; д) если сУществУет 1ип ай, то 1ип (айебй)= Игп ай+ Иш Ьй, 1ит1 (ай+Ьи)= )пп ай+ + Ищ Ь„; и и и „вЂ” й п 1ип а Ищ Ь < Иш а 6«< Ипг ай. Иш 6«.Привести примерыпоследовательностей, когда — п и и здесь возможны строгие неравенства; ж) если а >О, 6 >О!п=!,2,...) и существует )ип а, то Иш айЬй = !ип ай ° Иш Ьй, й о п о п- 4.
Найти верхний и нижний пределы последовательности ай =з1ппа, где а — фиксирован- ное число. 5. Пусть У(х) = (1 — е !'!) ' (ж я' 0). Как надо доопределить зту функцию при ж = О, чтобы она стала полунепрерывной снизу или сверху на Е = и? ,1 а. пусть У!(х), 72(х) — две функции, полунепрерывные снизу на множестве х, Будут ли полунепрерывными снизу на Х следующие функции; а) у(х) = агу1(х) + атут(х) (рассмотреть случаи положительных и отрицательных а!, аз); б) У(х)= щ!п(У!(х); 72(хЦ; в) 1(х) = шах(У!(х); 72(хЦ, г) 1(х) = /у!(х)/? т.
Пусть функция у(х) определена на множестве Х. Говорят, что число А является нижним верхним) пределом атой функции в точке е по множеству Х и обозначают 1ип у(х) =А 1ип У(х) = А1, если: и о а) для любой последовательности (хь) е Х, сходящейся к е, имеет место неравенство Иш У(хь) > А [ Ип| У(хь) < А1; Ь оо б) существует последовательность (х ) е Х, сходящаяся к о и такая, что Иш У(хь) = А.
ь Ь оо Доказать, что функция у(х) полунепрерывна снизу !сверху! в точке е, если Иш у(х) > у(е) ~ 1ип т'(х) < 7(о)~ . 3. Пусть Х = Е", У(х) = з!п(к!ж! !) при ж Ф 0 и У(0) = а, При каких а зта функция будет полунепрерывна снизу или сверху на Х? Найти Иш У(х), Игп У(х). Что изменится, если Х=(х:!х!=п ', гь=!,2,,)? 9. Показать, что понятия верхнего и нижнего предела функции в точке обладают свойст- вами, аналогичными свойствам верхнего и нижнего предела числовых последовательностей, приведенных в упражнении 3.
1О. Пусть Х С Е" — произвольное множество, Х вЂ” замыкание Х (см. определение 4,1,6), функция У(х) непрерывна на Х. Доказать, что ;и! 7(х)= !и[ у(х), зир 7(х)= зир у(х) еХ йеХ йеХ иеХ 11. П сть Х с Еи— усть — произвольное множество из Е", функции у(ж), д(ж) р Х хьоказать, что а) ш! ш(п(у(х);д(хЦ= пил( М! Г(ж); 1п! д(хЦ; ив Х ЕЕХ ЕЕХ б) 1М шах(у(ж);д(хЦ > гпах( ш! Г(х); 1п! д(жЦ, *еХ .Ех ' ех 12 П сть ХСЕ Ус"' у, У С Е вЂ” произвольные множества, функция у(ж, у1 определена на множестве Х х У = ((х„у): хе Х ус У) Доказать, что а) 1и! 7(ж у) =(п((!я!7(х, уЦ= = 1и!(1п(у(х, уц; б) зир 1п! < 1п! Еир у(*, у).
х «у х йеХ Зе У теуееХ 13. П сть Х С Е ", У у С, У С Ь' — произвольные множества, функция зо(х, у) определена на множестве Х х У, полунепрерывна снизу на Х при каждом фиксированном уз У и ограничена сверху на У при каждом фиксированном х е Х. Доказать, что функция У(х) = зир полунепрерывна снизу на Х 154!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
