Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пользуясь этой теоремой, нетрудно доказать, что в Е компактными являются все замкнутые ограниченные множества и только они. 3: м О п р е д е л е н и е 2, Число а называется нижним [верхним] пределом ограниченной снизу [сверху] числовой последовательности (а ) и обозначается через !ип ай = а~ 1пп ай = а], если: й оо 1) существует хотя бы одна подпоследовательность(а. ) сходящаяся к а, 2) все предельные точки последовательности (а ) не меньше [не больше) числа а, т.
е. число а является наименьшей [наибольшей] предельной точкои последовательности (а,). Иначе говоря, а — нижний [верхний] предел (а,), если для любого г > О: 1) существует номер !й7 такои, что ай > а — г [ай < а+ г] для всех й > 7ч'; 2) для любого номера гп найдется йомер й > гп такои, что а < а+с [а. > а — г]. В том случае, когда (ай) не ограничена снизу [сверху], то по определению принимают 1пп ай = — оо ~ !!ш а, = со1; если !пп ай = — оо, то й йй о й о« полагают !!ш ай = — оо; если !пп а =со, то !!ш а =со. й й й о Например, если ай = ( — 1)' (й = 1, 2,...), то 1!ш ай = — 1, 1пп ай = 1; если й о ' й-с ай=( — 1)йй (й=1,2,,), то 1пп ай= — со, !иной=ос; если ай =[!+( — !)й]й й о (й = 1, 2,...), то !пп ай = О, Вт а, = со; если ай = й ' (й = 1, 2,,), то й оо !пп ай = !пп ай = О.
й оо У любой числовой последовательности (ай) существуют конечный или бесконечный нижний и верхний пределы. Для того чтобы последовательность (а,) имела предел, необходимо и достаточно, чтобы !!ш а, = 1!ш а = = а; тогда !!ш ай = а. Определение 3. Пусть функция 7(х) определена на множестве Х С Е". Говорят, что функция 7'(х) полунгпргрызна снизу [сверху] в точке х е Х, если для любой последовательности (х ) Е Х, сходящейся к точке х, имеет место соотношение 1!ш 7(хй) > 7(х) 1пп 1(хй) < 1(х)]. Функцию й йй Г(х) называют полунгпргрыгной снизу '[сверху] на множестве Х, если она полунепрерывна снизу [сверху] в каждои точке этого множества. Предлагаем читателю доказать, что функция 7(х) полунепрерывна снизу [сверху] в точке н Е Х тогда и только тогда, если для любого г >О существует 6 >0 такое, что для всех х е (х: х е Х, !х — «>] < б) справедливо неравенство 7(х) > Г(«>) — г [Г(х) < 7(«>)+ г].
Нетрудно убедиться, что функция непрерывна в точке ««тогда и только тогда, когда она в этой точке полунепрерывна и снизу, и сверху. Пример 1. Пусть Х=(х: хЕЕ", ]х]<1) — и-мерный единичный шар; пусть |(х) =]х] при 0 <]х~ < 1 и 7(0) = а. Тогда при а < 0 функция 7(х) будет полунепрерывна снизу на Х; при а> 0 — полунепрерывна сверху на Х; при а=Π— непрерывна на Х. Пример 2, Пусть Х=(х: хеЕ«, — 1<х<1); Г(х)=х при О<х<1; ,7(х) = 1 — х ( — 1 < х < 0); Г(0) = а. Нетрудно видеть, что при а < 0 эта функция полунепрерывна снизу на Х; при а > 1 — полунепрерывна сверху на Х, а при 0 < а < 1 в точке х = 0 она не будет полунепрерывной ни снизу, ни сверху.
Гл, 2, КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА Я 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА З ,,*! Пример 3. Пусть и=(х,у)ея>; г(и)=х'+уз при х>0, у>0; г"(и)=0 при а<0, у>0; г"(и)=1 при х>0, у<0; г" (и)= — 1 при х<0, у<0. Нетрудно показать, что эта функция на множестве Х, =((х, у): х >О, у > О) непрерывна; на Хз = ((х, у): у > 0) полунепрерывна снизу; на Х, = ((х, у): х < О) полунепрерывна сверху; на Х4 — — ((х, у): х > О) в некоторых точках полунепрерывна снизу, в некоторых — сверху.
Установим связь между свойством полунепрерывности снизу функции и замкнутостью множеств М(с) = (х: х Е Х, Г(х) < с), с = сопя!, называемых множествами Лгбгга функция г(х) на множестве Х. Лемма 1. Пусть Х вЂ” замкнутое множество из Ь'. Тогда для того, чтобы функция Г"(х) была полунгпрерь>вна снизу на Х, необходимо и достаточно, чтобы множество,Пебгга М(с) было замкнутым при всех с (пустов множество считается замкнутым по определению), В частности, если 1(х) полунепрерывна снизу на Х, то множество Х, точек минимума г(х) на Х замкнуто. Доказательство.
Необходимость. Пусть г(х) полунепрерывна снизу на Х. Возьмем произвольное число с. Пусть М(с) А!21. Возьмем какую-либо предельную точку «г множества М(с). Тогда существует последовательность (хь) е М(с), сходящаяся к «г. В силу замкнутости Х точка п«е Х. Из того, что У(хь) < с (А = 1, 2,...), с Учетом полУнепРеРывности снизу у(х) в точке и имеем у(ю) <1!шГ(хь) < с, т. е. и ЕМ(с). Замкнутость М(с) доказана.
В частности, множество Х, =(х: х Е Х, Г'(х) < Г'„= !и! 1(х)) замкнуто. Достаточность. Пусть для некоторой функции у(х) множество М(с) замкнуто при любом с. Возьмем произвольные г > О, х Е Х и последовательность (х,) Е Х, сходящуюся к точке х. Пусть !!ш ~(хь) = а= = !пп у(х ). Тогда Г(х ) < а+г, т. е. х ЕМ(а+в) для всех достаточно болыпих номеров к„. Но М(а+в) замкнуто по условию, а точка х является пределом для (х„). Следовательно, хе М(а+ в), т.
е. г(х) < а+в. В силу произвола г > 0 отсюда имеем г" (х) < а= !пп Г'(х„). С! ь « Установим одно интересное свойство расстояния от точки до множества. Л е м м а 2, Пусть Х вЂ” произвольное непустое множество из Ж". Тогда расстояние р(х Х)= 1п! р(х, и) от точки х до множества Х как ««сх функция переменной х непрерывна на с" и, более того, удовлетворяет условию !р(х, Х) — р(у, Х)! < р(х, у) Ух, у Е Е". До к аз а тельство, Прежде всего из р(х, ш) =(х — и«)>0 и р(х, Х) < < (х — «г) (ш Е Х) следует, что функция р(х, Х) неотрицательна и конечна во всех точках х е Е", Возьмем произвольное число г > О.
По определению нижней грани (см. определение 1.1.3) для любых х, у е В' найдутся точки х„у, Е Х такие, что р(х, Х) < р(х, х,) < р(х, Х) + г, р(у, Х) < р(у, у,) < р(у, Х)+ г Поскольку р(х, Х) < р(х, 11 ), то с помощью неравенства треугольника р(х, у,) < р(х, у) + р(у, у,) ймеем р(х Х) — р(у, Х) < р(х у,) — р(у, у,) -1- + г < р(х, у) + г. Аналогично получается неравенство р(х, Х) — р(у, Х) > > р(х, х,) — г — р(у, х,) > — р(х„у) — г. Объединяя два последних неравенства, имеем !р(х, Х) — р(у, Х) ~ < р(х, у) + е.
Отсюда при г — «+О получим требуемое неравенство. С! 4. Перейдем к формулировке теоремы Вейерштрасса. Теорема 1. Пусть Х вЂ” компактное множество, а функция г(х) определена, конечна и полунгпргрывна снизу на Х. Тогда ~„= !и( г" (х) > > — со, множество Х„=(х; хе Х, 1'(х) =Г;) непусто, компактно и любая минимизирующая последовательность сходится к Х,, Д о к а з а т е л ь с т в о.
Возьмем произвольную минимизирующую последовательность (хь): х„е Х (к =1,2,..., 1пп Дх„) =у,). Существование «''' хотя бы одной такой последовательности следует из определения 1.1.3 нижней грани функции. Так как Х вЂ” компактное множество, то (хь) имеет хотя бы одну предельную точку и все ее предельные точки принадлежат Х. Возьмем любую предельную точку х, этой последовательности. Тогда су. ществует подпоследовательность (х. ), сходящаяся к точке х,.
Пользуясь свойством нижней грани у, и полунепрерывностью снизу функции !(х) в точке х„ имеем У, < Г"(х,) < !пп Г"(х ) = 1пп ~(х,) =у„, т. е. Г(х,) =Г",. Отсюда следует, что Г', > — оо, Х, ~0. Более того, показано, что любая предельная точка любой минимизирующей последовательности принадлежит Х„. Покажем, что Х, компактно. Возьмем произвольную последовательность (еь) Е Х„. Так как (т«ь) Е Х вЂ” компактное множество, то существует подпоследовательность (о, ), сходящаяся к некоторой точке е, Е Х.
Но (е,)— минимизирующая последовательность, так как Г(о„) = у, (к = 1, 2,...). По вышедоказанному тогда»„Е Х„. Компактность Х, установлена. Покажем, что любая минимизирующая последовательность (х„) сходится к Х„. Так как р(х, Х,) = «п! р(х, х) > 0 (к = 1,2,...), то ясно, что МЕХ, !пп р(х„, Х ) > О. Пусть !пп р(х„Х ) = !!ш р(х,, Х ) = а< оо.
В силу ком- И ~«« ь пактности Х из (хь ) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке х.. Не умаляя общности, можем считать, что сама последовательность (х, ) сходится к х,. Согласно лемме 2 функция р(х, Х,) непрерывна по переменной х, поэтому 1!ш р(х,, Х„) = р(х„, Х,) = а. Однако по доказанному х„е Х,.
Тогда а= р(х„, Х.) = О, Это значит, что !!ш р(х,, Х,) = 1пп р(х„Х,) =О. Следовательно, предел 1пп р(х,, Х.) су,й 00 " ' й М " * й ществует и равен нулю. Теорема 1 доказана. !3 Предлагаем читателю рассмотреть функции, а также множества, из примеров 1 — 3 (см. также примеры 1.1.1 — 1,1.5) и проверить, в каких случаях условия теоремы 1 выполнены и, следовательно, нижняя грань достигается, в каких случаях она не достигается и в каких случаях нижняя грань достигается несмотря на то, что условия теоремы 1 нарушены. 5. Заметим, что в теореме 1 условие компактности множества Х является довольно жестким.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
