Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Тем самым установлено, что для любой последовательности (хй) е Х, удовлетворяющей условиям (9), справедливо неравенство (10). Наконец, если такон последовательности (хй) не существует, т, е. пт! Р(х) > О, то за- О дача (1) имеет согласованную постановку по определению. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть задача (1) имеет согласованную постановку на Хо. Покажем, что тогда С, =/,. Сначала рассмотрим случай, когда С„= — ОО.
Эта ЗНаЧИт, Чта !ПП р(С) Ою 1ПП р((й) =О, ГдЕ (Сй)- — ОО. ПО ОПрЕΠ— ОО й ю делению р((й), согласно формуле (4), следует существование точки х, е Х такой, что р(гй) < Ф(х, Сй) < р(йй) + 1/)с, й = 1, 2,... Отсюда при !с — оо имеем Игп Ф(хй, Сй)=0. Это означает, что !пп Р(х,)=0 и Игп гпах(/(хй)— — Сй; 0) =0 в случае использования функции (2) и Ищ !Х(хй) — Сй) =0 — в случае функции (6). Но по построению (Сй) — — оо, поэтому последние два равенства возможны только при 1пп /(хй) = — со= (ы С другой стороны, из (Р(х,)) — 0 и формулы (3) следует выполнение условий (9).
В силу (10) тогда !пп /(хй) > /,. Следовательно, /, = С, = — оо. й ОЮ Пусть теперь С„> — оо. В силу теоремы 1 тогда /, > С. > — оо. Возь- мем произвольное С < /.. По определению р(С) существует последова- тельность (хй) Е Х такая, что !пп Ф(хй, С) = р(С).
Может случитьея, что й О Исп Р(хй) = д > О. Тогда нз Ф(хй, С) > МР(хй) при м — оо следует, что р(С) > М Ищ Р(х,) = Мс( > О. Если же Ищ Р(хй) =0= Исп Р(х ), то й О, .-ОО Ищ д! (хй ) = О, э = 1,..., э. В силу (10) отсюда имеем )пп /(хй ) > /. > С. О А тогда р(с) = 1пп Ф(х,, с) > Х (/, — с)гь > 0 как в случае использования функции (2), так и функции (6). Тем самым показано, что р(С) >О при всех С < /„. Кроме того, в рассматриваемом случае С, > — оо по определению 1 имеем !пп р(С ) > О. Следовательно, С, > /„, что в силу теоремы 1 возможно только при С, = /,. Теорема доказана. П В 9 15 были приведены достаточные условия, гарантирующие согласован- ную постановку задачи (1) на Х (см. теорему 15.2, леммы 15.1, 15.5).
4. Подробнее остановимся на частном случае функции (2), когда Ф(х, С)=5 щах(Х(х) — С;О)+МР(х), хе Хо, (13) где Х > О, М > О, а функция Р(х) взята иэ (3) при некоторых рс ) 1, О = 1,...,г. Оказыва- ется, функция (13) и соответствусощая ей функция р(с) обладают рядом полезных свойств, облегчающих поиск минимального корня уравнения (5), Теорема 3. Функции Ф(х, С), р(С), олределясмые формулами (13),(4), монотонно убьсэаюю (вообийе говоря, не строго) лри возрастании С и удоагетворяюлл неро венсглвсм !Ф(*; С) — Ф(х, т)! < л !С вЂ” т!, (14) !р(С) — р(т)! < 5!С вЂ” т! (15) лри всех хе Хо и любьсх С, т.
Если А„=)п1 Х(х) > -оо, юо *" х, Ф(х, С)=-ЕС С-ЕПя)+МР(х), р(С) = — ОС+Си((Х Х(х)+ МРЯ) (15) ХО лри всех С < А„— линейные функции ло С. До к а за т ел ьс т во. Простым перебором возможных значений функции ювх(а; Ь) легко доказываются неравенства юах(Х(х) — С;0) > щах(Х(х) — т;О), С < т, хЕХо, ! юах(Х(х) — С; 0) — щах(Дх) — т; О)! < !С вЂ” т1, х е Хо. Отсюда следует невозрастание функции Ф(л С) по переменной С и неравенство (14). Далее, длЯ любых С < т имеем Ф(х, С) >Ф(ц т) В )Р(т) или Ф(гй С) > Р(т) пРи каждом ха Хо. Отсюда, переходя к нижней грани по хе хо, получим р(с) > р(т) при всех с < т.
Докажем неравенство (15). Зафиксируем произвольные С, т. По определению нижней грани при каждом э > 0 существуют точки я„х, е Хо такие, что р(С) <Ф(еы С) < р(С)+ э, р(т) < Ф(ею т) < р(т)+ г. Тогда, учитывая уже доказанное неравенство (14), имеем р(С) — р(т) < Ф(х, С) — Ф(х„т)+с < < Б !С-т!+с, р(С)-р(т)) Ф(е„т) — э — Ф(ц т) )-5!С-т! — э, т. е. !р(С) — р(т)! < 5 !С -т!+г ЗБ4 Гл. 5. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ $18.
МЕТОД НАГРУЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ (22) Сь+ ! — Сь + р(гь)/5, А=О, 1, (17) (18) Ф(х, г) т!п(; ай Хо, ""ьг! при любом г > О. Отсюда прн г -т+О получим неравенство (15). Формулы (16) следу|от из того, что /(х) — ! > /„, — ! > 0 при всех х б Хо. Теорема 3 доказана. !3 Если задача (1) имеет согласованную постановку на Хо и /, > -со, то, опираясь на теорему 3, можно предложить следующий итерационный метод определения /„. Сначала выберем то так, чтобы р(то) > 0 (например, если /„, = !п1 /(х) >-оо, то можно взять любую точку то < /„). «ь Следующие приближения определим по формулам Теорема 4.
Пусть функция р(!) >О при всех с, — со<! <+со, удогяетаоряет условию (15), пусть ф— минимальный корень уравнения (5) э смысле определения 1, 1, > — со. Тогда при любом выборе начального приближения !о, -ос < !о < г„лоследоэательность (сь), определяемая условиями (17), сходится к 1,. До к а ветел ь ство. Так как р(!) > О, то иэ (17) следует, что последовательность (зь) монотонно возрастает и поэтому существует Иш !ь — — а< со. Покажем, что а= зю По условию ь с < 1,. Допустим, что при некотором й ) 0 оказалось гь < с,, Тогда р(г) > 0 прн всех с < с, озьмем произвольное г, сь < с < зь+ !. с учетам условий (15), (17) имеем р(д=р(сь)4(р(!) — Р(сь)( > р(!ь)-5(с-!ь) > р(гь)-5(зь !-гь) =о, с„< с < с„ это значит, что Р(г) > 0 пРи всех с < сь+ !, т. е гь+ ! < 1,, может слУчитьсЯ, что Р(сь+ !) = О.
Тогда Сх+ ! — — г, — в этом слУчае итеРацйи (17) зэканчива!отав. Если Р(!я ь !) > О, то !ь+ ! < С, и итерзцйй продолжаются дальше. Таким образом, имеются две воэможности. Либо процесс (17) закончится тем, что р(! ) > >О,..., Р(зь !)>О, р(сь)=0 — тогда сь — - г„=а утверждение теоремы верно. Либо р(!ь) >О, !я <1„Р(г)>0 пРи с <!ь длЯ всех 8=0,1,...— вэтом слУчае пгп !я=а< ! и Р(!)>О ь при всех ! < а. Покажем, что а= йш Если последовательность (!ь) неограничена сверху, то а= со= С,. Если же сь < а< со, й =О, 1,..., то, УчитываЯ непРеРывность фУнкции Р(г), из (! 7) при й со получим а= а+ р(а)/Ь нли р(а) =О, Это значит, что 1, = а при а<со Теорема доказана. П Заметим, что иа каждом шаге метода (17) нужно вычислить одно значение функции р(С), и для этого в свою очередь нужно решить задачу минимизации Поскольку функция (13), вообще говоря, не является гладкой, то это обстоятельство может вызвать некоторые трудности при решении задачи (18), Однако имеющиеся методы решения негладких задач минимизации (см., например, (264; 265; 361; 386; 396; 426; 572; 586; 718; 769; 777)) позволяют надеяться на то, что вычисление приближенного значения р(!) не окажется слишком трудным.
При изложении метода (17) предполагалось, что величины р(сь) известны точно. Однако задача (18) на практике, как правило, будет решаться приближенно, и точное значение р(сь) удастся вычислить лишь в редких случаях. Поэтому желательно обобщить итерационный процесс (17) иа случай, когда значения функции известим неточно. Опишем одно из возможных таких обобщений (143( Предположим, что вместо точных значений функции р(!) известны лишь некоторые приближения р„(С), и = 1,2,..., удовлетворяющие условиям Рг(!) ) О, (Рг(!) — Р(!)( < у„, и=1,2, ..Л Пт '1„=0.
(19) Пусть со — начальное приближение, со < 1,. Пусть (и — 1)-е приближение 1„! при<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
