Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Пример 4. Пусть Дх)=х, Х=(хбЕ'. д(х)=(х' — 1)(х'+1) ' < < 0). Здесь Х =(х Е Г!: — 1 < х < 1) и, очевидно, /. = — 1, х„= — 1. Если согласно (2) примем Ф(х, г ) = шах(х — 1; О) + шах(д(х); 0), х Е Х„= Ю !, то при г ) — ! получим Ф( — 1 г) =О=ш!Ф(х Г) =р(1) Прн 1 < Е' х = — й < г, такжебудем иметь !!ш Ф( — й, г)= 1!ш д(-й)=0=!и!Ф(х, 1)= г !! г оо е' = р(г ). Таким образом, в рассматриваемом случае р(г) гяО при всех г.
Если в качестве минимального решения уравнения (5) здесь взять 8„= — оо, то получим 1, < /, = — 1. Рассмотрим функцию (6) Ф(х, г) = /х — г!+ шах(д(х); 0), х б Хь = Е!. Если !г/ < 1, то при х = г получим ф(г, г) = 0= р(г). Пусть )г / > 1, Введем множества А,=(хЕЕ'. !х — 1/< ), А,=(хЕЕ'. )х — Г!> — л — ). Так как А, !.2 Аг = Е, А, и Аг = О, то тогда р(1) = !и! Ф(х, 1) = ппп(!п1 Ф(х, г); Е' А' !и! Ф(х, г)) > ппп(ппп д(х); (!г/ — 1)/2) > 0 при всех г, !г! > 1. На первый взглид создается впечатление, что здесь /, = — 1 — минимальный корень уравнения (5), Однако 0 <р(г) <Ф(г, 1) =д(!) при !!!) 1 и !ип р(1) = = !!щ д(г) =О. Поэтому есть основание считать, что минимальныи корень уравнения (5) и в этом случае равен г, = †< /„.
Любопытно сравнить задачи из примеров 2 и 4. В них функции /(х) и множества Х совпадают. Но эти задачи отличаготся способом задания множества Х. Это различие приводит к тому, что в примере 2 минимальный корень 1, уравнения (5) совпадает с /„а в примере 4 получим г„< /,. Отсюда можно сделать вывод: для выполнения равенства г„= /„ лежащего в основе метода нагруженных функций, исходные данные задачи (1) должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям, они должны быть както согласованы. Для формулировки этих условий нам прежде всего нужно уточнить, что понимать под минимальным корнем уравнения (5). Определение 1. Число 1, назовем минимальным корнем уравнения (5), если р(1„) = О, р(г) > 0 при всех 2 < г„и !пп р(г) > О. Если же йт р(г) =О, то примем 1, = — оо.
Если р(1) > О при всех 1 > 0 и ! — сю 11гп р(г ) > О, то по определению положим г. = со. ! Чтобы показать, что все указанные в определении 1 возможности в самом деле могут реализоваться, рассмотрим еще несколько примеров. Пример 5. Пусть 2! х>-2, — (Й+1) < х < — Й, !х( < 2, !х( > 2, !( ) Йг 1, б/!х/, Й=2,3,...; "'„, „! $, 15. МЕТОД НАГРУЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ 359 Й, Н 361 $1з.
метОд ИАГРуженных Функций 360 Гл. з. метОДы минимизАЦии ФУнкЦий мнОГих пеРеменных !п17"(х), Х ~И, у — х +ос Х И ХрфИ (8) ,сс.г (10) !пп 7(х,) > 7",. Х =(хе Е' =Х,: д(х) <0). Тогда Г'„= — 1, х„= — 1. Рассмотрим функцию (6) Ф(х, г ) = /7'(х) — с/+ псах(д(х); О), х Е Е'. Покажем, что р( — йс — й) > й, й = 2,3,...
В самом деле, если х > — 2, то Ф(х, — йр — й) > !х+ й'+ Й) = !ср+ й+х > й' > й при всех й =2,3,, Если — (с+1) < х( — с, 2(с (й, тоФ(х — йс — Й~) ~ — сс+йс+й!=й~ — Р+й) й а если — (с+1) < х ( — с, с ) й+1, то Ф(х, — й — й) ) ~ — сс+йр+й~ = с' — (й+1)'+ +й+1> й+1 > й. Таким образом, Ф(х, — й' — й)> й для всех хе Е', поэтому р( — йс — й)) й', й = 2, 3,, Следовательно, !нп р(г)= !пп р( — й' — й) =со. с — с ь оо С другой стороны, 0 ( р( — !с') < Ф( — й, — йс) = д(- й) = бй ', й = 2, 3,..., так что 1ип р(г) = 11ш р( — й') = О. Согласно определению 1 тогда с, = — оо < С вЂ” сс с ю < ~„= — 1.
Остановимся также на функции (2) Ф(х, г) =-шах(у(х) — с; 0)+ гпах(д(х); О), х Е Е' Нетрудно видеть, что если г > — 1, то Ф( — 1, г) =0= р(г ). Если же г < — 1, то при й~( — г получим Ф( — й, г)=гпах( — й' — г;О)+д( — й)=д( — й) — сО=р(г), Таким образом, здесь р(г) = — 0 при всех г и согласно определению 1 имеем г* = — оо. Пример 6. Переопределим функцию 7(х) из(7) в точках х=й ' так: Г(й ') = — й', й = 1, 2,...
Функцию д(х) и множество Х оставим такими же, как и примере 5. Повторив прежние рассуждения, нетрудно убедиться, что минимальный корень уравнения (5) здесь будет равным г, = 7'„как при использовании функции (2), так и функции (6). В отличие от примера 5, здесь 7„= — оо, поэтому справедливо г„= 7„.
Любопытно посмотреть, что будет, если множество Х из (1) пусто, но Х, непусто. В этом случае задача (1), конечно, перестает быть содержательной, но тем не менее функции Ф(х, г), р(г) из (2), (4), (6) будут иметь смысл. Пр и мер 7. Пусть |(х)ее1, Х=(хЕЕ'. д(х)=е "<0). Здесь Х =Е', Х = И. Согласно формуле (2) имеем Ф(х, г) = шах(1 — г; 0) + е **, х е Е', поэтому р(с ) = шах(1 — г; 0) и г, = 1.
Если же воспользуемся функцией (6) Ф(х, с) = (! — г!+ е *', то р(г) = !! — г! и г, =1. Если здесь взять д(х) = е *'+ 1, то получим р(г) = шах(1 — г; 0) + 1 для функции (2) и р(г) = !! — г!+ 1 для функции (6), так что минимальный корень уравнения (5) согласно определению 1 будет равен г„= оо. Пример 8. Пусть 7(х) = х, Х =(х Е Е', д(х) = е * <0). Здесь Х = Е', Х = И. Согласно (2) имеем Ф(х, г) = шах(х — г; 0) + е *'. Так как при х = — й < г функция Ф(-й, г) = е ~ -с 0 при й — оо, то р(й) = : — 0 при всех г, и г„ = †. В случае функции (6) Ф(х, г) = !х — г! + + е *' = пнп( !и! Ф(х, !); !и! Ф(х, г)) > пнп( !и! е *'; 1) = с(й) > 0 3*-с!чг ' ! -ц>г ' !с-с!чг при всех х яЕ', поэтому р(г) >0 при всех г, Но 0 < р(г) <Ф(й, г)- 0 при г — с+со или г — с — оо, так что йш р(г)= !!ш р(с) =Он г„= — оо.
с + с Если же здесь взять д(х) = е * + 1, то Ф(х, г) > 1, х е Е' и р(г) > 1 при всех г, и поэтому г, =+со. 3. Примеры 7, 8 подсказывают, что для того чтобы единообразно охватить возможность, когда в задаче (1) Х = И, целесообразно принять Тогда справедлива следующая Теорема 1. Пусть ф нкция р(с) определена формулой (4), где функция Ф(х, г) взята из (2) или (6). Пусть г„— минимальный корень уравнения ~5) в смысле определения 1, а величина 7; определена согласно (8), Тог а г„< 1;. Доказательство. Если Х =И, то 7,=+со и утверждение теоремы тривиально. Поэтому пусть Х ф И, Так как мы условились рассматривать функции, принимающие лишь конечные значения в области своего определения, то 7.
< оо. По определению Г'„существует последовательность (хс) Е Х такая, что !!ш,7(хс) = 7, > — со. Если 7"„> — оо, то !нп Ф(хсо 7",) =0= р(7"„) и поэтому Г„< 7",. Если же У, = -сю, то, взяв г,=Г(хс), получим р(г„)=Ф(х„, г„) =О, й =1,2,... Поскольку (гс)- — оо, то отсюда следует !!гп р(г ) = 1!ш р(Г,) = О, так что г, = 7"„= — со. Теорема с -ю С с доказана. П Рассмотренные выше примеры показывают, что для выполнения равенства г, = 7„важное значение имеет способ задания множества Х: ограничения, задающие множество Х должны быть как-то согласованы с минимизируемой функцией 7(х). Напоминаем, что в $ 15 было введено понятие согласованной постановки задачи (1) на Х (см. определение 15.2), означающее, что для любой последовательности (х,) е Х„которая удовлетворяет условиям с=1,...,в, (9) !пп д,+.(х,) =О, имеет место соотношение Распространим это понятие на случай, когда Х, ~ И, Х = И и соглас- но (8) г„=+со.
Здесь следует различать две возможности: !и!Р(х) =0 и с !п(Р(х) > О. Если гп1 Р(х) =О, то существует хотя бы одна последователь- Х Хс ность (х„) е Х, удовлетворяющая условиям (9), — в этом случае скажем, что задача (1) имеет согласованную постановку на Хр, если для любой последовательности (х ) е Х, для которой справедливы соотношения (9), имеет место Равенство 1!ш 7" (хс) =+оо = 1;. Кстати, это же Равенство по- лучается и из (10) при 7"„=+со. Наконец, если Х ~ И, Х ='И, 1п! Р(х) >О, Х, то по определению будем считать, что задача (1) имеет согласованную по- становку на множестве Х,.
Оказывается, введенное понятие согласованной постановки задачи (1) играет важную роль при выяснении того, будет ли г, =,7, или с„< 7'„. Теорема 2. Пусть функция р(г) определена формулой (4), где функция Ф(х, г) взята из (2) или (6), пусть г„— минимальный корень уравнения (5), а величина 7; определена формулой (8). Тогда для выпол- 363 $18. МЕТОД НАГРУЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ 362 Гл.
5. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (12) О„ нения равенства С„= /. необходимо и достаточно, чтобы задача (1) имела согласованную постановку на множестве Х . Доказательство. Необходимость. Пусть С, =/„. Если /. = — оо, то постановка задачи (1) согласована, так как !пп /(хй) > -оо=/„ для любой последовательности (хй) е Х,.
Поэтому пусть /, > — оо. Возьмем произвольную последовательность (хй) е Х, удовлетворяющую условиям (9), Согласно определению (3) функции Р(х) тогда Ищ Р(хй) =О, Отсюда и из неравенств ф(хй, С) > р(С) > О, справедливых для всех С < С„= /„ и !с = 1, 2,..., при л — оо получим 1пп щах(/(хй) — С; О) > >р(С) > О, С < (ю (11) й ю в случае использования функции (2) и !пп )/(х„) — С) > р(С) > О, С < С„, й х в случае использования функции (6). Покажем, что из (11), (12) следует неравенство 1пп /(хй) > С, =/,.
В й ОЮ самом деле, при выполнении (11) для каждого С < С„найдется номер ко = = ко(с) такой, что снах(/(х,) — с;0) > Р(с)/2>0 нли /(хй) — с > Р(с)/2>0 дла всех !Ь > кв, Тогда 11гп /(хй) > С пРи любом С < С,. УстРемлЯЯ С вЂ” С. — О, отсюда получим неравенство 1пп /(хй) > С. = /,. Рассмотрим случай (12). Пусть !пп /(хй) = Игп /(хй ) = а.
Имеются две й ю возможности: либо а > С„, либо а< С„. Если а> йю то требуемое неравенство !пп /(хй) > С, = /, установлено. Остается рассмотреть возможность а < С.. й ОО В этом случае величина а не может быть конечной. Допустим противное: пусть — оо < а < С„. Тогда при С = а получим )пп !/(хй) — а) = ! Ипэ /(хй ) — а! = О, й- Г ОО что противоречит условию (12). Таким образом, если а < С„, то а=-оо, т.
е. 1пп /(х) = Ищ /(хй ) = — оо, Тогда, взяв С„=/(х„), т =1, 2, .. ю получим 0< Г О <р(С„) <ф(х,,/(хй))=МР(хй )- О при т- оо. Это значит, что Ийп р(С)= = !пп р(С„) =0 и согласно определению 1 тогда С, = — со, Но по условию С, = =/„поэтому Ищ /(хй ) = /, = С„=-оо, дело свелось к ранее рассмотренному случаю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
