Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 103
Текст из файла (страница 103)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМЪ|Х УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА 343 !! Р (! ,"*г * Зг[г':;,'! Обозначим где й ей.(и»И! — ! Е(в)=[Ь«Е": (д!'(в),Ь)<0 У!«7(в) гт [в': 1<4<т), (д,'(в),Ь)=О; — 41 До к а з а т ел ь с т во. Рассмотрим вспомогательную задачу минимизации до(х) = 7(х) -|- [х — в[» — и !и|, х «И'" = (х «Е; [х — в[ < гб д (х) < О, 4 = 1,..., гп, д (х) = О, т = т Ч- 1,, г), аналогичную задаче (7), предполагая число 7 > 0 столь малым, что 7 < 1, 7(х) > 7(в) Чх « «Х г! Я(в, 7) = И', я(в, 7) = [х «Е": [х — в[(7). Тогда, как и в (7), нетрудно доказать, что в — точка строгого локального минимума задачи (19.А). К задаче (19,Л) применим метод штрафных функций. Имея в виду, что при выводе необходимых условий второго порядка нам придется иметь дело со вторыми производными рассматриваемых функции, воспользуемся более гладкими, чем в (7), штрафными функциями и рассмотрим задачу Ф»(х) =до(х) Ь Ь Л,' (шах(д,(х)! 0)) Ч- Ь Ь,' д,, (х) и 1п|, х «Ио -— В(в,т).
(20) г=! г=и е! Рассуждая также, как при доказательстве теоремы 1, нетрудно установить, что задача (20) имеет решение, т. е. существуют точки хй «Иш Ф»(х») = Ф», — !л| Ф (х), и справедлие н' г вы равенства (8), означающие сходимость метода штрафных функций (20). В частности, из (х»1-и в следует, что [хй — в[ < Г, т. е. х» «!п| Иго ЧЬ > Ьо, Во внутренних точках локального минимума необходимо Ф»'(хй) = О, Фйг(хй) > 0 вй > Ьо (теорема 2.2.1), Пользуясь выраже- ниями производных функции Ф(х) иэ (20), имеем Ф»'(хй) = до'(хй)-1- 2 4Ь(шах(дг(хй);0))зд,'(хй)+ 2, 2»дг(х )С,.'(х») =О, г= ! ! =тч ! Фйг(х»)=дог(х»)+ Я [4Ь(гпвх(дг(хй);0))эд,а(х»)-!-12Ь(шзх(д.(х, ),'0))з(д (хй))тд (х»))+ г=! [2»дг(хй)д,."(хй)+2»(д!(х»)) геу(х„)[> О, »гй > Ьо.
!=те! 4Ь(шах(дг(х»);0))э >О, 4 =1,..., гп, рш = 2»д (хй), т =т+1,,д г ! и г и 1/2 Разделив предыдущие соотношения на [1+ ~, р~й) > 1, получим г=! Лейда (хй) ! ~; Лг»дд(хй) =0> УЬ > Ьо, г= ! (21) (22) и Ю Лоййг(хй)-|- 2 Л. д,."(х,)-!- Л, !2ЬЛо (пзах[д;(хй);О)) (д (х»)) дд(х»)+ г=! + х; 2»Ло»(дг'(х»)) д,.'(х») > 0 ЧЬ > йо, (23) г=и +! и з»-Пя где лой = (! ч- Е ра), лм = нс лой г=! такие, что Ьо будет аредельнои точкои последовательности [Ь»), т. е, З(Ь» ) и Ь, А по определению П(Л» ) имеем (С (в Л» )Ь», Ь» ) > О, и = 1,2,... Отсюда при в -и оо получим (С„(в, Л)Ьо, Ьо) > 0 Чйо « П. Это значит, что подпространство П облздает свойствами (14)- (16) и, следовательно, является сопровождающим подпространством точки Л. Включение Л « « Л,(в) доказано в случае Л ,— г О.
Отсюда, учитывая, что последовательность (Л») « Л,(в) может также сходиться к точке Л =О, заключаем, что конус Л (в) О (0) замки т. а ут. Теперь можем приступить к доказательству основной теоремы настоящего параграфа, Теорема 2 (Арутюнов [44)). Пусть в — точка локального минимума задачи (!З.А), пусть функции 7(х), д|(х), .. и д,(х) дважды непрерьггно дифференцируемы з некоглорой окрестности точки в.
Тогда Л (в) фйг, (17) гпах (С„(в, Л)Ь,Ь) >О ЧЬ«К(в)ст(Ь «Ь'; (7'(в),Ь) <0), (18) 344 г . 5, мЕтОДЫ МИНИмиЗАЦИИ эунКцИЙ многих пеРВМЕНнЫХ 4 16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМА 343 По определению мномсествз 7(в) имеем д(э) <0 >ус сл ! (в). Поэтому с учетом непрерывности д;(х) и первого равенства (8), беря при необходимости Ьо еще большим, можем считать, что дс(хь) < О >УЬ > Ьо, Отсюда с Учетом (21) имеем тахгдс(х );0) =О, Р„=О лс> ву(в) пс > ьо тзк что Ле, — — )сь Лев > О, с' = 1,..., и>, Лс — - 0 >У> 4 Е(и), >УЬ > Ьо. Тэк как )Л ь ) = 1, где Л ь —— = (Л ,..., Л,ь)™, то, выбирая при необходимости подпоследовзтельность, мох!ем считать, что (Л,) †> Л, Кроме того, заметим, что в силу (8) до'(хь ) = >"(хь) -г 4)хь — е) (хэ — е) -> >"(в) в при Ь вЂ” > со.
Переходя в (22) к пределу при Ь -> оо, получим Ло 7'(хо) Ч- Л, Лс д (о) = О, Таким '=! образом, С,(с> Л)=0, Л д (е) =О, > =1,..., и>, >Л)=1, Лв >О,, Л >0 т е. Л ЕЛ(в)> Теперь совершим предельный переход при Ь -> оо в неравенстве (23). Введем последовательность подпространста Пс - — (Ь 6 В"; (ду(х ), Ь) = О, > 6 7(е)), Ь = 1, 2,...
Рзвмерность ортогонального подпространства Пьь равна числу линейно независимых векторов системы (дс'(хь), с и 7(е)), т. е. не превышает числа !>"(в)!. Тогда б!ш П! > п>ах(п — )>" (а)й О) = т. По лемме 1 найдется подпространство П такое, что й!ш П > п>ах(п — 17(е)/; О) и П С Сэ П,.
По определению Ся Пь каждая точка Ь ц Ся Пь является пределом какой-либо подпосле- Ь ьч ь- « довэтельиости (Ь ), Ь, ЕПь, т. е, (дд(хь ), Ь, )=О, > СУ(в). Одизко [х ) щ поэтомУпРи » — > со из последних равенств получим (д'(е), Ь) = О, с' 6 7(в), т. е. Ь 6 1сег С'(е). Это значит, что Сэ Пс с1сегС (в) и подавно Псйег С (в). Поскольку шах(д (хь); 0)= 0 при >ус' фу(в), ь Ь > Ьо, а для с 6 Ци) имеет место равенство ((д,'(х)) д,'(х)Ь«, Ьь) = (дс(хь)Ьь )~ = 0 для >УЬь 6 П„, то иэ (23) при Ь = Ь, имеем ((лоь де (хь )+ Е лш д (х, ))ьс ь„) (с (х, ль )ьь ь! ) >О >=! где Ь 6 Пь, и — — 1,2,..., взяты такими, что (Ь, )-ч Ь ЕП.
Так кзк (х ) — > е, (Л )-> Л, дол(хь) = >л(хь )+4>хь — е)эХ„ч-8(хь — в)(х„— в) "-> 7«(о), где 1„— единичная матрица и х и, то из последнего неравенства при и — > оо получим (С„„(е, Л)Ь, Ь) > 0 Л>Ь 6 П. Таким образом, доказано, что подпространство П облздзет свойствами (14)-(16) и, следовательно, является сопровождающим подпространством точки Л 6 Л(о). Это значит, что Л 6 Л„(е), т, е, Л,(о) ф мс.
Утверждение (17) доказано. Остается доказать неравенство (18). Заметим, что поскольку конус Л„(е) и (0) замкнут, то множество (Л 6 Л (о), )Л( = 1) замкнута и ограничено, т. е. компактно, Отсюда и из непре. я рывности С (е, Л) по Л следует, что в правой части (18) максимум достигается хотя бы в одной точке Л = Л(Ь) при камсдом Ь е К(е), (г"'(в)> Ь) (О Нам надо доказать, что этот мак. симум неотрицателен при всех ь 6 к(е), (7"'(в), ь) (О. зафиксируем произвольную точку ь из К(в), (7"'(в), Ь) < О. Можем считать, что Ь уэ О, тзк как при Ь = 0 неравенство (18) выполняется тривиально при всех Л.
Для сокрзщения записей примем, что е = О, 7" (0) = О, так что >'(х) х Т(0) =0 >ух 6 Х, >х~ (гн к этому случаю легко приити, переходя к переменным х — в, 7"(х) — 7"(е). Неравенство (18) сначала докюкем при дополнительном предположении, что в зддзче (13.А) все ограничения дс(х) < О, с = 1,...,и>, в точке х = е = 0 являются активными, т, е.
7(0) = (с: с' = 1, 2,..., з). Рассмотрим следусощую вспомогательную задачу минимизации в пространстве переменных л =(х, ») 6 В х В'с де (л)=д>(х) — »до(еь)+!х — Яь) с сд(»)>!п(, «6Я(Я) (24) Я(я) = (« 6 Яо. д„(.) = д,(х) - »д,(«Ь) ( О, ' = 1,..., , дсс(«) — дс(х) — »дс(«Ь) = О, ' = ш + 1, ,я)> (25) гДе д (х) =((х)+ >х!с, Яе =(л=(х,») 6 Г" '. )х( < гл» >О); паРаметР Я столь мал, что О< Я)Ц <Т; 0 при 0(» < 1, Ф(») 4 (» — 1) при» > 1. Л с = (.,>я, Л >с,..., Л>,), ~Л с~ = 1, Лос > О, Л >, > О,, Л,„а > О, ВС («„Л,) уды («,Л,) дС,(~,Л )) Лм(д,(х,) — »,д;(яЬ)) =О, с =1,..., га, (26) (27) (28) где С(л Л) = Лоде(л)+ Л,' Л(д (х) — »д («Ь)), л =(х») 6 Яе, Лс >0 > = О,..., тп, я = я„, с=! !с > Ьо.
Подробнее распишем равенство (27); НетРУдно видеть, что точка л= (х = ЯЬ, » = 1) 6 Я(Я), так что Я(Я) Л х> и до (д) =О. Введем множество Лебега М,(л) = (л 6 Я(Я): до,(л) (~ до,(л)). Так как фУнкции де(л), с = О,..., Я, непрерывны при всех «6 я, то М,(д) замкнутое множество. Убедимся, что оно ограничено, пРичем РавномеРно по Я, 0< Я < У)Ь) !. Заметим, что М (д) = М>(д)ОМ э(л), где М с(д) = = М(л) О(л: 0 <» < 1), Мз(л) =-Мс(«1) п(л: » > 1).
Ь(но>кестео М„(«) с («=(х »~: )х! < (гб 0<» <1) и, очевидно, ограничено равномерно по я, 0<я<7)Ь! . Рассмотрим множество м з(«). пУсть « 6м э(л). тогда имеем 0= до,(э)> 1п! де(х) — » зпР де(х) — ()х)ч)еь!) -ь !х! < г +(» — 1)" или (» — 1) — »А < (27)" — В >У« =(х>») 6 М,з(л), где А = эпР й>(х) > О, В = 1*! < т — !п! де(х) <О. Проведя элементарное исследование графика функции у>(») =(» — !) — »Л, !*! <т » 6 В', нетрудно показать, что уравнение э>(») =(27) — В имеет два решения»>, »з, причем »э > 1.
Отсюда заключаем, что м,э(л) с (« = (х>»): ф < т, 1 <» <»з), т. е. множество М,т(д) также ограничено, причем равномерно по я, 0 < я < т)Ь) ', Таким образом, множество М,(д) компактно, и непрерывная функция до,(л) достигает на этом множестве своей нижней грани хотя бы в одной точке л, =(х, » ) 6 М (л) (теорема 2.1.1).
Однако, !п! де (л) = с с с «ея! ) я !и! до,(л) = до,(л,) < до,(д) < О. Так как множество М,(д) ограничено равномерно по «е М, ! «) я, 0< я < 7>Ц ', то семейство (л,) решений задач (24), (25) при 0< я < т!Ь) ' равномерно ограничено !х ) ( у 0<» <»з Покажем, что л, 6 >п1 Яо при всех достаточно малых я > О. Сначала убедимся, что», > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
