Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (1125241), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Применим к задаче (7) метод штрафных функций. Введем функ- цию Фй(х) = д,(х)+ й 2,'(шах(д(х);0))'+ й 2" д,'.(х), х е Х,. Так как >= ха- ! Ие компактное множество, функции д,(х),Ф„(х) непрерывны на Ищ то д„= 1п1 до(х) > — со, Ф„= >п1 Фй(х) > — сю й существует точка х е Ищ * *ежа ве И'а для которой Ф(хй)=Фй. Далее, множество И(б)=(хЕ И! д,."'(х) < б, а = = 1,..., л) ограничено при всех б > О, так как И', ограничено. По теоре- ме 15.2 тогда 1нп !хй — в~ =О, 1!гп д (ха) = д!>„= Е(е) = 11>п Е(хй) (8) Применяя теорему 4.2.3 к задаче: Ф (х)- 1п1, х е Ищ имеем (Фа (ха), х — х„) > 0 Чх Е Ио. (9) Покажем, что неравенство (9) на самом деле верно для всех х а Х, при всех достаточно больших номерах й.
Возьмем произвольную точку х е Хо и положим хй, = х +се(х — х,), 0 < сх < 1. Так как Х, выпуклое множество, то хй Е Х,. Далее, ~хй„— в)<!хй„— хй!+~ха — в(=ах!х — хй!+)х„— в(. С учетом (8) имеем: !хй — в~ < 2 Чй > йо, са )х — х,! < $ Ча, 0 < са < са = схо(х) < 1. Поэтому 1х. — и! < Т или хй„е Ие Чй > й„Ча, 0 < а < ощ и в (9) можем положить х = х . Получим (Фй (хй), сх(х- хй)) > 0 при всех а, О < са < а = сх (х), й > й . Следовательно, (Ф„'(х„), х — х,) > 0 Чх б Х, Чй > й . (10) Подставим в (10) явное выражение для производнои Ф, (хй) е (х )+2! х в а й й й ахй — в)+ ~ 2й шах(да(хй);0)да'(хй)+ ~; 2йда(хй)д,'(х ).
Будем иметь *.=! ' = аа а- ! (Е'(хй) + 2(х, — в) + ',> , ')ай ду(х,), х — хй) > 0 Чх Е Х„, Чй > й„(11) а' = ! рщ = ай т й ! ! 2й щах(да(х„); ОЕ > О, а' = 1,..., ап; 2йда(х.), а = т + 1,..., к 12! а а >/3 Разделим неравенство (11) на (1+ 2, 'еаза) > 1, Получим а (ЛойЕ'(хй)+2Лой(хй — и)+ 2 Лмдд(х,), х — хй) > 0 Чх Е Хо, й > йв, (13) а Л вЂ” а/з где Лвй = а1+ ~ ~ря) > О, Л,.й = райЛ„„, а = 1,..., з, причем в силу (12) 3 Лай >О, а =-1,..., т, Чй> йо. Последовательность(Л =(Л,..., Л, )) ограничена, так как )Лй( = 1.
Пользуясь теоремой Больцано — Вейерштрасса и выбирая при необходимости подпоследовательность, можем считать, что (Лй) — Л =(Л,..., Л), где Ла >О, а =О,..., гп, !Л) = 1. Как видим, условия (4) для полученного Л выполнены, Так как Р(х), дд(х) непрерывны и (хй) — в в силу (8), то из (13) при й — со получим неравенство (5).
Наконец, если да(в) =О, то Л.д,.(в) = О. Если же да(е) < 0 при некотором а, 1 < а < т, то да(х ) < 0 Чй > й, > й . Тогда из (12) видно, что Еаай пе 0 и поэтому Л,. = 0 Чй > й . При й — со отсюда имеем Л, = 0 при да(е) < О, так что снова Лада(е) = О. Равенства (б) получены. Теорема 1 доказана.
С) Читатель, конечно, обратил внимание, что в условиях близких теорем ! и 4,3.1 (см. также теоремы 2.3.1, 2,3.2) к !руикциям Е(х), д,,(х), а = 1,..., з, предъявляются несколько взныв Р требования гладкости. Ясно, что это связано с методами доказательства упомянутых теорем. В связи с этим возникает интересный вопрос, каковы минимальные требования к гладкости функций Е(х), д„(х), а = 1,..., в, для того, чтобы правило множителей Лагранжа оставалось справедливым? полее тонкие исследования показывают [401, что для этого достаточно, чтобы функции Е(х), д,(х), а = 1,..., з, были непрерывны в окрестности точки в и дифференцируемы в точке е. 2.
Перейдем к доказательству необходимых условий экстремума второго порядка (см, теоремы 2.4.2, 2.4.3) для задачи Е(х) — а!п(, хе Х =(х ЕЕ"! да(х) <О, а = 1,, па, да(х)=0, а = ап-!-1,..., з), (!ЗА) получающейся из задачи (!), (2) при Хо — — Едв. Пусть в — точка локального минимума задачи (13.А). Согласно теореме 1 конус Лагран>ка А(е), состовщий из точек Л = (Ло,..., Л,), которые удовлетворяют условиям Л Ф О, Л„ > О,..., Л > О, с (в, Л).= О, Лад (е) = О, а = 1,...,т, непуст, Напомним, что конусом Арутюнова точки в множества (2) называется подмножество Ав(в) таких точек Л е А(в), для каждой из которых существует сопровождающее подпрострзнство П= П(Л) С Вт со свойствами: жщ П(Л] > тах(п — !Е(е)!! 0), (14) П(Л) С!аег С'(е) = (А е Е'": (ду(в), А) =О, а е Е(в)), (!6) (С (в, Л)А, Уа) > 0 ЧА Е П(Л), (!6) где е(в)=(а: ! <а <т, д (в)=0) О(а; тч! н а < в) — множество индексов (номеров) активных ограничений точки в, /Е(в)! — количество элементов мнохаества Е(в), О(х)=(да(х), аеЕ(е)).
342 Гл. 5. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В $2.4 было показано, что так введенное множество Л,(в) в самом деле является кону- сом. Как мы видели на примерах, конус Арутюнова, в отличие от конуса Лагранжа Л(в), необязательно является выпуклым и может иметь весьма сложнуго структуру (пример 2.4.6). Покажем, что конус Л,(в)»г(0) замкнут.
Для этого сначала докажем одну важную лемму, обобщающую известную в математическом анализе теорему Больцано — Вейерштрасса. Определение 1. Пусть задана последовательность мнозкеств [П»)СЕ", Верхним пределом последовательности (Пй) называется множество, обозначаемое Сг Пй и состой ии ящее из таких точек хш для каждой из которых существует своя последовательность (хй), х, « П , Ь = 1, 2,..., для которой хо является предельной точкой [428, стр. 844).
й» Лемма ! (Арутюнов [44)). Пуст~ г — целое число, 0 < г < и, а (П») — последоеа- тельность таких лодпространстз из Е", что йш Пй > т, Ь = 1, 2,... Тогда сущестгует надпространство П из Е", такое, что йш П > г и П С Ег П», й ии Пример !. Пусть П,=(н=(щуз)«Е; х=ОУ=О, П =(в=(х у г)«Е: г=О). э, Очевидно, П, П вЂ” подпространства из Е", йш П! — — 1, б!ш Пз — — 2. Рассмотрим последо- вательность (Пй) такую, что Пз; ! — — П|, Пзг — — Пя, з = 1,2,....
Здесь Сг П» — — П! О Пз. Очевидно, йш П„> г = 1, так что условие леммы ! выполнено, В качестве надпространства П из утвержденйя леммы можем взять П = П! или П = Пз Отметим, что здесь Сг П» не й является подпространством и включение П с Сг Пй строгое. » П р и м е р 2. Пусть П» — — (х «Ь'и; (с», х) = О), где с» — заданный вектор из Ь", [с»[ = 1, Ь = ! 2,, Здесь йш П = й-1 = г, В качестве П из утверждения леммы можем взять подпро- странство П =(х «Е: (с, х) =0), где с — произвольная предельная точка последовательности (с ). Верхний предел последовательности (П» ) является объединением всех таких подпро.
й странств П, Доказательство леммы 1. Пусть гй — — йшП». Тогда йшП» — — п — гй, где Пл — ортогональное дополнение к П в Ь". В П»й возьмем ортонормированный базис е»1,... й ..., е, т, е, [г .[ = 1, У = 1, .. и и — г», (е», е» ) = 0 ЧУ и' р, ! ( й р ( п — гй. огда йи — и ' ' ' »г я' г П» — — (х «Ь'": (ей> х) = О, У = 1, .. и и — г» ). Добавим к базисным векторам (гй.) нулевые йг )' ' й п.
вектора е»„, т ! — — О, ., и е»„„— — О, Тогда для Пй получаем представление Пй —— (х, «Е и (е ., х) =О, У = 1, .. и п-г), в котором количество »порох»дающих» подпространство Пй векто- е»,х = ров е, .. и е. уже не зависит от Ь. Эти вектора, очевидно, образуют ортогональную систе. »и — и му: (е», е» ) = 0 77 ~ р, ! < У р < и-г. Вместо свойства [е» [ = ! теперь можем гарантировать лишь ограниченность: [е» [ < 1, У = 1, .. и и — г, Пользуясь классической теоремой Больцано— Вейерштрасса из анализа применительна к последовательностям векторов [ей |),, (е,), можем утверждать, что существует подпоследовательность (е ) ив., где ܄— »со при и — ~ со, г' ' У = 1,, и - и, причем (е, г ) = О ЧУ ~ р, ! < й р ( п — и, [е [ < 1, ЧУ = 1,, и - т, и часть век. торов е, может оказаться равной нулю.
Пусть для определенности [е [ = 1 при У = 1, .. и р, и ег' еу =0 при !' = рш!,..., п-г (возможность р= 0 здесь не исключается). Положим П = (х «Е (е., х) =О, 2=1, ..ч и — г)=(х«Е"; (е., х) =О, 2=1,..., р). Поскольку е, „е линейно независимы, то ясно, что йш П = р, йш П = п — р > п-(и — г) = г. Покажем, что П С Ег Пй, й Возьмем произвольную точку хо «П. Убедимся, что хо — предельная точка последовательности (хй — -Рп (хо)) проекций точки хо на П,, Ь = 1, 2,, Воспользуемся неравенством Хоффма. на (15.41). 'р(хо,П» ) = [хо — Рп (то)[=[хо — хй [( М пих [(е» ., хо)[= Мшах[(е» вЂ” с ч то)[ — и 0 при в -и оо, Таким образом, П С Сг П».
Лемма ! доказана. П й Теперь можем доказать замкнутость конуса Л,(в) гг (О). Пусть последовательность (Лй) « «Л„(в), (Л») и Л Т' О. Покажем, что Л «Л,(в), По определению конуса Л,(в) для каждого Л» найдется сопровождающее надпространство П(Л») со свойствами йш П(Л») > шах(ив — [7(в)[;О) = г, П(Л») С |гег Сг(в), (Еш(в, Лй)Ь, Ь) > 0 ЧЬ «П(Л»), Ь = 1, 2,... По лемме 1 существует подпространство П такое, что йгпП > г = п1ах(п — [7(в)[; 0), П с Ег П(Л„). Так как конус кег О (в) замкнут, П(Л») с !гег»г(в), то нетрудно убедиться, что Сг П(Л») с с йег О (в), Следовательно, П с нег О(в). Покажем, что (Ехг(в Л)Ь Ь) > 0 ЧЬ «П. Возьмем произвольную точку ~ «П С Сг П(Л»). По определению Сг П(Л») найдутся Ь» «П(Л») й й- и 6 !6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
