Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рассмотрим начально - краевую задачу для уравнения теплопроводности наполубесконечной прямой для однородного граничного условия Дирихле:ut = a 2uxx, x, t ∈ R+,u(x,0) = φ(x),u(0, t) = 0 .Применим сформулированную нами ниже лемму.Получим: a0 = 1, ak = 0, k = 1,2, . . .
, N .Таким образом, функции φ̃ (x) и ϕ(x) совпадают и согласно леммефункцию φ(x) нужно продолжить нечетным образом .Положим:φ̃ (x) =φ(x), x ≥ 0,{−φ(−x), x ≤ 0 .Тогда решение поставленной задачи можно записать с помощьюинтеграла Пуассона:331∞∫u(x, t) =G(x, ξ, t) φ̃ (ξ)dξ,−∞где G(x, ξ, t) =12a πte− ( 4a2 t)x−ξ2- фундаментальное решение.Теперь запишем решение через функцию φ(x) :∞u(x, t) =∫−∞0G(x, ξ, t)φ(ξ)dξ −G x, ξ, t)φ(−ξ)dξ .∫ (−∞Сделаем во втором интеграле в правой части формулы замену ξ на −ξ иполучим:u(x, t) =∞∞00G x, ξ, t) − G(x, − ξ, t)}φ(ξ)dξ = G1(x, ξ, t)φ(ξ)dξ .∫{ (∫Тогда функция :G1(x, ξ, t) =12a πtex−ξ− ( 4a2 t)2x + ξ)−(2−e4a 2tявляется функцией Грина задачи Дирихле для уравнениятеплопроводности на полупрямой.Из полученных формул следует, что решение нашей задачи имеетследующий вид:u(x, t) =1∞2a πt ∫e2x−ξ− ( 4a2 t)x + ξ)−(2−e0332φ(ξ)dξ .4a 2tинтеграл ПуассонаФункция , определенная интегралом Пуассона , удовлетворяетоднородному уравнению теплопроводности при x ∈ R+ , t > 0 , ограниченнав области x ∈ R+, t ≥ 0 и в случае ограниченной кусочно - непрерывнойфункции φ(x) непрерывно примыкает при t → 0 к функции φ(x) в точках еенепрерывности .
Это имеет место и в случае соглосования начальных играничных условий: φ(0) ≠ 0 .При этом граничное условие u(0, t) = 0 выполняется при t > 0 .Физический смысл функции G(x, ξ, t) : Функция G1(x, ξ, t) даетзначение температуры в точке x полубесконечного стержня в момент t > 0 ,если в начальный момент t = 0 в точке x = ξ > 0 мгновенно выделяетсяколичество тепла, равное cρ ≅ ρ , а граничное сечение x = 0 все времяподдерживается при нулевой температуре, для чего точку x = − ξ нужнопоместить в мгновенный точечный отрицательный источник.2.
Рассмотрим начально - краевую задачу для уравнения теплопроводности наполубесконечной прямой для однородного граничного условия Неймана:ut = a 2uxx, x, t ∈ R +,u(x,0) = φ(x),∂u∂xx=0= 0.Применим сформулированную нами лемму. Тогда мы имеем :a0 = 0, a1 = 1, ak = 0, k = 2,3, . . . , N .Таким образом, Φ(x) = φ̃ ′(x) и , согласно нашей лемме, функцию φ′(x)следует продолжить нечетным образом. Так как производная четной333функции есть нечетная функция, следовательно, функцию φ(x) нужнопродолжить четно.Пусть:φ(x), x ≥ 0,φ̃ (x) ={φ(−x), x ≤ 0 .Тогда решение поставленной задачи можно записать в следующемвиде:∞u(x, t) =∫G(x, ξ, t) φ̃ (ξ)dξ .−∞Запишем решение через функцию φ(x) :u(x, t) =∞∞00G x, ξ, t)φ(ξ)dξ + G(x, ξ, t)φ(−ξ)dξ .∫ (∫Сделаем во втором интеграле в правой части формулы замену ξ на −ξи в результате получим:u(x, t) =∞∞00G x, ξ, t) + G(x, − ξ, t)}φ(ξ)dξ = G2(x, ξ, t)φ(ξ)dξ .∫{ (∫Функция :G2(x, ξ, t) =2a πt {1e2x−ξ− ( 4a2 t)+ex+ξ− ( 4a2 t)2}является функцией Грина задачи Неймана для уравнениятеплопроводности на полупрямой.Следовательно, решение нашей задачи принимает следующий вид:334u(x, t) =∞2a πt ∫ {1ex−ξ− ( 4a2 t)2+ex+ξ− ( 4a2 t)02φ ξ dξ .} ( )( интеграл Пуассона)Если функция φ(x) непрерывна при x ∈ R+ и выполнены условиясогласования φ′(0) = 0 , получееная формула определяет классическое решениепоставленной нами задачи.В случае, когда данные условия не выполнены, функция u(x, t)удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности при x ∈ R + ,t > 0 , ограничена при x ∈ R+ , t ≥ 0 и непрерывно примыкает при t → 0 кфункции φ(x) только в точках ее непрерывности.
Если не выполненыусловия согласования, граничное условие выполняется только при t > 0 .б) Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой снеоднородными граничными условиями.Теперь рассмотрим применение метода интегрального преобразования Фурьек решению начально - краевых задач для уравнения теплопроводности наполубесконечной прямой с неоднородным граничным условием.1. Начально - краевая задача для однородного уравнениятеплопроводности на полупрямой с граничным условием первого рода:ut = a 2uxx, x ∈ R +, t > 0,u(x,0) = 0, x ∈ R+,u(0, t) = μ(t), t ≥ 0 .Будем считать, что выполняются условия существования интегралаФурье и что функция u(x, t) и ее частные производные достаточно быстро335стремятся к нулю при x → + ∞ . Воспользуемся синус- преобразованиемФурье с ядром sinλx . Обозначим образ Фурье функции u(x, t) через U(λ, t) :∞U(λ, t) =2u(ξ, t)sinλξdξ .∫π0Предположим, что выполнены условия возможностидифференцирования для U(λ, t) по t под знаком интеграла.2sinλx и проинтегрируем поπУмножим уравнение нашей задачи наx от 0 до +∞:∞2ut(x, t)sinλxd x = a 2π ∫0∞2uxx(x, t)sinλxd x .∫π0Проинтегрируем интеграл в правой части два раза по частям,учитывая граничное условие при x = 0 :∞∫uxxsinλxd x = λu(0, t) − λ 2U(λ, t) = λμ(t) − λ 2U(λ, t) .0Учитывая начальное условие, получаем следующую начальную задачув пространстве образов:2 2Ut + a λ U =2 2a λμ(t), t > 0, U(λ,0) = 0 .πТогда решение поставленной задачи можно записать с помощьюимпульсной функции:tU(λ, t) =2 22 2a λ e −a λ (t − τ)μ(τ)dτ∫π0336Для возвращения к оригиналу u(x, t) используем формулу обратногосинус - преобразования Фурье:∞2U(λ, t)sinλxdλ =∫πu(x, t) =0t ∞=2 22 2aλe −a λ (t − τ)sinλxμ(τ)dλdτ .π ∫∫0 0Проинтегрируем внутренний интеграл по частям:∞∫a 2 λe −a02 2e −a λ (t − τ)λ (t − τ)sinλxdλ = −sinλx2(t − τ)2 2∞0+∞x2 2e −a λ (t − τ)cosλxdλ ,2(t − τ) ∫+0и учтем:∞∫e −a2 2λ (t − τ)cosλxdλ =0∞2π11− 4a2(tx − τ)−a 2 λ 2(t − τ)+iλx= Re edλ =e.∫22 a t−τ−∞В результате получим:u(x, t) =xt2a π ∫e2− 4a2(tx − τ)0337μ(τ)(t − τ)32dτ .Перепишем решение задачи в следующем виде:tu(x, t) =∂W(x, t − τ)μ(τ)dτ,∫ ∂t0где:W(x, t) =2∞π ∫x2e −z dz ,интеграл Дюамеля .2a tявляется решением вспомогательной начально - краевой задачи:Wt = a 2Wxx, x ∈ R +, t > 0,{W(x,0) = 0, W(0, t) = 1 .Данный пример является частным случаем общего метода решенияданного класса линейных начально - краевых задач , который называетсяпринцип Дюамеля.Рассмотрим общую схему данного метода:Итак, пусть требуется построить решение следующей начально краевойзадачи:Pt[u(x, t)] = Lx[u(x, t)], 0 < x < l, t > 0,∂nu(x,0)∂t n= 0, n = 0,1, .
. . , m − 1,u(0, t) = μ(t), N[u(l, t)] = 0,где Pt - линейный дифференциальный оператор, содержащий частныепроизводные по t до порядка m , Lx - линейный дифференциальныйоператор второго порядка по переменной x .Решение будем искать на отрезке [0, l] , включая и случай l = + ∞ .Граничное условие при x = l обеспечивает единственность решения задачи,N - оператор граничного условия.338Согласно принципу Дюамеля , решением поставленной задачи являетсяинтеграл Дюамеля :t∂u(x, t) =W(x, t − τ)μ(τ)dτ ,∫ ∂t0где W(x, t) - решение исходной начально - краевой задачи для частного граничногоусловия μ(t) = 1 :Pt[W ] = Lx[W ], 0 < x < l, t > 0,∂nW(x,0)∂t n= 0, n = 0,1, .
. . , m − 1,W(0, t) = 1, N[W(l, t)] = 0 .Можно легко проверить , что данное предположение справедливо:∂W∂W(x, t − τ) ≡ −(x, t − τ) .∂t∂τВычислим наш интеграл по частям и воспользуемся существованиемпроизводной функции μ(t) :tu(x, t) = −∂W(x, t − τ)μ(t)dτ =∫ ∂t0= − W(x, t − τ)μ(t)tt0t+ W(x, t − τ)μ′(t)dτ =∫0= μ(0)W(x, t) + W(x, t − τ)μ′(t)dτ∫0Подстановка на верхнем пределе равна нулю с учетом начальногоусловия W(x,0) = 0 .339После дифференцирования, мы получим:nnt∂ u∂ W∂ n W(x, t − τ)= μ(0) n +μ′(t)dτ, n = 0,1,2, . .
. , m .nn∫∂t∂t∂t0Следовательно:kkt∂ u∂ W∂ k W(x, t − τ)= μ(0) k +μ′(t)dτ, k = 1,2, . . .kk∫∂x∂x∂x0Таким образом: из линейности уравнения следует- интеграл Дюамеляудовлетворяет исходному однородному уравнению при 0 < x < l, t > 0 .Значит нулевые начальные условия и однородные граничные условиявыполняются автоматически и нам нужно только показать, чтовыполняется неоднородное граничное условие при x = 0.Так как , мы имеем граничное условие :W(0, t) = 1 ,то:tu(0, t) = μ(0)W(0, t) + W(0, t − τ)μ′(t)dτ =∫0t= μ(0) + μ′(t)dτ = μ(t) .∫0340в) примеры решения задач:1. Рассмотреть процесс остывания полубесконечного стержня , начальнаятемпература которого постоянная, а конец поддерживается при нулевойтемпературе.Решение:Процесс остывания стержня описывается начально - краевой задачейследующего вида:ut = a 2uxx, x ∈ R +, t > 0,{u(x,0) = U0, u(0, t) = 0 .Воспользуемся интегралом Пуассона :u(x, t) =∞2a πt ∫ {1e− ( 4a2 t)x−ξ2+e− ( 4a2 t)x+ξ20φ ξ dξ .} ( )Положив φ(t) = U0 ≡ const :u(x, t) =∞2a πt ∫ {1e− ( 4a2 t)x−ξ2−e− ( 4a2 t)x+ξ0I1 =1∞2a t ∫ex−ξ− ( 4a2 t)2dξ, I2 =012}∞2a t ∫0Сделаем замену в интеграле I1 :s=ξ−x2a t.341eU0dξ =x+ξ− ( 4a2 t)2U0dξ .π{I1 − I2},Тогда:∞∫I1 =2e −s ds =− x2a t=π2−∞1+Φ∫2e −s ds −0x2a t∫2e −s ds =0( 2a t )x,Φ(ω) - функция ошибок .Далее, мы делаем аналогичную замену для второго интеграла I2 :s=ξ+x2a tи преобразовываем наш интеграл в следующем виде:π2( 2a t )1−Φx.Подставляем оба интеграла в наше решение и получаем ответ:u(x, t) = U0Φ( 2a t )x.2.
Решить задачу об остывании полубесконечного стержня, если тепловой потокчерез конец x = 0 равен нулю , а начальная температура определяется кусочно постоянной функцией :T0, 0 < x < l,φ(x) ={0, x > l .342Решение:Запишем начально - краевую задачу , моделирующую процессостывания стержня:ut = a 2uxx, x ∈ R +, t > 0,{u(x,0) = φ(x), ux(0, t) = 0 .Воспользуемся формулой Пуассона:u(x, t) =∞2a πt ∫ {1ex−ξ− ( 4a2 t)2+ex+ξ− ( 4a2 t)20=l2a πt ∫ {T0e− ( 4a2 t)x−ξ2+e2− ( 4a2 t)x+ξ0I1 =1l2a t ∫ex−ξ− ( 4a2 t)2dξ =}l12a t ∫dξ, I2 =0φ ξ dξ =} ( )eT0π{I1 + I2},x+ξ− ( 4a2 t)2dξ .0Как и в предыдущей задаче, делаем замену для интеграла I1 :s=ξ−x2a t,И для I2 :s=ξ+x2a t.Тогда :I1 =π2x+Φ,( 2a t )( 2a t )Φl−x343I2 =π2l+xxΦ−Φ,( 2a t )( 2a t )и подставив интегральные выражения в наше решение, мы получаемответ:T0u(x, t) =2l+x+Φ( 2a t )( 2a t )Φl−x344.345346Без названияLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmincididunt ut labore et dolore magna aliqua.
Ut enim ad minim venianostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo coСвязанные термины глоссарияПеретяните сюда связанные терминыУказательНайти термин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
