Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Данныйинтеграл называется интегралом Пуассона.318Примеры:1. Решить задачу об остывании однородного бесконечного стержня, если тепловойрежим определяется кусочно - постоянной начальной функцией следующего вида:T1, x < 0,φ(x) ={T2, x > 0 .Начальной задачей, описывающей процесс остывания стержня,является задача для однородного уравнения теплопроводности:ut = a 2uxx, (x, t) ∈ Ω,{u= φ(x) .t=0Решение:∞Итак, воспользуемся формулой u(x, t) =ξ−xзамену z =2a t1−∞:∞2a tπ ∫u(x, t) =e− ( 4a2 t)x−ξ2φ(ξ)dξ =−∞=T1π−x2a t∫−∞e∫−z 2 dz+∞T2π−∫2e −z dz =x2a t319G(x, ξ, t)φ(ξ)dξ и сделаемT1 + T2π∞∫e−z 2dz −T1 − T2x2a t∫π02e −z dz .0Учтем интеграл Пуассона :∞∫π2e −z dz =02,и введем функцию ошибок:2wπ∫Φ(w) =2e −z dz .0Очевидно:Φ(0) = 0, Φ(+∞) = 1 .Легко заметить, что функция Φ(w) нечетная:2−wπ ∫Φ(−w) =2e −z dz =0=−2−wπ ∫e−z 2d(−z) = −02wπ∫2e −s ds = − Φ(w) .0Отсюда Φ(−∞) = − 1 .C помощью функции ошибок Φ отвечает задачи можно записать в виде:u(x, t) =T1 + T2 T1 − T2x−Φ.22( 2a t )320Следует отметить, что начальная функция φ(x) не являетсянепрерывной, а претерпевает разрыв в точке x = 0 .

Вэтом случае решениезадачи Коши, представимое интегралом Пуассона , уже не будетклассическим , а имеет особую точку x = 0 . Проанализируем поведениерешения задачи Коши для уравнения теплопроводности в особой точке.Итак, пусть x > 0 . Тогда , переходя е пределу при t → 0 , получим ,чтоx2a t( 2a t )x→ + ∞, ΦТеперь, пусть x < 0 ⇒x2a t→ 1 и limt→0,x>0u(x, t) = T2 .( 2a t )→ − ∞, Φx→−1,limt→0,x<0u = T1 .Перейдем к пределу сначала при x → 0 , а затем при t → 0 .В результате получим :limt→0,x→0u(x, t) =T1 + T2.2Cледовательно, значение решения задачи Коши в особой точке x = 0 вначальный момент времени t = 0 зависит от способа перехода к пределу:limt→0u = T2, limt→0u = T1, lim x→0u=x→0+0x→0−0t→0T1 + T2. 2Если рассмотреть одновременный переход к пределу при x → 0 , t → 0xвдоль кривой= w, где w ∈ R 1 , то :2a tlim x→0u(x, t) =t→0T1 + T2 T1 − T2 x−Φ(w), = w.222a t321При w ∈ R 1 мы получим любое значение , заключенное в пределах отT1 до T2 , так как : −1 ≤ Φ(w) ≤ 1 .Так же можно показать, что если функция φ(x) - кусочно непрерывная и ограниченная на прямой x ∈ R 1 функция с конечным числомточек разрыва, то полученная нами формула определяет решениеоднородного уравнения теплопроводности при x ∈ R 1, t ∈ (0, T ] ,ограниченное при t ∈ [0, T ] и непрерывно примыкающее к функции φ(x) вточках ее непрерывности.2.

Решить задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:ut = 14 uxx, x ∈ R 1, t > 0,u2= e −x sinx .t=0Решение:∞1G x, ξ, t)φ(ξ)dξ при a = :Итак, воспользуемся формулой u(x, t) =∫ (2−∞u(x, t) =1∞πt ∫e−(x − ξ)t2e −ξ2sinξdξ .−∞Для выполнения интеграла в правой части формулы рассмотримследующий интеграл:322∞I=∫e2x−ξ−( t )−ξ 2+iξdξ .−∞Тогда мы получим:(x − ξ)t22+ ξ − iξ =21+t2x + itt 2 − i4xt + 4x 2tξ−+,t4t(1+t)2 t(t + 1) }{Откуда , при обозначении:1+t2x + itξ−,t2 t(t + 1)s=мы получим:te−t+1I=t 2 − i4xt + 4x 2 t4t(1 + t)∞∫e−s 2πt − t 2 − i4xt + 4x 2te 4t(1 + t) .1+tds =−∞Тогда:u(x, t) =1πtImI =11+te24x + t− 4(1+ t)sinx.1+t2В отличие от предыдущей задачи , начальная функция φ(x) = e −x sinx являетсянепрерывной всюду на бесконечной прямой R 1 .

Полученная в конечном результатеформула , представляет собой классическое решение задачи , непрерывно примыкающее кначальной функции:limu(x, t) = limt→0t→0e2+t4x− 4(1+ t)1+tsinx2= e −x sinx .1+t3233. Найти процесс изменения температуры однородного бесконечного стержня сравномерно распределенными источниками, мощность которых изменяется во времени2по закону f (t) = sint . Начальная температура стержня равна φ(x) = e −x .Решение:Процесс изменения температуры стержня описывается следующейначальной задачей:ut = a 2uxx + sint, x ∈ R 1, t > 0,{u(x,0) = e −x 2 .Запишем ее решение в следующем виде , используя полученную ранееt ∞формулу u(x, t) =∫ ∫G(x, ξ, t − τ)f (ξ, τ)dξdτ +0 −∞t ∞u(x, t) =∫ ∫∫G(x, ξ, t)φ(ξ)dξ :−∞G(x, ξ, t − τ)sinτdξdτ +0 −∞где G(x, ξ, t) =∞∞∫G(x, ξ, t)e −ξ dξ ,2−∞12a πtex−ξ− ( 4a2 t)2- фундаментальное решение уравнениятеплопроводности.Вычислим интеграл:I1 =1∞2a πt ∫e2− ( 4a2 t) −ξ 2−∞324x−ξdξ .Так как :2(x − ξ)2+ξ=4a 2t21 + 4a 2tξ−4a 2tx4a 2t(1 + 4a 2t)x2+,1 + 4a 2tмы получаем:I1 =e2∞2− 4a2xt + 12a πt ∫1 + 4a 2tξ−24a texp−∞=e2− 1 +x4a2 t=−∞2, где s =1 + 4a 2t1 + 4a 2tξ−24a tТеперь вычислим второй интеграл:I2 =t2a π ∫sinτ0=10∞t−τ ∫e2()− 4a2 (t − τ)x−ξdξdτ =−∞∞tπ∫4a 2t(1 + 4a 2t)4a t−s 2eds =2∫1 + 4a t− 1 +x4a2 t1dξ =∞22a πtexsinτdτ∫2e −s ds = 1 − cost .−∞И мы окончательно получаем:325x4a 2t(1 + 4a 2t).u(x, t) = 1 − cost +e2− 1 +x4a2 t1+4a 2t.4.

Решить задачу Коши для уравнения гиперболического типа на бесконечнойпрямой:ut = a 2uxx − hu, x ∈ R 1, t > 0,{u(x,0) = φ(x),где h ≥ 0 - некоторая постоянная.Решение:Сделаем замену функции:u(x, t) = e −ht v(x, t) .Тогда:ut = − hu + e −ht vt ,и для функции v(x, t) получается следующая задача Коши :vt = a 2vxx, x ∈ R 1, t > 0,{v(x,0) = φ(x) .326Решение полученной задачи записывается с помощью следующейформулы:∞v(x, t) =∫G(x, ξ, t)φ(ξ)dξ ,−∞в следующем виде:u(x, t) =e−ht∞2a πt ∫−∞327ex−ξ− ( 4a2 t)2φ(ξ)dξ .4.

Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой.Рассмотрим начально - краевую задачу на полубесконечной прямойR+ ≡ {0 ≤ x < + ∞} для уравнения теплопроводности с постояннымикоэффициентами. Введем обозначения : Ω+ ≡ R+ × [0; + ∞),Ω+ ≡ R + × (0; + ∞) , где R + ≡ {0 < x < + ∞} . Начально - краевая задача сграничными условиями первого, второго и третьего рода ставитсяследующим образом:ut = a 2uxx + f (x, t), (x, t) ∈ Ω+,uα+=φ(x), x∈R,t=0∂u∂x+ βux=0= μ(t), t ≥ 0, α + β ≠ 0 .Классическим решением поставленной начально - краевой задачиназывается функция u(x, t) , непрерывная вместе с первыми производнымипо x в замкнутой области Ω+ , имеющая непрерывные производные первогопорядка по t и второго порядка по x в открытой области Ω+ ,удовлетворяющая в Ω+ уравнению теплопроводности , начальному играничному условиям.Следует заметить, что в случае граничных условий первого рода(α = 0, β = 1) непрерывной дифференцируемости u(x, t) по x в замкнутойобласти Ω+ не требуется, достаточно непрерывности u(x, t) в Ω+ .Классическое решение рассматриваемой задачи может существовать лишьпри выполнении условия согласования начального и граничного условий:αφ′(0) + βφ(0) = μ(0) .В силу линейности задачи, можно провести ее редукцию ипредставить решение u(x, t) задачи в виде суммы двух функцийu(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t) ,328u1(x, t) - решение задачи для неоднородного уравнения с неоднородным начальным иоднородным граничным условиями ,u2(x, t) - решение задачи для однородного уравнения с однородным начальным инеоднородным граничным условиями.Одним из методов решения начально - краевой задачи для уравнениятеплопроводности на полубесконечной прямой в случае однородныхграничных условий является метод продолжения начальных данных .Одним из самых эффективных методов решения начально - краевыхзадач для уравнения теплопроводности на полупрямой является являетсяметод интегрального преобразования Фурье .a) Задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой соднородными граничными условиями.Начально - краевая задача для уравнения теплопроводности наполубесконечной прямой с однородным граничным условием может бытьрешена с помощью интегрального преобразования Фурье ссоответствующим образом подобранном ядром, аналогично тому , как этоделается в случае неоднородного граничного условия.Тем не менее, в случае линейного однородного граничного условияобщего вида более физически наглядным является метод продолженияначального условия, при использовании которого мы используем следующуюлемму:Пусть функция φ̃ (x) определена на бесконечной прямой R 1 , имеет на нейограниченные производные до N - го порядка включительно , и линейная комбинация:ϕ(x) =N∑k=0ak φ̃ (k)(x) , где ak = const, k = 0,1, .

. . , нечетнаотносительно точки x = 0 .329Тогда функция :u(x, t) =1∞2a πt ∫ex−ξ− ( 4a2 t)2φ̃ (ξ)dξ ,−∞удовлетворяет условию:∞∂k ua∑ k ∂x kk=0= 0.x=0Сформулированная лемма позволяет указать следующий способрешения начально - краевой задачи для однородного уравнениятеплопроводности с заданным начальным условием и однороднымлинейным граничным условием общего вида:ut = a 2uxx, (x, t) ∈ Ω+,u(x,0) = φ(x), x ∈ R+,∞∂k ua∑ k ∂x kk=0= 0, t ≥ 0 .x=0Продолжим функцию φ(x) , заданную при x ∈ R+ , на всюдействительную ось x , построив функцию φ̃ (x) , которая удовлетворяетследующим условиям:φ̃ (x) ≡ φ(x) при x ∈ R+ ,N∑k=0ak φ̃ (k)(x) ≡ −N∑k=0ak φ (k)(s)при x ∈ R−s=−xи непрерывна вместе с производными до N - го порядка включительнона всей оси.330Теперь решим задачу Коши на бесконечной прямой:Ut = a 2Uxx, (x, t) ∈ Ω,{U(x,0) = φ̃ (x), x ∈ R 1 .Согласно сформулированной нами лемме, функция U(x, t) удовлетворяетграничному условию при x = 0 и следовательно при x ∈ R+ u(x, t) = U(x, t),то есть решение поставленной задачи при x ∈ R+ является решением задачидля u(x, t) .Приведем примеры применения метода продолжения для решения начально- краевых задач для уравнений параболического типа.1.

Характеристики

Список файлов книги