Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ММФ(методические материалы)БОГОЛЮБОВ Н.А.ВведениеВ данном разделе мы рассмотрим основные уравнения математическойфизики, чтобы в дальнейшем перейти к постановке основных задачматематической и изучению основных методов математической физики.Итак, перечислим основные уравнения математической физики:ut(M, t) = a 2 Δu(M, t) + f (M, t) .( уравнение теплопроводности, которое описывает распрстранение тепла, диффузиюи движение вязкой жидкости) .utt(M, t) = a 2 Δu(M, t) + f (M, t) .( уравнение колебаний, которое описывает малые механические колебания струны,газа и твердого тела) .Δu(M ) = 0 .( уравнение Лапласа, которое описывает стационарную теплопроводность,стационарную диффузию , стационарное течение идеальной жидкости иэлектростатику) .Δu(M ) + cu(M ) = 0( уравнение Гемгольца, которое описывает гармонические волны ) ,где u - неизвестная функция; a 2 - постоянные коэффициенты,коэффициент c и функция f (M, t) - заданы, M - точка в пространтсве, наплоскости или на прямой, t - время.iВыведем уравнение теплопроводности:Пусть трехмерная область D , ограниченная поверхностью S ,заполнена веществом с удельной теплоемкостью c(M ) , плотностью ρ(M ) икоэффициентом теплопроводности k(M ) .Пусть u(M, t) - температура в точке M в момент времени t .

Будемсчитать, что все наши рассматриваемые функции достаточно гладкие.Возьмем подобласть ΔV , ограниченную поверхностью δ.nδЗапишем изменение внутренней энергии вобласти ΔV за время Δt :ΔQ =∫c(M )ρ(M )[u(M, t + Δt) − u(M, t)]ΔV =ΔVt+Δt=∫tdτ∫ΔV∫ΔVM.DPSt+Δtc(M )ρ(M )∫ut(M, τ)dτ dV =tc(M )ρ(M )ut(M, τ)dV .dVТеперь сформулируем Закон Фурье:ϕ(M, t) = − k(M ) ∇u(M, t) - поток тепла, который направлен от болеенагретого участка к менее нагретому и пропорционален градиентутемпературы).Величина потока ϕ представляет собой количество тепла ,протекающего через единичную площадку в единичный момент времени внаправлении вектора ϕ .iinПо Закону Фурье : за время Δt через поверхность δ наружу вышлоколичество тепла:t+Δt∫ΔQ1 =tt+Δtdτ ( ϕ(M, τ), n )dS =dτ div( ϕ(M, τ))dV =∫∫∫σt+Δt=−∫dτt∫tΔV(по теореме Гаусса - Остраградского)div(k(M ) ∇u(M, τ))dV ,ΔVгде n - единичная внешняя нормаль к поверхности δ .Если в области ΔV есть внешние источники или поглотители тепла, тоза время Δt они могут выделить количество тепла, равное:t+ΔtΔQ2 =∫tdτ∫F(M, τ)dV , где F(M, τ) - удельная мощность источниковΔVтепла, которая характеризует количество тепла, выделяемое внешнимиисточниками в единичном объеме в единицу времени.Теперь запишем закон сохранения энергии:ΔQ = ΔQ2 − ΔQ1 .Подставим ΔQ , ΔQ2 и ΔQ1 и получим:t+Δt∫dτt∫dVt+Δt=c(M )ρ(M )ut(M, τ)dV =∫tdτ∫ΔVt+ΔtF(M, τ)dV +∫tdτ∫div(k(M ) ∇u(M, τ))dVΔViiiПереносим всё в левую часть :t+Δt∫dτtc(M )ρ(M )ut(M, τ) − F(M, τ) − div(k(M ) ∇u(M, τ))]dV = 0 ,∫[ΔVи применяем формулу среднего значения:t+Δt∫tdτc(M )ρ(M )ut(M, τ) − F(M, τ) − div(k(M ) ∇u(M, τ))]dV =∫[ΔV= c(M ∗)ρ(M ∗)ut(M ∗, τ ∗) − F(M ∗, τ ∗) − div(k(M ∗) ∇u(M ∗, τ ∗)) ΔtΔV = 0[]где M ∗ ∈ ΔV, t ∗ ∈ (t, t + Δt) .Будем стягивать область ΔV к некоторой фиксированной точке M ( приэтом ΔV → 0 ) и устремим Δt → 0 :c(M )ρ(M )ut(M, t) − F(M, τ) − div(k(M ) ∇u(M, τ)) = 0 .Пусть теперь c = const, ρ = const, k = const .Тогда div(k ∇u) = kdiv( ∇u) = k Δu иОбозначимkF(M, t)ut =Δu +.cρcρk= a 2 ( коэффициент температуропроводности ) ,cρF(M, t)а= f (M, t) .cρПодставляем и получаем уравнение теплопроводности:ut = a 2 Δu + f (M, t) .ivЗамечания:1) Полученное уравнение теплопроводности выполняется во всех внутреннихточках M области D в любой момент времени t .2) Если распределение температуры стационарно - температура в каждойточке не изменяется со временем ( u = u(M ) , f = f (M ) ) , то мы получаемуравнение Пуассона :f (M )Δu = − 2 .a3) Если f ≡ 0 , то мы получаем уравнение Лапласа:Δu = 0 .Для выделения единственного решения уравнения математическойфизики ставятся так называемые дополнительные условия, которые делятсяна два типа: граничные условия и начальные условия .Введем понятия граничных и начальных условий на примереуравнения теплопроводности:Начальные условия: ut=0= φ(M ) - что означает, что заданатемпература в каждой точке области D в начальный момент времени t = 0 .Граничные условия, которые ставятся на границе S области Dразделяются на три основных типа:а) us= μ(P, t) - граничные условия 1 рода или условие ( задача)Дирихле, которое означает, что на границе поддерживается заданнаятемпература , где P - точка поверхности S , а μ(P, t) - заданная функция .б)∂u∂n= v(P, t) - граничные условия 2 рода или условие ( задача)SНеймана .vФизический смысл граничного условия Неймана:Если мы умножим левую и правую часть нашего граничного условияна коэффициент −k , то мы получим:∂u−k(∂n )= − k v(P, t) ⇒ ϕnSS= − k v(P, t) ,∂uгде ϕn = ( ϕ, n ) = (−k ∇u, n ) = − k- проекция вектора ϕ на∂nединичную нормаль n к поверхности S .Следовательно , граничное условие Неймана означает: задан поток теплачерез границу S .Если , постановке задачи мы имеем дело с однородным граничнымусловием Неймана - это означает, что граница S теплоизолирована.∂u+ h(P)uв)( ∂n)= η(P, t) - граничные условия 3 рода или условие (Sзадача) Робена .Ее физический смысл : описание процесса теплообмена с окружающейсредой.Если температура окружающей среды равна u0 , то поток тепла споверхности S ( имеющий температуру u ) в окружающую среду ( внаправлении внешней нормали ) описывается законом Ньютона:ϕ0 = α(u − u0)где α - коэффициент теплообмена .viТак как ϕ0 должен быть равен ϕnS( будем пренебрегатьдополнительными источниками тепла на границе S ) , то:−k∂u∂nS= α(u − u0) .Cледовательно:∂u α+ u( ∂n k )=Sαu0 , - что и является граничным условием 3 рода ,k(условие Робена )где:α(P)α(P), η(P, t) =h(P) =u (P, t) .kk 0Замечания:∂u1) Если α → 0 , то мы получим однородное условие Неймана∂n=0 иSэто физически будет означать, что теплообмен будет отсутствовать.2) Если α → ∞ , то мы получим условие Дирихле uS= u0 и физическиэто будет означать, что мы имеем дело с идеальным тепловым контактом.3) Важная особенность на которую следует обратить внимание:αкоэффициент h(P) = в граничных условиях Робена неотрицателен .kviiОбъединив выведенное уравнение математической физики исоответствующие ему граничные условия , мы ставим для рассматриваемогоуравнения начально - краевую задачу.Давайте поставим начально - краевую задачу для нашего уравнениятеплопроводности в ограниченной области D :ut = a 2 Δu + f (M, t), M ∈ D, t > 0;ut=0= φ(M ), M ∈ D;& соответствующее граничное условие на S .Основная задача: найти функцию u(M, t) при M ∈ D .замечание: в стационарном случае - для уравнения Пуассона илиЛапласа - начальное условие не ставится .Запишем полученное уравнение теплопроводности в декартовыхкоординатах:ut(x, y, z, t) = a 2(uxx + uyy + uzz) + f (x, y, z, t), (x, y, z) ∈ D .Zа) Если область D имеетформу бесконечногоа)Dцилиндра с осью 0zΓ( геометрия области независит от координаты Z ифункция f , граничные иб)0Da0начальные условия не зависят от Z ⇒ то в силу симметрии и температура u небудет зависеть от Z .)Тогда мы получаем двумерное уравнение теплопроводности :ut(x, y, t) = a 2(uxx + uyy) + f (x, y, t) , (x, y) ∈ Γ - в поперечном сечении цилиндра.viiibxб) Если область D имеет форму тонкого стержня, параллельного оси 0x cтеплоизолированной боковой поверхностью ( изменением температуры впоперечном сечении можно пренебречь) , то уравнение теплопроводности будетодномерным:ut(x, t) = a 2uxx + f (x, t), x ∈ (a, b) .ixИтак, мы разобрали основные уравнения математической физики и основныевводные понятия курса методов математической физики.Теперь мы переходим к основным главам данного методического пособия.

В первойглаве мы рассмотрим и поставим основные задачи математической физики, а уже совторой главы вплоть до конца данного пособия, мы перейдем непосредственно кметодам решения рассматриваемых задач в физике.xГ Л А В А 1.Постановочные задачи.Вывод уравнений.1.Колебания нагруженной струны.

Постановка задачи.Рассмотрим задачу о колебаниях, закрепленной на концах струны (0,l), внескольких точках, которых x = xi(i = 1,2, . . . , n) помещенысосредоточенные массы Mi.Условия в точке xi можно получить двумя способами: если в точкеxi(i = 1,2, .

. . , n) приложена сосредоточенная сила Fi(t), то должнывыполняться соотношения:u(xi − 0, t) = u(xi + 0, t)kuxxi+0xi−0= − FiВ данном случае под Fi следует понимать силу инерции. Подставим вформулу:kuxxi+0xi−0⇒ Miutt(xi, t) = kuxxi+0xi−0Возможен и другой вывод данного условия: распределим массу Mi научастке (xi − ε, xi + ε) c постоянной плотностью δi и воспользуемсяуравнением колебаний для неоднородной струны:∂∂u(ρ + δi)utt =(k), x − ε < x < xi + ε (1)∂x ∂x iгде ρ- плотность струны.11Пусть uε(x, t) - решение этого уравнения.Интегрируем уравнение (1) по x в пределах от xi − ε до xi + ε и совершаемпредельный переход ε → 0:Miutt(xi, t) = kuxxi+0xi−0для функции u(x, t) = limuε(x, t)ε→0Теперь мы можем полностью сформулировать нашу задачу:Найти решение уравнения колебаний:∂2 u∂∂uρ 2 =(k),∂x ∂x∂tудовлетворяющее граничным условиям:u(0, t) = 0{u(l, t) = lусловиям сопряжения в точках x = xi:u(xi − 0, t) = u(xi + 0, t)Miutt = kuxxi = 1,2, .

. , nxi+0xi−0и начальным условиям:u(x,0) = φ(x)φ(x) и ψ(x) - заданные функции.ut(x,0) = ψ(x)}122. Собственные колебаниянагруженной струны.Основная цель: исследование собственных частот и профилей стоячихволн для нагруженной струны.Для этого мы должны найти решение поставленной в виде:u(x, t) = X(x)T(t)подставляем его в уравнение колебаний:∂2 u∂∂uρ 2 =(k)∂t∂x ∂xи используя граничные условия :u(0, t) = 0⇒ разделяем переменные:u(l, t) = 0 }T″ + λT = 0;ddx(k)dxdt{x(0) = 0, x(l) = 0+ λρx = (k x′)′ + λρx = 0,условия сопряжения дают:X(xi − 0) = X(xi + 0)Mi X(xi)T″ = k X′учтем T″ + λTxi+0xi−0T= 0;и перепишем уравнение в виде:k x′xi+0xi−0= − λMi X(xi)13Таким образом, для функции X(x) получаем задачу на собственные значения:(а):d(k x′) + λρx = 0, k(x) > 0, ρ(x) > 0,dx(б): x(0) = 0, x(l) = 0,x(xi − 0) = x(xi + 0) (i = 1,2, .

. . , N )(в): {k x′(xi + 0) − k x′(xi − 0) + λMi X(xi) = 0(краевая задача)Отличительной чертой данной краевой задачи является то, что параметр λвходит не только в уравнение, но и в дополнительные условия.На лекциях доказывается существование бесчисленного множествасобственных значений и собственных функций; положительности собственныхзначений; теоремы разложимости. Данная краевая задача так же, как и задачиобычного типа, сводится к некоторому интегральному уравнению, которое вданном случае является нагруженным интегральным уравнением иэквивалентно интегральному уравнению в интегралах Стильтьеса.Выведем условие ортогональности собственных функций:X1(x), X2(x), . .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги