Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . , ∞ .{sinnφ,95При каждом v = n 2 получаем задачу для R(r) :rddRr+ (λr 2 − n 2)R = 0, 0 ≤ r ≤ a .dr ( dr )Функция R должна удовлетворять граничному условию :dRα+ βR= 0, α + β ≠ 0, вытекающему из граничных условийr=adrпоставленной задачи и естественному условию ограниченности при r = 0 :R(0) < ∞ , так как r = 0 является особой точкой уравнения для R(r) .Значит, для определения R(r) получается задача Штурма - Лиувилля:r 2 R″ + rR′ + (λr 2 − n 2)R = 0, 0 < r < a,α dR+ βRdrr=a= 0, α + β ≠ 0,R(0) < ∞, R(r) ≠ 0 .Уравнение r 2 R″ + rR′ + (λr 2 − n 2)R = 0 c помощью замены x = r λприводится к уравнению Бесселя n - го порядка:x 2y″ + xy′ + (x 2 − n 2)y = 0 .Общее решение нашего уравнения можно записать в виде:R(r) = Rn(r) = C1Jn( λr) + C2 Nn( λr) .Учитывая неограниченность функции Nn( λr) при r → 0 и условиеограниченности мы можем определить, что C2 = 0 .
Будем считать, C1 = 1 , таккак собственная функция определяется с точностью до числового множителя ,который определяется из условия нормировки . Поэтому собственная функциянашей задачи имеет следующий вид:Rn(r) = Jn( λr) .96Подставляя собственную функцию в граничное условие , получаемдисперсионное уравнение для определения собственных значений λ :α λJn′( λa) + βJn( λa) = 0 ,где μk(n) - k - ый корень уравнения αμJn′(μ) + βaJn(μ) = 0 , прификсированном n = 0,1,2, .
. . .Таким образом , собственные функции круга имеют вид:unk(r, φ) = Jn(λk(n)r){sinnφ,cosnφ,n = 0,1,2, . . . . , k = 1,2, . . . ,а собственные значения равны: λk(n) =μk(n)( a )2.Найдем норму собственной функции:a 2πunk2=∫∫2unk(r, φ)rdrdφ = Jn2ϕn2,0 0Так как норма ϕn(ϕn = cosnφ или ϕn = sinnφ) известна, остается найти Jn .Чтобы найти Jn , вычислим интеграл I = Zv2(x)xd x, где Zv(x) ∫произвольная цилиндрическая функция.Вычисления:I=∫Zv2(x)xd x=∫x2x2 2= Zv (x) − x 2 Zv(x)Z′v(x)d x,∫2(2)Zv2(x)xdИспользуя уравнение Бесселя x 2 Z″v + xZ′v + (x 2 − v 2)Zv = 0 ,находим: x 2 Zv = − x 2 Z″v − xZv + v 2 Zv = − x97x2(xZ′v) + v Zv .dxпоэтому:x2 2dx2 2 x2 2 v2 22I = Zv (x) + xZ′v (xZ′v)d x − v Zv Z′vd x = Zv + Z′v − Zv .∫∫2dx222Таким образом мы получаем результат:∫Zv2(x)xd xx2=2v2Z′v (x) + 1 − 2 Zv2(x)x )(2.Полученная формула позволяет вычислить квадрат нормы функцииБесселя для соответствующей краевой задачи :Jn2aa λ001= Jn2( λr)rdr =Jn2(x)xd x =∫λ ∫na2=J′2n(a λ ) + 1 − 22 Jn2(a λ ) .(a λ)2{}98*) Нахождение собственных значений для задачи Дирихле, Неймана иРобена.1) Задача Дирихле.Для задачи Дирихле (α = 0, β = 1) собственные значения определяются изуравнения :Jn(μ) = 0, λ =μk(n)( a )2.Следовательно:a 2 2 (n)Jn =Jn′ (μk ) .1222) Задача Неймана (α = 1, β = 0) собственные значения определяются изуравнения :μJ′n(μ) = 0, λ =μk(n)( a )2.Cледовательно:a2n2Jn =1−Jn2(μk(n)) .22(n)2[μk ]2993) Задача Робена (α = 1, β=h) собственные значения определяются изуравнения: μJ′n(μ) + ahJn(μ) = 0 .Следовательно:a2Jn =322J′n (μk(n))2+ 1−n2(n) 2μ[ k ]Jn2(μk(n))=2a2a 2h − n 2=1+Jn2(μk(n));(n)2(μk 2 )( 1)2μk(n) − n 2a22(n)2Jn =1+J′μn() .
(2)k32(a 2h 2 )Замечания:1) Формула (1) удобна для вычислений при малых h(h → 0) , а формула (2)при больших h(h → ∞) .2)При h → 0 мы переходим ко второй краевой задаче ( задача Неймана).При h → ∞ мы переходим к первоей краевой задаче ( задача Дирихле).100б) Собственные функции кругового сектора.Пусть D - круговой сектор : 0 ≤ r < a, 0 < φ < a; C - граница области D .Задача Штурма - Лиувилля имеет следующий вид:Δu + λu = 0 в D ,∂uP(u) = α0 ∂n+ β 0u∂uP1(u) = α1 ∂n− β1u∂uP2(u) = α2 ∂n+ β2ur=a= 0, α0 + β0 ≠ 0,φ=0φ=a= 0, α1 + β1 ≠ 0,= 0, α2 + β2 ≠ 0,где n - единичная нормаль ( внешняя ) к C , α0, β0, α1, β1, α2, β2 = const .Представляя функцию u в виде:u = R(r)ϕ(φ) ,подставляя ее в поставленную нами задачу и разделяя переменные, мыполучаем две задачи: отдельно для радиальной части R(r) , и отдельно дляугловой части ϕ(φ) :r 2 R″ = rR′ + (λr 2 − v 2)R = 0, 0 < r < a,1)P(R) = α0 dR+ β0 Rdrr=a= 0,(задача для радиальной части)R(0) < ∞, R(r) ≠ 0 .ϕ″ + λϕ = 0, 0 < φ < a,2)P1(ϕ) = α1ϕ′ − β1ϕP2(ϕ) = α2ϕ′ + β2ϕϕ(φ) ≠ 0 .φ=0φ=a101= 0,= 0,( задача для угловой части)Задача для угловой части есть не что иное, а задача Штурма - Лиувилля дляотрезка .
Ее собственные значения vn и cобственные функции ϕn(φ)определяются точно также, как и вслучае периодических граничных условий.В задаче для ее радиальной части, ограниченное решение нашего уравнениепринимает следующий вид:R(r) = Rn(r) = CJvn( λr) .После подстановки ограниченного решения в наше граничное условие, мыполучаем уравнение для определения собственного значения λ :α λJvn( λa) + βJvn( λa) = 0 .Тогда решение задачи для радиальной части можно записать в виде:vμk( n)R(r) = Rn(r) = Jvnar , λ = λk( n) =vvμk( n)a2,где μk( n) - k - ый корень уравнения αμJvn(μ) + βaJvn(μ) = 0 прификсированном n .vКвадрат нормы функции Rn(r) выражается соответствующей формулой взависимости от типа кравевой задачи ( Дирихле, Нейман , Робен ) , в которых nнужно заменить на vn .Тогда собственные функции задачи Штурма - Лиувилля для круговогосектора имеют вид:unk(r, φ) = Jvn(λk( n) r ϕn(φ) ,)vа собственные значения:λk(vn) =(vn)2μk, где μk(vn) - корни исследуемого( a )уравнения.102в)Собственные функции кругового кольца.Основная цель : вычислить собственные функции кругового кольца.Пусть D - круговое кольцо : a < r < b, 0 ≤ φ ≤ 2π .Рассмотрим задачу Штурма - Лиувилля :Δu + λu = 0,P1(u) = α1 ∂u− β1u∂rP2(u) = α2 ∂u+ β2u∂ru ≠ 0.r=ar=a= 0,= 0,Представим решение в виде u(r, φ) = R(r)ϕ(φ) , подставим в наше исходноеуравнение, разделим переменные и получим задачу для радиальной части R(r) :r 2 R″ + rR′ + (λr 2 − v 2)R = 0, 0 < r < b,P1(R) ≡ α1R′ − β1Rr=aP2(R) ≡ α2 R′ + β2 Rr=b= 0,= 0,и задачу для угловой части ϕ(φ) :ϕ″ + vϕ = 0, 0 ≤ φ ≤ 2π,{ϕ(φ) ≡ ϕ(φ + 2π) при любом φ .Cобственные значения v и собственные функции ϕ задачи для угловой частихорошо нам уже известны и равны соответственно:cosnφv = vn = n , ϕ = ϕn(φ) =, n = 0,1,2, .
. . . {sinnφ2Общее решение уравнения для радиальной части при v = n 2 примет вид:R(r) = C1Jn( λr) + C2 Nn( λr) .103Подставим полученное общее решение в граничные условия :C1P1 Jn( λa) + C2 P1 Nn( λa) = 0,[][]C2 P2 Jn( λb) + C2 P2 Nn( λb) = 0,[][]где:P1 Jn( λa) ≡ α1 λJn′( λa) − β1Jn( λa),[]P2 Jn( λb) ≡ α2 λJn′( λb) + β2 Jn( λb),[]P1 Nn( λa) и P2 Nn( λb) определяются аналогично.[][]Полученная система относительно C1 и C2 имеет ненулевое решение, еслиее определитель равен нулю:P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]=P1 Nn( λa)[]P2 Nn( λb)[].Если данное условие выполняется, то из нашей полученной системы мыможем выразить C2 :C2 = − C1P1 Jn( λa)[]P1 Nn( λa)[].Теперь подставим C2 в нашу систему и выберем C1 = P1 Nn( λa) .
Тогда[]решение нашей задачи можно записать в виде:R(r) = Rn(r) = Jn( λr) P1 Nn( λa) − Nn( λr)P1 Jn( λa) ;[][]104а учитывая условие ненулевого решения, его можно переписать в виде:Rn(r) =P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]Jn λr)P2 Nn( λb) − Nn( λr)P2 Nn( λb).[][]}{ (Значение λ = λk(n) определяется из условия ненулевого решения при каждомфиксированном n = 0,1, . .
. .Вычислим квадрат нормы Rn(r) :Rn2b= R 2rdr .∫aДля этого воспользуемся ранее полученной нами формулой:b2rZv2( λr)rdr =∫2aZ′2v (v2λr) + 1 − 2 Zv2( λr)λr )(r 2 Z″v + rZ′v + (λr 2 − v 2)Zv = 0 .2b2=2a2−2,aгде Zv2( λr) - любое решение уравнения Бесселя :Rnbr2=2R′2n(R′2n(R′2n(n2λr) + 1 − 2 Rn2( λr)λr )(n2λb) + 1 − 2 Rn2( λb) −λb )(n2λa) + 1 − 2 Rn2( λa)λa )(105.b=aТак как :Rn( λb) = Jn( λb)P2 Nn( λb) − Nn( λb)P2 Jn( λb)[]{}=P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]=Jn( λb) α2 λN′n λb + β2 Nn( λb) −[]{−Nn λb α2 λJ′n( λb) + β2 Jn( λb)=[]}=P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]R′n( λb) ==α2 λW[Jn, Nn]P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]λb=P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]α22,πbJ′n λb)P2 Nn( λb) − N′n( λb)P2 Jn( λb)=[][]}{ (J′n( λb) α2 λN′n( λb) + β2 Nn( λb ) −[]{−Nn( λb) α2 λJ′n( λb) + β2 Jn( λb )=[]}106=−P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]β2W[Jn, Nn]λb=−P1 Jn( λa)[] 2β2P2 Jn( λb) π λb[]2Rn( λa) = α1 , R′( λa) = − β1πa2π λa,,где W[Jn, Nn] - якобиан функции Jn(x) и Nn(x) , равный2.πxПолучается , что :Rn22= 2πJn( λa)()][2P1P2β22n2+ 1 − 2 α22 −λb )λ(Jn( λb)()][2 β12n2− 2+ 1 − 2 α12πλλa )(.Следовательно, собственные функции кругового кольца можно записать ввиде:cosnφ,unk(r, φ) = Rnλk(n)r k = 1,2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
