Главная » Просмотр файлов » Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы)

Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160), страница 9

Файл №1125160 Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы)) 9 страницаН.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160) страница 92019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

. . , ∞ .{sinnφ,95При каждом v = n 2 получаем задачу для R(r) :rddRr+ (λr 2 − n 2)R = 0, 0 ≤ r ≤ a .dr ( dr )Функция R должна удовлетворять граничному условию :dRα+ βR= 0, α + β ≠ 0, вытекающему из граничных условийr=adrпоставленной задачи и естественному условию ограниченности при r = 0 :R(0) < ∞ , так как r = 0 является особой точкой уравнения для R(r) .Значит, для определения R(r) получается задача Штурма - Лиувилля:r 2 R″ + rR′ + (λr 2 − n 2)R = 0, 0 < r < a,α dR+ βRdrr=a= 0, α + β ≠ 0,R(0) < ∞, R(r) ≠ 0 .Уравнение r 2 R″ + rR′ + (λr 2 − n 2)R = 0 c помощью замены x = r λприводится к уравнению Бесселя n - го порядка:x 2y″ + xy′ + (x 2 − n 2)y = 0 .Общее решение нашего уравнения можно записать в виде:R(r) = Rn(r) = C1Jn( λr) + C2 Nn( λr) .Учитывая неограниченность функции Nn( λr) при r → 0 и условиеограниченности мы можем определить, что C2 = 0 .

Будем считать, C1 = 1 , таккак собственная функция определяется с точностью до числового множителя ,который определяется из условия нормировки . Поэтому собственная функциянашей задачи имеет следующий вид:Rn(r) = Jn( λr) .96Подставляя собственную функцию в граничное условие , получаемдисперсионное уравнение для определения собственных значений λ :α λJn′( λa) + βJn( λa) = 0 ,где μk(n) - k - ый корень уравнения αμJn′(μ) + βaJn(μ) = 0 , прификсированном n = 0,1,2, .

. . .Таким образом , собственные функции круга имеют вид:unk(r, φ) = Jn(λk(n)r){sinnφ,cosnφ,n = 0,1,2, . . . . , k = 1,2, . . . ,а собственные значения равны: λk(n) =μk(n)( a )2.Найдем норму собственной функции:a 2πunk2=∫∫2unk(r, φ)rdrdφ = Jn2ϕn2,0 0Так как норма ϕn(ϕn = cosnφ или ϕn = sinnφ) известна, остается найти Jn .Чтобы найти Jn , вычислим интеграл I = Zv2(x)xd x, где Zv(x) ∫произвольная цилиндрическая функция.Вычисления:I=∫Zv2(x)xd x=∫x2x2 2= Zv (x) − x 2 Zv(x)Z′v(x)d x,∫2(2)Zv2(x)xdИспользуя уравнение Бесселя x 2 Z″v + xZ′v + (x 2 − v 2)Zv = 0 ,находим: x 2 Zv = − x 2 Z″v − xZv + v 2 Zv = − x97x2(xZ′v) + v Zv .dxпоэтому:x2 2dx2 2 x2 2 v2 22I = Zv (x) + xZ′v (xZ′v)d x − v Zv Z′vd x = Zv + Z′v − Zv .∫∫2dx222Таким образом мы получаем результат:∫Zv2(x)xd xx2=2v2Z′v (x) + 1 − 2 Zv2(x)x )(2.Полученная формула позволяет вычислить квадрат нормы функцииБесселя для соответствующей краевой задачи :Jn2aa λ001= Jn2( λr)rdr =Jn2(x)xd x =∫λ ∫na2=J′2n(a λ ) + 1 − 22 Jn2(a λ ) .(a λ)2{}98*) Нахождение собственных значений для задачи Дирихле, Неймана иРобена.1) Задача Дирихле.Для задачи Дирихле (α = 0, β = 1) собственные значения определяются изуравнения :Jn(μ) = 0, λ =μk(n)( a )2.Следовательно:a 2 2 (n)Jn =Jn′ (μk ) .1222) Задача Неймана (α = 1, β = 0) собственные значения определяются изуравнения :μJ′n(μ) = 0, λ =μk(n)( a )2.Cледовательно:a2n2Jn =1−Jn2(μk(n)) .22(n)2[μk ]2993) Задача Робена (α = 1, β=h) собственные значения определяются изуравнения: μJ′n(μ) + ahJn(μ) = 0 .Следовательно:a2Jn =322J′n (μk(n))2+ 1−n2(n) 2μ[ k ]Jn2(μk(n))=2a2a 2h − n 2=1+Jn2(μk(n));(n)2(μk 2 )( 1)2μk(n) − n 2a22(n)2Jn =1+J′μn() .

(2)k32(a 2h 2 )Замечания:1) Формула (1) удобна для вычислений при малых h(h → 0) , а формула (2)при больших h(h → ∞) .2)При h → 0 мы переходим ко второй краевой задаче ( задача Неймана).При h → ∞ мы переходим к первоей краевой задаче ( задача Дирихле).100б) Собственные функции кругового сектора.Пусть D - круговой сектор : 0 ≤ r < a, 0 < φ < a; C - граница области D .Задача Штурма - Лиувилля имеет следующий вид:Δu + λu = 0 в D ,∂uP(u) = α0 ∂n+ β 0u∂uP1(u) = α1 ∂n− β1u∂uP2(u) = α2 ∂n+ β2ur=a= 0, α0 + β0 ≠ 0,φ=0φ=a= 0, α1 + β1 ≠ 0,= 0, α2 + β2 ≠ 0,где n - единичная нормаль ( внешняя ) к C , α0, β0, α1, β1, α2, β2 = const .Представляя функцию u в виде:u = R(r)ϕ(φ) ,подставляя ее в поставленную нами задачу и разделяя переменные, мыполучаем две задачи: отдельно для радиальной части R(r) , и отдельно дляугловой части ϕ(φ) :r 2 R″ = rR′ + (λr 2 − v 2)R = 0, 0 < r < a,1)P(R) = α0 dR+ β0 Rdrr=a= 0,(задача для радиальной части)R(0) < ∞, R(r) ≠ 0 .ϕ″ + λϕ = 0, 0 < φ < a,2)P1(ϕ) = α1ϕ′ − β1ϕP2(ϕ) = α2ϕ′ + β2ϕϕ(φ) ≠ 0 .φ=0φ=a101= 0,= 0,( задача для угловой части)Задача для угловой части есть не что иное, а задача Штурма - Лиувилля дляотрезка .

Ее собственные значения vn и cобственные функции ϕn(φ)определяются точно также, как и вслучае периодических граничных условий.В задаче для ее радиальной части, ограниченное решение нашего уравнениепринимает следующий вид:R(r) = Rn(r) = CJvn( λr) .После подстановки ограниченного решения в наше граничное условие, мыполучаем уравнение для определения собственного значения λ :α λJvn( λa) + βJvn( λa) = 0 .Тогда решение задачи для радиальной части можно записать в виде:vμk( n)R(r) = Rn(r) = Jvnar , λ = λk( n) =vvμk( n)a2,где μk( n) - k - ый корень уравнения αμJvn(μ) + βaJvn(μ) = 0 прификсированном n .vКвадрат нормы функции Rn(r) выражается соответствующей формулой взависимости от типа кравевой задачи ( Дирихле, Нейман , Робен ) , в которых nнужно заменить на vn .Тогда собственные функции задачи Штурма - Лиувилля для круговогосектора имеют вид:unk(r, φ) = Jvn(λk( n) r ϕn(φ) ,)vа собственные значения:λk(vn) =(vn)2μk, где μk(vn) - корни исследуемого( a )уравнения.102в)Собственные функции кругового кольца.Основная цель : вычислить собственные функции кругового кольца.Пусть D - круговое кольцо : a < r < b, 0 ≤ φ ≤ 2π .Рассмотрим задачу Штурма - Лиувилля :Δu + λu = 0,P1(u) = α1 ∂u− β1u∂rP2(u) = α2 ∂u+ β2u∂ru ≠ 0.r=ar=a= 0,= 0,Представим решение в виде u(r, φ) = R(r)ϕ(φ) , подставим в наше исходноеуравнение, разделим переменные и получим задачу для радиальной части R(r) :r 2 R″ + rR′ + (λr 2 − v 2)R = 0, 0 < r < b,P1(R) ≡ α1R′ − β1Rr=aP2(R) ≡ α2 R′ + β2 Rr=b= 0,= 0,и задачу для угловой части ϕ(φ) :ϕ″ + vϕ = 0, 0 ≤ φ ≤ 2π,{ϕ(φ) ≡ ϕ(φ + 2π) при любом φ .Cобственные значения v и собственные функции ϕ задачи для угловой частихорошо нам уже известны и равны соответственно:cosnφv = vn = n , ϕ = ϕn(φ) =, n = 0,1,2, .

. . . {sinnφ2Общее решение уравнения для радиальной части при v = n 2 примет вид:R(r) = C1Jn( λr) + C2 Nn( λr) .103Подставим полученное общее решение в граничные условия :C1P1 Jn( λa) + C2 P1 Nn( λa) = 0,[][]C2 P2 Jn( λb) + C2 P2 Nn( λb) = 0,[][]где:P1 Jn( λa) ≡ α1 λJn′( λa) − β1Jn( λa),[]P2 Jn( λb) ≡ α2 λJn′( λb) + β2 Jn( λb),[]P1 Nn( λa) и P2 Nn( λb) определяются аналогично.[][]Полученная система относительно C1 и C2 имеет ненулевое решение, еслиее определитель равен нулю:P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]=P1 Nn( λa)[]P2 Nn( λb)[].Если данное условие выполняется, то из нашей полученной системы мыможем выразить C2 :C2 = − C1P1 Jn( λa)[]P1 Nn( λa)[].Теперь подставим C2 в нашу систему и выберем C1 = P1 Nn( λa) .

Тогда[]решение нашей задачи можно записать в виде:R(r) = Rn(r) = Jn( λr) P1 Nn( λa) − Nn( λr)P1 Jn( λa) ;[][]104а учитывая условие ненулевого решения, его можно переписать в виде:Rn(r) =P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]Jn λr)P2 Nn( λb) − Nn( λr)P2 Nn( λb).[][]}{ (Значение λ = λk(n) определяется из условия ненулевого решения при каждомфиксированном n = 0,1, . .

. .Вычислим квадрат нормы Rn(r) :Rn2b= R 2rdr .∫aДля этого воспользуемся ранее полученной нами формулой:b2rZv2( λr)rdr =∫2aZ′2v (v2λr) + 1 − 2 Zv2( λr)λr )(r 2 Z″v + rZ′v + (λr 2 − v 2)Zv = 0 .2b2=2a2−2,aгде Zv2( λr) - любое решение уравнения Бесселя :Rnbr2=2R′2n(R′2n(R′2n(n2λr) + 1 − 2 Rn2( λr)λr )(n2λb) + 1 − 2 Rn2( λb) −λb )(n2λa) + 1 − 2 Rn2( λa)λa )(105.b=aТак как :Rn( λb) = Jn( λb)P2 Nn( λb) − Nn( λb)P2 Jn( λb)[]{}=P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]=Jn( λb) α2 λN′n λb + β2 Nn( λb) −[]{−Nn λb α2 λJ′n( λb) + β2 Jn( λb)=[]}=P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]R′n( λb) ==α2 λW[Jn, Nn]P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]λb=P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]α22,πbJ′n λb)P2 Nn( λb) − N′n( λb)P2 Jn( λb)=[][]}{ (J′n( λb) α2 λN′n( λb) + β2 Nn( λb ) −[]{−Nn( λb) α2 λJ′n( λb) + β2 Jn( λb )=[]}106=−P1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]β2W[Jn, Nn]λb=−P1 Jn( λa)[] 2β2P2 Jn( λb) π λb[]2Rn( λa) = α1 , R′( λa) = − β1πa2π λa,,где W[Jn, Nn] - якобиан функции Jn(x) и Nn(x) , равный2.πxПолучается , что :Rn22= 2πJn( λa)()][2P1P2β22n2+ 1 − 2 α22 −λb )λ(Jn( λb)()][2 β12n2− 2+ 1 − 2 α12πλλa )(.Следовательно, собственные функции кругового кольца можно записать ввиде:cosnφ,unk(r, φ) = Rnλk(n)r k = 1,2, .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,57 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее