Главная » Просмотр файлов » Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы)

Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160), страница 10

Файл №1125160 Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы)) 10 страницаН.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160) страница 102019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

. . . , n = 0,1,2, . . . ,(){sinnφ,(где Rnλk(n)rкорни уравнения)мы уже определили ранее, а собственные значения λk(n) естьP1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]unk2=P1 Nn( λa)[]P2 Nn( λb)[]= Rn2ϕn1072.:Граничные условия 1,2,3 рода:1 ) Дирихле : граничные условия 1 рода (α1 = 0, α2 = 0, β1 = − 1, β2 = 1) :ur=a= 0, ur=b=0.Тогда :Rn = Jn( λr)Nn( λa) − Nn( λr)Jn( λa) ≡≡Jn( λa)Jn( λb)Jλr)Nn( λb) − Nn( λr)Jn( λb) ,{ n(}где λ = λk(n) есть k -ый корень уравненияJn( λa)Jn( λb)=Nn( λa)Nn( λb),22Jλa−Jnn)( λb)2 1 (2Rn = 2.1π λJn2( λb)2 ) Нейман : граничные условия 2 рода (α1 = α2 = 1, β1 = β2 = 0) :∂u∂rRn =λ=r=a∂u∂r=0 ,r=bλ Jn( λr)N′n( λa) − Nn( λr)J′n( λa) ≡{}J′n( λa)J′n( λb)Jλr)N′n( λb) − Nn( λr)J′n( λb) ,{ n(}где λ = λk(n) - k - й корень уравнения :λ J′n( λb)N′n( λa) − N′n( λb)J′n( λa) = 0 ,{}1082Rn = 22π2J′n2( λa)n2n21− 2 − 1− 2λb ) (λa )J′n2( λb) (.Замечания:1) уравнениеλ J′n( λb)N′n( λa) − N′n( λb)J′n( λa) = 0 имеет{}нулевой корень λ = 0 .2) Написанные выражения для собственных функций справедливы при λ ≠ 03) Нулевому собственному значению соответствует собственная функция,равная единице.109б) Собственные функции кругового кольцевого сектора .Пусть D - круговой кольцевой сектор: a < r < b, 0 < φ < a .Тогда задача Штурма - Лиувилля будет иметь вид:Δu + λu = 0,P1(u) ≡ α1 ∂u− β1u∂rP2(u) = α2 ∂u+ β2u∂r∂uP3(u) = α3 ∂φ− β3u∂uP4(u) = α4 ∂φ+ β4ur=a= 0,r=b= 0,φ=0= 0,φ=a= 0,u(r, φ) ≠ 0, αi + βi ≠ 0, i = 1,2,3,4 .Представим решение в следующем виде:u = R(r)ϕ(φ) .Разделим переменные и получим задачу Штурма - Лиувилля для отрезка0<φ<a:1)ϕ″ + vϕ = 0,P3(ϕ)φ=0= 0, P4(ϕ)φ=a= 0, и задачу Штурма - Лиувилля на отрезке для оператора Бесселя :2)r 2 R″ + rR′ + (λr 2 − v)R = 0, a < r < b,P1(R)r=a= 0, P2(R)r=b= 0, .Значит, собственные функции кольцевого кругового сектора имеют вид:unk(r, φ) = Rn( λr)ϕn(φ) ,где Rn = Jvn( λr)P1 Nvn( λa) − Nvn( λr)P1 Jvn( λa) ≡[][]110≡P1 Jvn( λa)[]P2 Jvn( λb)[]ϕn(φ) =Jvn( λr)P2 Nvn( λb) − Nvn( λr)P2 Jvn( λb),[][]{}β3sin vn φ + α3 vn cos vn φvnα32 + β32(α3α4v − β3 β4)tg vα =уравнения :, где vn - n - ый корень уравнения:v (α3 β4 + β3α4) , где λ = λk( n) - k - ый кореньP1 Jvn( λa)[]P2 Jvn( λb)[]v=P1 Nvn( λa)[]P2 Nvn( λb)[]111.в) Собственные функции цилиндра .Рассмотрим задачу Штурма - Лиувилля для прямого кругового цилиндра .введем цилиндрическую систему координат (r, φ, z) с началом в центренижнего основания цилиндра и осью z , направленной вдоль оси цилиндра.В цилиндрической системе координат оператор Лапласа имеет следующийвид:∂2 uΔu = Δ2u + 2 , где Δ2 - оператор Лапласа на∂zплоскости.Тогда задача Штурма - Лиувилля имеет следующий вид:Δu + λu = 0, 0 < r < a, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 < z < l,α∂u∂r∂u+ βuα1 ∂z − β1ur=aα2 ∂u+ β2u∂z= 0,z=0= 0,z=l= 0.В рассматриваемом классе задач решение мы будем строить методомразделения переменных : отделяя переменную z ⇒⇒ u(r, φ, z) = v(r, φ)Z(z) .Подставляем наше решение в заявленное уравнение , записанное вцилиндрической системе координат и разделив переменные , получим:Δ2v + λvv(r, φ)≡−Z″(z)=v .Z(z)С учетом граничных условий нашей задачи мы получаем две отдельныезадачи Штурма - Лиувилля.

Одна из которых решается на отрезке( определениесобственных функций и собственных значений на отрезке) , другая в круге(определение собственных функций и собственных значений в круге ).112Z″ + vZ = 0, 0 < z < l,1)α1Z′ − β1Zz=0α2 Z′ + β2 Zz=lZ(z) ≠ 0 .= 0,(задача Штурма - Лиувилля на отрезке)= 0,Δ2v + χ v = 0, 0 < r < a, 0 ≤ φ ≤ 2π,α2)∂v∂r+ βvr=av(r, φ) ≠ 0= 0, χ = λ − v,(задача Штурма - Лиувилля в круге)Значит:собственные функции цилиндра имеют следующий вид:(unkm(r, φ, z) = Jnχk(n)rZ (z),){sinnφ } mcosnφсобственные значения цилиндра вычисляются по формуле :λnkm = χk(n) + vm,где χk(n) - собственные значения круга при соответствующих граничныхусловиях ,Zm(z) и vm - собственные функции и собственные значения отрезка присоответствующих ему граничных условиях .113г) Собственные функции цилиндрического сектора.Пусть D - сектор конечного кругового цилиндра :0 ≤ r < a, 0 < φ < a, 0 < z < l .Ему соответствует задача Штурма - Лиувилля , которая имеет вид:Δu + λu = 0,P2[u] = α2 ∂u+ β2u∂rr=a= 0,φ=0=0∂uP4[u] = α4 ∂φ+ β4uφ=a= 0,P5[u] = α5 ∂u− β5u∂zz=0=0z=l=0∂uP3[u] = α3 ∂φ− β3uP6[u] = α6 ∂u+ β6u∂zu(r, φ, z) ≠ 0, αi + βi ≠ 0, i = 2, .

. . ,6 .Решение ищем в следующем виде:u(r, φ, z) = v(r, φ)Z(z) .Подставляем решение в нашу задачу , разделяем переменные и получаем двеотдельные задачи Штурма - Лиувилля .114Для функции Z(z) мы получаем задачу Штурма - Лиувилля на отрезке:Z″ + δz = 0, 0 < z < l,1)P5[Z ]Z ≠ 0,z=0= 0, P6[Z ]z=l= 0,для функции v(r, φ) мы получаем задачу Штурма - Лиувилля для круговогосектора:Δv + χ v = 0, 0 < r < a, 0 < φ < α,2)P2[v]P3[v]r=aφ=0= 0,= 0, P4[v]v(r, φ) ≠ 0,φ=a= 0,где χ = λ − δ .Cобственные функции цилиндрического сектора имеют вид:unkm = (r, φ, z) = Rnk(r, φ)Zm(z) ,где Rnk(r, φ) - собственные функции кругового сектора 0 < r < a , 0 < φ < α ,Zm(z) -собственные функции отрезка 0 < z < l ,Собственные значения :λnkm = χnk + δm,где χnk и δm - собственные значения кругового сектора и отрезка.115д) Частные решения уравнения Лапласа в полярной системе координат.Введем полярную систему координат (r, φ) и построим частные решенияуравнения Лапласа :1 ∂∂u1 ∂2 uΔu ≡r+=0 ,r ∂r ( ∂r ) r 2 ∂φ 2представимые в виде:u(r, φ) = R(r)ϕ(φ) .Подставляем заявленный вид решения в наше уравнения и разделяемпеременные:r drd (r dRdr )R(r)≡−ϕ″(φ)ϕ(φ)=λ .Получаем отдельно уравнения для радиальной части R(r) и угловой части ϕ(φ) .Рассмотрим уравнение для угловой части ϕ(φ) :ϕ″(φ) + λφ = 0 .Будем считать, что переменная φ изменяется от 0 до 2π ( случай, когдапеременная φ изменяется в меньшей области 0 ≤ φ < α < 2π соответствуетрешению уравнения Лапласа в секторе и будет рассмотрен отдельно) .Если 0 ≤ φ ≤ 2π , то решение ( в силу непрерывности) должно бытьпериодично по φ с периодом 2π .

Значит, для определения функции ϕ(φ) мыполучаем одномерную задачу Штурма - Лиувилля с условиями периодичности :ϕ″ + λϕ = 0, 0 ≤ φ ≤ 2π,ϕ(φ + 2π) ≡ ϕ(φ) при любом φ,ϕ(φ) ≠ 0 .116Как мы уже знаем, решение этой задачи имеет вид:cosnφ,ϕ = ϕn(φ) = λ = λn = n 2, n = 0,1, . . . , ∞ .{sinnφ,С учетом известных нам собственных значений λ из рассматриваемогоуравнения Лапласа , мы получаем уравнение для радиальной части :r 2 R″ + rR′ − n 2 R = 0 .Это уравнение Эйлера и его общее решение можно записать в следующем виде:R = Rn(r) = C1r n + C2r −n, n ≠ 0,{R0(r) = C1 + C2lnr, n = 0 .Значит, мы построили следующие серии частных решений уравнения Лапласа:cosnφ1) un(r, φ) = r, n = 0,1, . . .

.{sinnφ }nЭти решения ограничены при r → 0 и неограничены на бесконечности.Общее решение уравнения Лапласа в круге 0 ≤ r ≤ a записывается в видеразложения по этим решениям:∞A0u(r, φ) =+r n{Ancosnφ + Bnsinnφ} .∑2n=11 cosnφ, n = 0,1 . . .2) un(r, φ) = nr {sinnφ,Эти решения ограничены на бесконечности и неограничены при r → 0 .Они используются при решении уравнения Лапласа вне круга .Общее решение уравнения Лапласа вне круга (r ≥ a) , ограниченное набесконечности , можно записать в следующем виде:∞A01u(r, φ) =+{Ancosnφ + Bnsinnφ}.n∑2rn=13) Третья серия решений:(используется при решенииcosnφ,уравнения Лапласа в круговом1 cosnφ,1, lnr, r n, n , n = 1,2, .

. . , {sinnφ, } r {sinnφ, }кольце a ≤ r ≤ b )неограничена117при r → 0 , и при r → ∞e) Краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга.Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга:Δu = 0, 0 ≤ r < a,{P[u] ≡ α∂u∂r+ βur=a= f (φ), α + β ≠ 0 .Решение рассматриваемой задачи наиболее рационально ( для упрощениявычислений) записать в следующем виде:∞A0rnu(r, φ) =+n2β ∑n=1 P[r ]{Ancosnφ + Bnsinnφ} (β ≠ 0) .r=aПодставляем наше решение в граничное условие и получаем:∞A0+A cosnφ + Bnsinnφ} = f (φ) .∑{ n2n=1An и Bn - коэффициенты Фурье функции f (φ) по системе тригонометрическихфункций {cosnφ, sinnφ} , которые вычисляются по формулам:An =2π2π0011f (φ)cosnφdφ, Bn = f (φ)sinnφdφ, n = 0,1,2 . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,57 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее