Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

257Функция Грина задачи Неймана определена с точностью до слагаемого,не зависящего от координат точки Q , но зависящего от координат точки M.Это слагаемое можно выбрать так, чтобы функция Грина быласимметричной. Для этого достаточно потребовать выполнениедополнительного условия:∮G(P, M )dSP = 0 , однозначно определяющего функцию ГринаSG(Q, M) .Тогда решение рассматриваемой задачи можно записать в следующемвиде:u(M ) =∮SG(P, M )f (P)dSP + G(Q, M)F(Q)dvQ + A0 ,∫Dгде A0 - произвольная постоянная.Теперь перейдем к внешним трехмерным задачам Неймана.При постановке внешних задач Неймана, как и в случае внешнейзадачи Дирихле , нам потребуется поставить дополнительное условие:регулярность решения на бесконечности.Итак, пусть De - дополнение ограниченной области D с границей S довсего пространства R 3 .

Тогда математическая постановка задачи будетиметь следующий вид:Δu = − F(M ), M ∈ De,∂u∂nS= f (P), P ∈ S,258n - единичная внешняя по отношению к области De нормаль кповерхности S , r =x2 + y2 + z2 .Классическим решением поставленной нами задачи будем называть регулярнуюна бесконечности функцию u(M ) , дважды непрерывно дифференцируемуюв области De , непрерывно дифференцируемую в области De ,удовлетворяющую в классическом смысле уравнению Δu = − F(M ) вобласти De и соответствующему ему граничному условию.Если S - поверхность Ляпунова , то рассматриваемая нами задача имеетединственное классическое решение для любой непрерывной наповерхности S функции f (P) и любой финитной непрерывнодифференцируемой функции F(M ) .Таким образом, в отличие от случая внутренней трехмерной задачиНеймана, для внешней трехмерной задачи дополнительное условиеразрешимости не требуется.

Для регулярных на бесконечности функций вовнешних областях справедливы формулы Грина. Поэтому решение нашейзадачи можно построить, используя следующую формулу:∂u(P)∂G(P, M )u(M ) =G(P, M )− u(P)dS −∮(∂nP∂nP ) PS−∫G(Q, M)Δu(Q)dVQ ,DeG(Q, M) =1+ v , v - произвольная, регулярная на4πrQMбесконечности , гармоническая функция.Замечание: в отличие от внутренних задач Неймана, при построениирешения внешних задач в трехмерном случае, можно потребовать , чтобы259производная∂G(P, M )обращалась в ноль на границе S , так как не∂nPтребуется никаких условий разрешимости нашей задачи.Функцией Грина внешней задачи Неймана для оператора Лапласа в трехмерномслучае будем называть функцию следующего вида:G(Q, M) =1+ v(Q, M), Q ∈ De, M ∈ De,4πrQMудовлетворяющую следующим условиям:1) v(Q, M) - регулярная на бесконечности, гармоническая функциякоординат точки Q ∈ De , непрерывная на De для каждой точки M ∈ De ;∂G(P, M )2)∂nP= 0 для каждой точки M ∈ De .P∈SФункция Грина G(Q, M) является решением следующей задачи:ΔQG(Q, M) = − δ(Q, M), Q, M ∈ De,∂G(P, M)∂nPP∈S→= 0, P ∈ S, M ∈ De,G(Q, M) 0 на бесконечности .→Функция G(Q, M) симметрична относительно перестановки точек Qи M.Тогда решение нашей задачи можно представить в следующем виде:260u(M ) =∮SG(P, M )f (P)dSP +∫G(Q, M)F(Q)dVQ .De2617.Внутренние и внешние двухмерные задачи Неймана.Пусть D - ограниченная область с достаточно гладкой границей L вдвумерном пространстве R 2 .Рассмотрим задачу Неймана следующего вида:Δu = − F(M ), M ∈ D,∂u∂nL= f (P), P ∈ L .Как и в трехмерном случае, полученная краевая задача разрешиматолько при выполнении следующего условия:− F(M )dS = f (P)dl .∫∮DLКласическим решением рассматриваемой задачи будем называть функцию u(M )дважды непрерывно дифференцируемую в области D , непрерывнодифференцируемую в области D , удовлетворяющую в классическом смыслеуравнению Δu = − F(M ) в области D и соответствующему ему граничномуусловию.Если граница L области D является кривой Ляпунова, функция f (P)является непрерывной, а функция F(M ) непрерывно дифференцируемой , топри выполнении условия разрешимости решение поставленной задачисуществует, но не единственно и определяется с точностью до аддитивнойпостоянной.Как и в трехмерном случае, справедливо следующее соотношение:262∂G(P, M )u(M ) =G(P, M )f (P) − u(P)dl +∮(∂nP ) PL+ G(Q, M)F(Q)dSQ .∫DG(Q, M) - фундаментальное решение оператора Лапласа в двумерном случае:G(Q, M) =11ln+ v , v - гармоническая в области S функция.2π rMQ∂G(P, M )1 ∂1∂vu(P)dlP = u(P)ln+dl - значение( 2π ∂nP rPM ∂nP ) P∮∮∂nPLLданного слагаемого неизвестно, так как на границе L задано лишьзначение u(P) не задано.∂u,а∂nПодберем функцию v таким образом, чтобы выражение :∂G(P, M )u(M ) =G(P, M )f (P) − u(P)dl +∮(∂nP ) PL+ G(Q, M)F(Q)dSQ - было равно константе!∫DВ качестве v(Q, M) возьмем решение следующей задачи:ΔQv = 0, Q ∈ D,∂v∂nPL=−1 ∂1lnrPM2π ∂nP+ C, P ∈ L .Константа C выбирается таким образом, чтобы выполнялось условиеразрешимости, которое в нашем случае имеет следующий вид:1 ∂1−ln+ C dlP = 0 ,)∮ ( 2π ∂nP rPML263Отсюда:C ⋅ L0 =1∂1lndlP, L0 - длина кривой L .∮2π ∂nP rPMLИнтеграл в правой части можно посчитать, используя третью формулуГрина , записанную для функции u ≡ 1 :1=−1∂1lndlP .∮2π ∂nP rPMLОткуда окончательно получаем:1C=−.L0Функцией Грина внутренней задачи Неймана для оператора Лапласа в двумерномслучае будем называть функцию следующего вида:G(Q, M) =11ln+ v(Q, M), Q ∈ D, M ∈ D,2π rQMудовлетворяющую следующим условиям:1) v(Q, M) - гармоническая функция координат точки Q ∈ D ,непрерывная на D для каждой точки M ∈ D ;2)∂G(P, M )∂nP=−P∈L1для каждой точки M ∈ D .L0Тогда функция Грина оператора Лапласа для внутренней задачиНеймана в двумерном случае представляет собой решение следующейзадачи:ΔQG(Q, M) = − δ(Q, M), Q, M ∈ D,∂G(P, M)∂nPL=−1, PL0264∈ L, M ∈ D .Функция Грина задачи Неймана определена с точностью дослагаемого, не зависящего от координат точки Q , но зависящего откоординат точки M.

Это слагаемое можно выбрать таким образом, чтобыфункция Грина была симметричной. Достаточно потребовать выполненияследующего дополнительного условия:∮G(P, M )dlP = 0 , однозначно определяющего функциюLГрина G(Q, M) .Итак, решение рассматриваемой нами задачи можно записать вследующем виде:u(M ) =∮LG(P, M )f (P)dlP + G(Q, M)F(Q)dSQ + A0 ,∫DA0 - произвольная постоянная.Теперь перейдем к внешним двумерным задачам Неймана.Итак, пусть De - дополнение некоторой ограниченной области D сгладкой границей L до всей плоскости R 2 .Тогда внешняя задача Неймана для оператора Лапласа в двумерномслучае будет иметь следующий вид:Δu = − F(M ), M ∈ De∂u∂nL= f (P), P ∈ L,u < ∞,265n - внешняя по отношению к области De нормаль к границе L .Классическим решением поставленной задачи будем называть регулярную набесконечности функцию u(M ) , дважды непрерывно дифференцируемую вобласти De , непрерывно дифференцируемую в области De ,удовлетворяющую в классическом смысле уравнению Δu = − F(M ) вобласти De и соответствующему ему граничному условию.Если кривая L является кривой Ляпунова , функция F(M ) являетсяфинитной и непрерывно дифференцируемой , а функция f (P) непрерывной,то рассматриваемая задача имеет классическое решение только привыполнении следующего условия разрешимости:∮Lf (P)dlP = −∫F(M )dSM .DeУсловие разрешимости получается из второй формулы Грина длянеограниченной области De :∂u∂v(vΔu − uΔv)dS =v−udl ,∫∮ ( ∂n∂n )DeLзаписанной для решения u и регулярной на бесконечности в двумерномслучае функции v = 1 .Замечание: провести подобные рассуждения в случае внешнихтрехмерных задач Неймана нельзя, так как формулы Грина во внешняхобластях справедливы только для регулярных на бесконечности функций, ккоторым функция v ≡ 1 в трехмерном случае не относится.Классическое решение внешней двумерной задачи Неймана не единственно,и определяется с точностью до аддитивной постоянной.266Итак, пусть условие разрешимости выполнено.

Построим решениепоставленной задачи в интегральном виде. Выберем систему координаттаким образом, чтобы начало координат O находилось внутри области D.Рассмотрим функцию следующего вида:G(Q, M) =1111ln−ln+ v2 ,2π rQM 2π rQOv2 - гармоническая в области De , регулярная на бесконечности функция.Функция G(Q, M) представляет собой регулярное на бесконечностифундаментальное решение оператора Лапласа в двумерном случае:ΔQG(Q, M) = − δ(Q, M), Q, M ∈ De,G(Q, M) < ∞, rQM → ∞, M ∈ De .Пусть носитель функции F(M ) принадлежит ограниченной областиD0 ⊂ De ⊂ R 2 .Тогда вне области D0 решение u(M ) является гармонической функцией ,следовательно в любой точке M ∈ De для него справедлива следующаяформула:∂u(P)∂u(M ) =G(P, M ) − u(P)G(P, M ) dlP−}∮ { ∂nP∂nPL−∫Δu(Q)G(Q, M)dSQ .DeПодставляя в последнее выражение правые части уравнения икраевого условия рассматриваемой задачи, мы получим:u(M ) =f (P)G(P, M ) − u(P)∮(L∂G(P, M )dlP+)∂nP267+∫G(Q, M)F(Q)dSQ .De∂G(P, M )Слагаемое :u(P)dlP - неизвестно .∮∂nPLТак как решение внешней двумерной задачи Неймана для оператораЛапласа определяется с точностью до аддитивной постоянной, мы можемподобрать функцию v2 для G(Q, M) таким образом, чтобы это неизвестноеслагаемое было равно константе.Если мы положим:∂G(P, M )∂nP= C = const , то интеграл в неизвестном слагаемомLобращается в константу.Постоянную C мы можем определить из условия разрешимости задачи:ΔQG(Q, M) = − δ(Q, M), Q, M ∈ De,G(Q, M) < ∞, rQM → ∞, M ∈ De,∂G(P, M)∂nPL= C,которое, в свою очередь, принимает следующий вид:∮CdlP = − 1 .LОтсюда определяем постоянную:C=−1, где L0 - длина контура L .L0268Cледовательно, для произвольной точки M ∈ De , мы имеем:u(M ) =∮G(P, M )f (P)dlP +L∫G(Q, M)F(Q)dVQ + A0 ,Deгде A0 - произвольная постоянная.Итак, функцией Грина внешней задачи Неймана для оператора Лапласав двумерном случае будем называть функцию следующего вида:11G(Q, M) =ln+ v(Q, M), Q ∈ De, M ∈ De,2π rQMудовлетворяющую условиям:1) v(Q, M) - гармоническая функция координат точки Q ∈ De ,непрерывная на De для каждой точки M ∈ De и имеющаялогарифмическую особенность на бесконечности;∂G(P, M )2)∂nPP∈L1=−для каждой точки M ∈ De , где L0 - длинаL0кривой L ;3) G(Q, M) регулярна на бесконечности.Таким образом, функция G(Q, M) является решением следующейзадачи:ΔQG(Q, M) = − δ(Q, M), Q, M ∈ De,∂G(P, M)∂nPL=−1, PL0∈ L, M ∈ De,G(Q, M) < ∞, rQM → ∞, M ∈ De .269Функция Грина G(Q, M) определена с точностью до слагаемого, независящего от точки Q .

Характеристики

Список файлов книги