Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы) (1125160), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Когда кинетическая энергия n- ой гармоники достигает максимального значения ( струна проходитположение равновесия) , ее потенциальная энергия обращается в ноль, инаоборот, когда потенциальная энергия n - ой гармоники достигаетмаксимального значения ( струна находится в одном из крайних положений), ее кинетическая энергия обращается в ноль.Следовательно:En = max(En(t)2h 2l 4πn x0sin×)=2l244π n x0 (l − x0)kin2la 2π 2 n 222 πn x× ρ0maxcosωtsindx =(n)2∫ll(t)0= Mh2a 2l 22sin2π 2n 2 x02(l − x0)πn x0, M = ρ0l - масса струны.lСледовательно, энергия обертонов , для которых выполнено:πn x0= 0 , равна нулю.l3004. Решить задачу о малых поперечных колебаниях круглой мембраны U r0 радиуса r0c закрепленным краем, если начальное отклонение точек мембраны задано функциейru0(r, φ) = A cosφ, где A - некоторая постоянная , а начальные скорости равныr0нулю.Решение:Начально - краевая задача, описывающая процесс колебаний мембраныимеет следующий вид:utt = a 2 Δu, M ∈ U r0, t > 0,ur=Acosφ, utt=0r0t=0= 0, ur=r0= 0.U r0 - круг радиуса r0 , Cr0 - окружность радиуса r0 .Будем искать решение в виде разложения по собственным функциямзадачи Дирихле для круга U r0 .Тогда собственные функции и собственные значения будут иметьследующий вид:vkn(r, φ) = Jn((,λk(n) =μk(n)r0)μk(n)r0cosnφ,r){sinnφ,2μk(n) - корень номера k уравнения Jn(μ) = 0 .Квадрат нормы собственных функций равен:vkn22πr2, n = 0,02=εn J′n(μk(n)) , εn =]{1, n ≠ 0 .2 [301Тогда формула для общего решения начально - краевой задачи в кругедля неоднородного уравнения колебаний с неоднородными начальнымиусловиями и однородными граничными условиями Дирихле будетвыглядеть следующим образом:u(r, φ, t) =++(c)(s)Φcosnφ+Φsinnφ)cosakn∑ ∑ {( kn∞∞k=1 n=0(c)(s)Ψkncosnφ + Ψknsinnφa∞∞λk(n)μk(n)tra0μk(n)λk(n) t Jnr +( r0 )λk(n) (t − τ)sina∑ ∑ ( r0 ) ∫k=1 n=0Jnsinaλk(n) t+λk(n)(c)(s)fcosnφ+fsinnφ)dτ .( knknТеперь определим коэффициенты:c{s }fkn (t)c{s }Φknc{s }Ψkn===1vkn1vkn1vkn2r0 2π2cosnφf r, φ, t)Jnrrdrdφ,∫∫ (( r0 ){sinnφ }0 0r0 2π∫∫0 0r0 2π2μk(n)cosnφrrdrdφ,sinnφ{}( r0 )μk(n)Φ(r, φ)JncosnφΨ r, φ Jrrdrdφ .∫ ∫ ( ) n( r0 ){sinnφ }μk(n)0 0( индексы c и s соответствуют коэффициентам разложения по косинусам исинусам) .Так как, в нашем случае, f (M, t) ≡ 0302и Ψ(M ) ≡ 0,то :u=∞μk(n)∞(c)(s)Φkncosnφ + Φknsinnφ)Jnr cosa(∑∑( r0 )k=1 n=0λk(n) t .Снова определим коэффициенты:2A(c)Φk1=r0J2(μk(1))(c)(s),приΦ=0n≠1, Φ≡ 0 .knkn2(1)J′μ1()]k[Подставим коэффициенты в разложение решения и получим конечныйрезультат:2Acosφ ∞u(r, φ, t) =r0 ∑k=1J2(μk(1))(1)J′μ1(k )][μk(1)r cosa( r0 )J2 1μk(1) ( k = 1,2, .
. . . ) - корни уравнения :J1(μ) = 0, λk(1) =μk(1)( r0 )3032 .λk(1) t,3. Уравнения теплопроводности и колебаний в ограниченной области снеоднородными граничными условиями.Рассмотрим начально - краевую задачу для уравнениятеплопроводности с неоднородным граничным условием :ut = a 2 Δu, t > 0,uα= 0,t=0∂u+∂nβuS= μ(P, t)P∈S, α + β ≠ 0 .Общая схема решения такого вида задач состоит в следующем. Вместофункции u(M, t) , вводится новая неизвестная функция v(M, t) следующемсоотношением:u(M, t) = v(M, t) + w(M, t),где w(M, t) выбрана таким образом, что она удовлетворяет заданномуграничному условию:α∂w+ βw∂nS= μ(P, t)P∈S.Для функции v(M, t) мы получаем следующую задачу:vt = a 2 Δv + f (M, t), M ∈ D, t > 0,vα=−wt=0∂v+∂nβvS,t=0= 0, где f (M, t) = a 2 Δw − wt .Следовательно, основным набором функции w(M, t) , которая должнабыть достаточно гладкой и удовлетворять заданному граничному условию.Этими требованиями функция w(M, t) определяется неоднозначно.304Появившейся свободой выбора w(M, t) следует распоряжаться так, чтобыполученная задача для v(M, t) оказалась возможно более простой.Чаще всего функцию w(M, t) выбирают гармонической попространственной переменной , то есть , как решение следующей краевойзадачи:Δw = 0,{α∂w∂n+ βwS=μ ,Sв которой переменная t рассматривается, как параметр.
При такомвыборе функции w следует проявлять осторожность при решении задачи сграничным условием Неймана, так как рассматриваемая задача может неиметь решения. Тогда функцию w следует выбирать как то иначе.305Примеры:1. Решить уравнение теплопроводности на отрезке 0 ≤ x ≤ l:ut = a 2uxx, 0 < x < l, t > 0,ut=0u= 0,x=0= A, ux=l= B, A, B = const .Решение:В рассматриваемом случае функцию w наиболее удобно выбрать , какрешение следующей задачи:wxx = 0, 0 < x < l,{wx=0= A, wx=l= B.Функция w зависит только от x и имеет следующий вид:w = w(x) =B−Ax+A .lПусть u = v + w .Тогда для функции v(x, t) мы получаем следующую задачу:vt = a 2vxx, 0 < x < l, t > 0,vv= − w(x) = −t=0x=0=vx=l= 0.B−Alx − A,Решение полученной задачи имеет следующий вид:v(x, t) =∞∑n=1cnπn−( πant)lesin2l306x,где:l2B−Aπn2(−1)n B − A], n = 1,2, .
. .cn = −x + A sinxd x =[)l ∫( llπn0Таким образом:B−A2 ∞ A − (−1)n B −( πan )2t πnu(x, t) =x+A−e l sinx .∑lπ n=1nl2. Найти процесс нагревания однородного бесконечного прямого кругового стержнярадиуса r0 , на поверхности которого поддерживается температура T0cosφsinwt .Начальная температура стержня нулевая.Решение:Пусть u - температура стержня. Функция u будет зависеть только отr, φ, t и для нее получается начально - краевая задача для уравнениятеплопроводности в круге:ut = a 2 Δu, 0 ≤ r < r0, 0 ≤ φ ≤ 2π, t > 0,uut=0r=r0= 0,= T0cosφsinwt, T0 = const .Пусть u(M, t) = v(M, t) + w(M )sinwt , а функцию w(M ) выберем какрешение задачи Дирихле для уравнения Лапласа:307Δw = 0, 0 ≤ r < r0,{wr=r0= T0cosφ .Решение этой задачи имеет следующий вид:rw = T0 cosφ .r0Для функции v(r, φ, t) получается следующая задача:vt = a 2 Δv − T0w rr cosφcoswt,vt=0= 0, v0r=r0= 0.Решение полученной задачи, учитывая структуру правой частиуравнения, можно записать в следующем виде:v = cosφ∞∑k=1Akuk(t)J1( λk r) ,где λk - корень уравнения J1( λk r0) = 0, k = 1,2, .
. .Функция uk(t) - есть решение следующей задачи Коши:dukdtuk+ a 2 λkuk = −t=0T0 wr0fk coswt,= 0, k = 1,2, . . . , ∞,где:fk =1J1( λk r)r02Jλ r r dr =∫ 1( k )203082J2( λk r0)λk J′21 λk r0(),k = 1,2, . . . , ∞ .Решая задачу Коши, получим:uk(t) = −T0wfkr0(a 4 λk2+)w2{a2 λk coswt + wsinwt − a2λk e −a2λ tk} .Значит:ru = T0 cosφsinwt−r0∞T0w−r0 ∑k=1fk{a 2 λk coswt + wsinwt − a 2 λk e −a2λk t}a 4 λk2 + w 2J1( λk r)cosφ .3. Найти распределение температуры в однородном бесконечном прямом круговомцилиндре радиуса r0 , на поверхности которого задан постоянный тепловой поток.Начальная температура равна нулю.Решение:Для температуры u получается начально - краевая задача внутри кругас неоднородным граничным условием Неймана:ut = a 2 Δu, 0 ≤ r < r0, t > 0,u∂u=0, t=0∂rr=r0= q = const .309В этом случае функцию w нельзя выбрать как решение уравненияЛапласа в круге с граничным условием:∂w∂r= q,r=r0так как такая задача решения не имеет.
Выберем функцию w вследующем виде:r2w=q ,2r0∂w∂r=q,r=r0и сделаем следующую замену :r2u=v+q .2r0Тогда для функции v(r, φ, t) получается следующая начально краевая задача:2vt = a Δv +v=−t=02a 2q, 0r0∂vr2q, ∂r2r0≤ r < r0, t > 0,r=r0= 0.Решением полученной задачи мы будем строить в виде разложения вряд по собственным функциям задачи Неймана для уравнения Лапласа вкруге, которые имеют следующий вид:1, J′n(λk(n)r, k){sinnφcosnφ(где λk(n) - k - ый корень уравнения J′n= 1,2, . . . , n = 0,1, .
. . ,λk(n)r0)= 0 , причем нклнвомукорню λ0(n) = 0 соответствует собственная функция, равная 1 .310Так как правая часть уравнения и начальное условие не зависят отугла φ , в разложении будут присутствовать только собственные функции,также не зависящие от φ:λk(0)r , k = 1,2, . . . (λ0(0) = 0) .()1, J0Следовательно, решение нашей задачи мы можем записать вследующем виде:∞∑v(r, t) =k=1(λk(0)rAk(t)J0)+ A0(t),где Ak(t) определяются при каждом k = 0,1,2, . . . , как решение задачиКоши:dAk+ a 2 λk(0) Ak = fk, t > 0,dtAkt=0= φk,где:f0 =φ0 = −2r022a q2a q 1, fk =r0r0 J0q 12r0 120r02∫0λk(0)r rdr,)∫ (J0r 3dr, φk = −q12r0 J0r02λk(0)r r 3dr .)∫ (J00Найдем fk и φk :fk =r022a q 1r0 J02λk(0)r rdr = 0, в силу ортогональности)∫ (J00собственных функций, соответствующих различным собственнымзначениям,311qrφ0 = − 0 ,41так как2r0r02= rdr =.∫20Для расчета интеграла, входящего в формулу для определения φk,воспользуемся следующим соотношением:∫x 3J0(x)d x = 2x 2 J0(x) + x 3J1(x) − 4xJ1(x) .Таким образом, получим:r0J∫ 0(0λk(0)r r 3dr)=2r02λk(0)r0 , k ≠ 0,()J(0) 0λkтак как :J1(λk(0)r0)=0.и:J02r02 2= J0λk(0)r0 ,)2 (мы получим:φk = −2q(r0 λk(0)J0λk(0)r0), k ≠ 0 .Следовательно, коэффициент A0(t) является решением следующейзадачи:312dA0=dtA0t=02a 2 qr0 (λ0(0) = 0), t > 0,=−qr04.и соответственно равен:2a 2qt qr0.A0(t) =−r04Остальные коэффициенты Ak(t) , k ≠ 0 , являются решением задачивида:dAkdtAk+ a 2 λk(0) Ak = 0, t > 0,t=0=−2qr0 λk(0) J0(.λk(0)r0)И соответственно равны:Ak(t) = −2q(r0 λk(0)J0λk(0)r0e −a)2 (0)λk t.Таким образом:2a 2qt qr0 2q ∞v=−−r04r0 ∑k=1e −a(λk(0)J02 (0)λk tλk(0)r0)J0λk(0)r .()И тогда решение нашей исходной задачи примет следующий вид:u = w + v = qr02a 2t 12r 2−1− 2−r024(r0 )3132q ∞−r0 ∑k=1e −a(λk(0)J02 (0)λk tλk(0)r0)(J0λk(0)r)314.3.
Уравнения теплопроводности на бесконечной прямой и в неограниченномпространстве. Фундаментальные решения.Рассмотрим начальную задачу на бесконечной прямой R 1 для уравнениятеплопроводности с постоянными коэффициентами. Введем обозначенияΩ ≡ R 1 × (0, + ∞), Ω ≡ R 1 × [0, + ∞) . Тогда начальная задача будетставиться следующим образом:ut = a 2uxx + f (x, t), (x, t) ∈ Ω,{u(x,0) = φ(x), x ∈ R 1 .Классическим решением поставленной задачи для уравнениятеплопроводности на бесконечной прямой называется функция u(x, t) ,непрерывная в замкнутой области Ω , имеющая непрерывные производныепервого порядка по t и второго порядка по x в открытой области Ω ,удовлетворяющая в Ω уравнению теплопроводности и при t → 0начальному условию.Если функция φ(x) непрерывна и ограничена в R 1 , а функция f (x, t)непрерывна по совокупности аргументов и ограничена в Ω , то наша задачаимеет единственное классическое решение .В случае менее гладких функций φ(x) и f (x, t) , рассматриваемаязадача может иметь обобщенное решение.Для решения начальной задачи удобно использовать методинтегрального преобразования Фурье .Рассмотрим ( в качестве примера) задачу для уравнениятеплопроводности на бесконечной прямой и запишем для ее решенияформулу Пуассона.315Тогда для решения нашей задачи применим преобразование Фурье сядром e −iλx .
Обозначим через U(λ, t), F(λ, t) и Φ(λ) образы Фурьефункций u(x, t), f (x, t), и φ(x) соответственно:1U(λ, t) =2π2π12π∫u(ξ, t)e −iξt dξ,∫f (ξ, t)e −iξt dξ,−∞∞1F(λ, t) =Φ(λ) =∞−∞∞∫φ(ξ)e −iξt dξ .−∞Будем считать, что выполняются условия существования интегралаФурье ( это заведомо выполнимо для классического решения соответствующейзадачи) и что функция u(x, t) и ее частные производные достаточно быстростремятся к нулю при x → ± ∞ . Предположим также, что интеграл дляU(λ, t) можно дифференцировать по переменной t под знаком интеграла.12πУмножим уравнение теплопроводности и начальное условие наe −iλx и проинтегрируем по x от −∞ до +∞ . Проинтегрировав затемполученный в правой части интеграл дважды по частям и учитывая, чтопостановки на ± ∞ обратятся в ноль, получим следующую задачу Коши впространстве образов:Ut + a 2 λ 2U = F, t > 0,Ut=0= Φ(λ) .Решение полученной задачи записывается с помощью импульснойфункции в следующем виде:316tU(λ, t) = e −a∫2 2λ (t − τ)F(λ, τ)dτ + Φ(λ)e −a2 2λ t.0Теперь подставим выражения для образов Фурье F(λ, t) и Φ(λ) ивернемся к оригиналу, используя формулу обратного преобразованияФурье.Меняя порядок интегрирования , мы получим:u(x, t) =∞12π ∫U(λ, t)e iλx dλ =−∞t ∞=∞12 2e −a λ (t − τ)+iλ(x − ξ)dλ f (ξ, τ)dξdτ+2π ∫∫ ∫0 −∞∞+∫−∞−∞∞12 2e −a λ t+iλ(x − ξ)dλ φ(ξ)dξ .2π ∫−∞Теперь обозначим :G(x, ξ, t) =∞12 2e −a λ t+iλ(x − ξ)dλ .2π ∫−∞И используя интеграл :∞∫−∞e−α 2 λ 2+iλβdλ =παe2β− 4α2получим:317,G(x, ξ, t) =12a πtex−ξ− ( 4a2 t)2.Функция G(x, ξ, t) называется фундаментальным решением уравнениятеплопроводности на бесконечной прямой.Таким образом, решение поставленной нами задачи представимо вследующем виде:t ∞u(x, t) =∫ ∫G(x, ξ, t − τ)f (ξ, τ)dξdτ +0 −∞∞∫G(x, ξ, t)φ(ξ)dξ .−∞Следует отметить, что в силу линейности нашей исходной задачи,записанное нами решение представляет сумму двух задач.Функция :t ∞u(x, t) =∫ ∫G(x, ξ, t − τ)f (ξ, τ)dξdτ - решение начальной задачи для0 −∞неоднородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием(φ(x) ≡ 0) ,∞u(x, t) =∫G(x, ξ, t)φ(ξ)dξ - решение задачи для однородного уравнения−∞теплопроводности ( f (x, t) ≡ 0) с неоднородным начальным условием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
