Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Л 99. Магнитный вектор Герца П = (О, О, П) определяется следующим образом: над землей оая По = + )1 1ло(Л) эо(Лг) е "'=ИЛ (» > О), а в земле По = — + /ДЛ) эо(Лг) е"» НЛ (» ( О), й а где (а(Л) = — ' "' да да+ Р 1ео = )1(Лз — коз ((Л) л л-д и и+до и= хгЛ»-Р. Ответы, указания и решении Выражения для Пв и П можно записать иначе: П =~ ' )е'"'еЛе(Л при з>О,. т 23в(Лт\ и+ рв в П=~ ' 'ел'ЛдЛ при я<0.
г 2Ув(Лт) и+ ле в В случае идеально проводяшей земли к = оо, р = оо и П = = Пе = О. Пействие магнитной антенны компенсируется вихревыми токами, возникающими в земле. Указание. См. задачи 95 и 98. 100. Если антенна направлена вдоль оси х, то в соответствии с задачей 96 вектор Герца П = (П„ О, П.), где Пв,=~, е "' Лс~Л при е>0, Г 23в(Лт) яее Пя = — в /, е"'ЛИЛ пРи х < О, йо "23в(Лт) р в Р Пв =2(й~ — Ле)созЗз/ ) е РееЛ'т(Л, в П- = — (Й вЂ” й )соева ' ' е"~Л дЛ вЂ” О / ~уде, о я>0, я<0, о де де ка Отсюда видно, что функции Пв, и —, П, совпадают с выражениями "в для Пв и П в решении предыдущей задачи 99. др Пля функции Пе = — имеем дх дтв т'в дт Рв — — Е, Пе,+ =П + —" — при я=О. де тез дя Полагая Ро = /,(о(Л) ув(Лт) е ""= сХЛ (з > 0), в Р = /2"(Л),7о(Лт) е"= сХЛ (х < О) в где ,Лт' = Р + Ро, ,У = Лало + ИеР, д = ъ'Л~ — кл, Ро = Л/Лз — Аз, Указание.
Функция П, определяется уравнением еЛи+ Й и = 0 и граничными условиями Гл. Ъ'11. Уравнения эллиптического типа и пользуясь уже найденными выражениями для По и П,„получаем Ь(Л) = У(Л) = '("'„-", )'. Функция П, вычисляется по формуле дро дро Ц др По = — = сазов —, П- = — о соз~р —. дх дг. ' кг дг' 101. Используем все обозначения задачи 97. В этом случае поля .Е и Н выражаются через магнитныйвектор Герца П = (О, Пр, П ), где По„= ( — Ю~(Лг)е ""Лс1Л при г > О, Г 2яо о Пр — — / — ~,го(Лг)е"еЛг1Л пРи г < О, о По = 2(й~ — Ло~) згпог / о е Р" Л е1Л при г > О, о Пе = 2(кз — ко~) згпос~ о еплЛ дЛ пРи г < О.
о Значения гЛси Х' даны в ответе к задаче 100. 102. Поляризационный потенциал П = (О, О, П, = П) определяет компоненты электромагнитного поля с помощью формул К = вегас(е)гоП+ й П, Н = — г'кго'еИ. Пля потенциала Пг при я>а, П= Пг при 0 < г < а получаем Пг — Пз перв + Пг втор Пг — Пг перв + Пг втор ~ где Пг = /эо(Лг) е Рг о Пг„,„— — /~г(Л)эо(Лг) е Рг~е~" о Пгпе1гв = /элг(Л)ого(Лг) еа~~ о П,..., = ~у,(Л)Л,(Л ).;"'в"' Л"Л, рг — = Л~Лг — й' Используя граничные условия дп, дп, йгПг = йгПз, — = — при г = а, дг дг Ответы, указания и решения ап, а также — = О при я = О, находим аг г г Ьгрг И)р 1'Ъ Ига йгпг г'- йггдг 1Ь Рва, Л~л) =Ь(л) = р~йг1зЬрги+ ргЦ с1г лги 103.
Пусть 1 = 1аг'1в)е ' ' 111в) ) 1) сила тока в прямоли- нейном проводнике — 1 ( в ( 1 длиной 2й Цилиндрическая система координат выбрана так, что линейный ток направлен вдоль оси з и симметричен относительно начала координат. Вектор Герца П = = 10, О, П) определяется формулой Пгр ~ 3) 1а ~па)р ~ се,г Ц) ггс) Ц между точками )М(р, уг), г) и вн где П" = , Л расстояние й )МаЫ р) С) Е = рае1е11аП+ йгП, Сопротивление излучения равно Н = — гкгогП. в= '))а~г" ~г'г~е,-аг' ), если 11 — г) =Я) =О. Н, 21 ср в = ' Д' "" — ) "" г ) а а Указание. Нормировка П получается из условия вблизи тока. Входное сопротивление линейного тока определяется следующей формулой метода наведенных э.д.сл Л = — — /Е;(Ма, Ма', з)йз) 4з 1 1а Подставляя сюда вместо Е, выражение и интегрируя по частям, получим приведенное выше выражение для Л.
104. Если диполь полуволновой, то 1 = 1а~(з) при — ) < г < ), где ш 11з) = соз йе, Й = —, е П = 1 ~П '1М, М„, — О) Кг',е1~, входное сопротивление полуволнового диполя Гл. Ъ'1й У1гавиеиин эллиптического типа Активная составляющая входного сопротивления или сопротивление излучения г 1 )'1 — саво „ с,/ и о Реактивная составляющая или реактанц 1 гв1во „ с о о Решение. Лля вычисления Е используется Е, =, + к П, дгП г где Ц г П о ~ М М о я з ) г г з ) Ц з — гсй,/ ~ дгг — ! дгПо дгПо Учитывая, что — = —, и интегрируя в дальнейшем по частям, дг' дсг ' получим в [и,м.,о= —" ,(1пзм, м.;* — гягзо-~г'гагге-~ + По(М, Мо, .1+ г)1'( — 1) — П'(М., Мо, 1 — г)1'Я Это возможно, если 1" (я) кусочно непрерывна. Лля полуволнового диполя )м(я) + к~у = О, 11т1) = О, 1'( — 1) = — 1'(Х) = к.
Поэтому Е,~М, М,; ) = — "' (По(М, М,,1+ ) + По(М, М,;1 — г)). Подстановка этого значения Е, в формулу 1 г Е = — — ~ Е= (Мо, Мо', я) 1Ы сЬ 1о дает Л = — — ~П (Мо, Мо',1+ я) Пг) с1г, где вп-~- ) ПогМ М, 1+ 1 в- г Полагая 1+ я = о, после несложных преобразований получаем приведенную выше формулу для Л. В частности, в практической системе единиц в=гоД' ""г — )""'г) 666 Ответы, указания и решении 105. Пусть ось я совпадает с осью волновода, .а диполь находится в плоскости я = ( в точке Мо и направлен параллельно оси я. Поле определяется одной лишь я-компонентой электрического вектора П=(О,О,П), где П = —. П (М, Мо, 'я — О, ро = 1о1 — момент диполя, 4иро о — 11ос М и Мо — точки в плоскости перпендикулярного сечения, По(М М, — ~) т;- ~-(мй.(мо) е-..~е-с~ (,) 2р, и=1 р„= ~'˄— Р, )о = ое/с, Ли -- собственное значение, а ф„-- норми- рованные собственные функции краевой задачи Ьзфи+Л фи=О в Я, Я поперечное сечение волновода., С вЂ” граница области Я.
Сопротивление излучения Гг~ 1 = !пп —, 11 — 1ЕН") еЬ е-'~"~ Го' у у 4и я „. -~- е равно м1 4и 1' Л„42(мо) 1о 2 ~/И вЂ” Л„ и=1 где Я вЂ” — максимальное число бегущих волн в волноводе, так что л, <а', л „>й'. Если диполь находится на оси круглого волновода радиуса а,то =з уи( аойо где рт — корень уравнения ,7о(р) = О. 4иро о Указание. Формула П = — П следует из общей формулы — 11ос для П, приведенной в ответе к зада ее 103. Функция источника По для волнового авнения УР ехи+й и = О в произвольной цилиндрической области с нулевыми граничными условиями была построена в задаче 45.
При вычислении В1') использована формула Н1е) = 1пп ',, Ц (Е,Н, *— Б„Н'з)е)те)у о) и первая формула Грина. ') См. (7, с. 528). Гл. г»11 У»авиеиин эллиптического типа 106. Для произвольного линейного тока 1 = 1оД(я) при — ( < э < 1 функция Герца П 4 1о 1~по(М, М.:,. — ~)~(~) (~, где По(М, Мо, н — (), дается формулой (Ц ответа задачи 105. Мощность излучения И'е = 1огггг'г, где г 2 гом = —" г. "*',*„' '»(»)/т - „Его) + »)1 ти1 -.Его~ ), о=1 — » эс»» = г»гйг: Л„. В общем случае для полуволнового диполя в волноводе произвольного сечения Я получаются формулы 4к ~ Ф„(Мо)(1+ сов»»»»г1 — уг) 4г. ~ Фг (Мо) г1пгг згг1 — уг 4»г к»гг(Мо)(1-е е ' з»Ч — 1) с »» = гг-~- г »ь7 гйфп+Лпф = 0 в Я, ф»п = О на С, ') ч»„с(Я = 1» 'уп = —, С-- граница Я, у < 1, у, > 1.
См. задачи 45 и 103. 107. Пля полуволнового диполя, лежащего на оси круглого волновода, имеем: активная часть входного сопротивления гг реактанц ггпк Д тг 4 1 е — /тг 1 ' ~ 1~0 )дг ъ'1 — тг. ' ~ У~(д )дггмчгтг.— 1 где у, = †"', 1» корень уравнения ,Уо(1г) = О, а радиус 2 Р» агйг' волновода. 108. Пусть Я (О < и < а, О < д < Ь) сечение волновода.
а) Бесконечно малый диполь ориентирован вдоль оси р и находится в точке Мо(е(, уо). Сопротивление излучения этого диполя дается формулой бб8 Ответы, указания и решения г 1г [Ой... т=1 а=1 т=о п=о где 4 . пгп . птг фп(М) = г(г и,(х, У) = 1( — зш — хсйп — У, 1(аЬ а Ь г(г„'1М) = ф „1х, у) = Л( — соз — х соз — у гу = Ъ аЬ а Ь [ г ) 2, з т- О ) ' /„г г', [ аг Ьг) / г 1 = 1о сйп й(у — уг). Сопротивление излучения равно г ккт г кп ( к ) г г"гг д1а) "ь ' ' е" а Ь ~ 2Ь~ 2ЬЬ 8,, 2 з!в — асов — уг + — ~ соз— пг=г п=о Р „[йг — ( — ) (Л „ < йг) где Лта — я —, + —, в=О, п ~ О.
Верхние пределы суммирования находятся из условия Л„,„< к~. гети = 1е Лтп~ зета = й Лтп ° г — г Пределы г1' и гг", Хг и Х' таковы, что Лмв, Лег,к наибольшие 1 собственные значения., при которых ге,пп и хтн вещественны. В наиболее интересном для практики случае волны Нго имеем Фго = О, г(до(х, У) = 1( — соз — х: Лго = ) — ) \/ОЬ а а и для В~"~ получаем формулу Слэтера г к 1г Г 'и -1 "',(:Й7 1формулы (1) и (2) даны в практической системе единиц). б) Пусть полуволновой диполь ориентирован вдоль оси у, а его концы находятся в точках Мгрг, гуг) и Мг1е1, уг), причем уг — гуг = Л к = — = —.
Распределение тока в диполе дается формулой 2 Ь ПОПОЛНЕНИЕ 1. Различные ортогональные системы координат Пусть х, у, 2 декартовы координаты некоторой точки, а 21, хз, хз криволинейные ортогональные координаты этой точки. Квадрат элемента длины выражается формулой + 1~у + Аз 61~~х1 + 62дх2 + Мхз' где (з = 1, 2, 3) метрические коэффициенты, или коэффициенты Лама. Ортогональная координатная систома полностью характеризуется тремя метрическими коэффициентами 61, 62, Ьз. Приведем общее выражение для операторов 3гаг1, 111н, го1 и оператора Лапласа 21 в ортогональной криволинейной системе координат: з х 1 ди 3гаг1 и = зз — — з„ д Ь,д, 1=-1 1 Г д д д 111гя А = Ь Ь ~ (6262А1) + (6261А2) + д (6162Аз)~ Ьг6261 1дхг дхг дхз Ьгз, д дхг 61А1 6222 6323 д д дхз дхз 62А2 ЬзАз гогА = 1 ЬП1262 626262 1дхг ( Ьг дхг) дхз ( Ьз дхз) дхз ( Ьз дхзУ1 1.
Прямоугольные координаты. 61=1, 62=1, Ьз=1 дА дА„ дА, 111гяА = — *+ —" + — ', дх ду д. ' Х1 Х~ Х2 У~ ХЗ ди . ди . ди ига11и = — з+ — з + — Й дх ду дз где 21, 22, зз единичные базисные векторы, А = (Аг, Аз, Аз) произвольный вектор, и — скаляр, А, = Аз(хг, хз, хз), з = 1, 2, 3, и = и(хг, хз, хз). Дополнение дА, дА„ гоФА = Ьи = и„+ и„„+ ие,, где в, з и й — — направляющие единичные векторы осей т, р, з. 2. Цилиндрические координаты.
хз=т, Уз=у хз=з связаны с прямоугольными координатами уравнениями т = тсояу, у = тюпу, Координатные поверхности: т = сопев цилиндры, у = сопев плоскости, з = сопя1 --плоскости. Метрические коэффициенты равны йз =1, йз =1, так что ди 1 ди . агае1'и = — вз + — — зз + д. ° ду 1 д 1 ОАз с11чА = — — (тАз) +— т дт т дд ди . — зз, дз (1а~. е~.). Оп, ер,) . ~~ а, ~ 1ам,~. 3. Сферические координаты. тз — — т, тз=д, те=у связаны с прямоугольными координатами формулами т = тяшд соя у, д = тв1пд вшу, .з = тсовд. Координатные поверхности: концентрические сферы т = сопяя, плоскости у = сопв1, конусы д = сопвц Мстрические коэффициенты равны пз = 1, вз = т, Ьз = т яш В, так что ди .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
