Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 96
Текст из файла (страница 96)
ил г)г„(М) = фт (х, у) = е1 — з1п — хв1п — у, 'у' аЬ а Ь уы(М) = гЬп (х, у) = Г"' " соз — хсоэ — "у, ч аЬ а Ь ее=2, йт'-О,. ее=1. б) Пля круглого сечения радиуса а имеем ьо з ( гз)соз "'гФГ ' """-" "" Га. Ъ ЬЬ Уравиеиин эаниптииеекага типа 647 (и) [Р 1 -ОО где рт --- корень уравнения ап(р) = О, Л,л = , рт -- корень аг уравнения ~1,(р) = О. Приведенные выше функции ф „и ф „нормированы к единице.
Указание. Функции П и П удовлетворяют волновому уравнению г1и+ к~и = О и следующим граничным условиям; П=О на Е; — =О при г=Н, дП дг дП вЂ” =О на Е; П=О при г=Н. дп При вычислении энергии во всем объеме следует воспользоваться формулой Грина (см. ~7, с. 538. 542)). 82. Пусть тороид ограничен поверхностями р = и и р = Ь и плоскостями г = — 1 и г = й Если можно трактовать как «отрезок» коаксиала длиной 21, рассмотренного в задаче 79.
Пля поляризационных потенциалов П и П остаются в силе формулы, полученные при решении задачи 81, а для собственных функций поперечного сечения угп и уг„следует взять выражения, приведенные в ответе к задаче 79, соз п р ° - соз пу» ф, (р, Ф =П.ь (р);;„и;,, фт,»(р,Ю) =77 „.ер)„.п„, где 77, М) = д М~'р) ~~ Ъ'„,''а) — У.(рй'а) 74.ЬР'и), Й„, а(р) = Хп91~" р) Х„91~" а) — Я„Ц~ "~а) твида ~р), рт и рп, определяются соответственно из уравнений ОО ЦЩ 77,„,„(Ь) = О, Л,'„„(Ь) = О. Собственные частоты колебаний равны ...= увту ( —;;)' '...=е,ЯТ (=„)г Указание.
См. задачу 81. 83. Лиябракпия на цилиндре. Ось цилиндра направлена по оси г; плоская волна распространяется вдоль оси т, вектор напряженности электрического поля в падающей волне направлен параллельно оси провода. Обозначим вы рг, аз параметры провода, ег = 1, рз = 1., аз = О - — параметры среды, 11 и Ьз соответствующие волновые числа, причем е1аа~ 4- 14ла1аа ег Зависимость от времени типа е Только г-компонента вектора Е отлична от нуля; Е=(О,О,Е), 648 Ответы, указания и решении через нее выражаются Нр и Нсп гс 1 дЕ гс дЕ Н = — — — — ', Н = — —, Н,=О.
р ар' ' р ар' Для Е = Е(р, уг) получаем ем" + ~ а Н~~)(йгр)ег~'"' при р > а, Е ге= — гс ~ Ь Юн 1йгР) * ' при р(а, т= — сс где а радиус провода, —,у„',(йга) р' (йга) — йети дсга) ут(йга) а т й —,7„',(йга) Н~„1Я а) — йгНес,'~ (йга) р, (йга) 1гг .т У ссйга) Н ~гсйга) ут(йга),7т(йга) Если провод идеально проводящий, то 1 (йга) а„, = — г ',"„, йн, = О. Н (йга) У к а з а н и е. Требуется найти решение уравнения сзЕсц + йгЕОО = О при г < а, гзЕс~) + й~Ес~) = О при г > а причем Е~ ) = Ее+и = е*""+ и удовлетворяющее на поверхности провода р = а условиям непрерывности Ес и Н„, что дает 1 десп де~с~ Есю = Е1г), — = при р = а.
Р1 др др Кроме того, функция и должна удовлетворять на бесконечности условию излучения lди 1пп зггр1 — — гйги = О. '1,ар Решение ищется в виде (1). Коэффициенты ат и и вычисляются из условий при р = а, причем должно быть использовано разложение е'~гг в ряд: Иге сягрсоер н ~ т г си ) Епр и=: — сс Если провод идеально проводящий, то йг = оо и граничные условия сводятся к одному; Е1г1 = е'"'"сс'и+ и = О при р = а.
649 Гл. ЪЕЕ. Уравнения эллиптического типа Поэтому для а получается выражение ,1 (ага) а = — в"' ЕЕ~ ~(1сэа) 84. Лид)ракиия но, иде лоно проеодяивеи тиаре. Плоская волна распространяется по направлению полярной оси г сферической системы координат т, д, вр, электрическое поле поляризовано по направлению оси и, а магнитное поле по направлению оси у: КО НО Мв твь са'В ~ (2 + 1) 'пл (ь ) Р (соьд) а=о 1 дЕЕ, гйдЕЕ -дтдВ' ' . дВ' д ЕЕ' + аьзЕЕв Н 1 д ЕЕ' Н вй дУ дтэ в. дтдЕЕ' т до ' где ЕЕ' = то. ЕЕ =ти, Н ЕЕ' Функции и = — и о = — находятся из волновых уравнений т Ьи+ В~и = 0 и в'во+ ь о = 0 и граничных условий д — (ти) =О, О=О при т=а, д которые являются следствием равенств ив= — =О, Ь', = — — — (то) =0 при т=а.
1д(ти), эй д т дтдв ' и т дВ Пля того чтобы решить задачув надо, прежде всего, найти потенциалы ио и оо для падающей волны. Поскольку электромагнитное поле полностью определяется значениями Е, и Нтв то вычислим: ЕО дл ро 81пдсоз вьв савВ сов э» д еввссавВ дт в1ст дд (2п+1)в" "( ) РО)(созд)соз1о, вя з1п д з1п уве дт вот до (2п + 1)1" " РО1(соз 0) зш сэ, Йт где Рвц(соэд) = — — „Р„(соэд). С другой стороны, ео д (ввв ) (2 О НО д (то ) ьв,з( О) ббо Ответы, указания и решения Полагая и = ~ алле)ллл(йг) Е;~,"1сояВ) соя р, п=е ~~, ' и гл, (йг) Р1г) лсоя В) вп„р сравнивая оба выражения для ЕО и НО и учитывая уравнение п(п -Ь 1) лр получаем 2п+ 1 лп а„=Ьп = тл(п+ 1) й Будем теперь искать решение задачи в виде и(г, В, ~р) = ~ а„1лр '1йг) + о„~~С( йт)]Р~г11сов В) сов уг, п=е О(г, В, уг) = ~ а„яу„'1йг) + )г„1,';~л(йг)]Р~~1'1соя В) яш уг.
п=е ГРаничные УсловиЯ пРи г = а позволЯют опРеделить оп и 1гп: оп = —,"„, 'Я 1: ) = а 1хФ,(х)], флп(х) = )1 — Упя 7 1х), ге„(йа) )гп = — "~ ), Лй ~1х) = — ]хй~ ~(х)], й~ ~(х) =.л — Н~.) (х). 85. Лифрапдлля на проводящей сфере. Если система координат и падающая волна выбраны так же, как и в предыдущей задаче, то искомые потенциалы Боргнисаг) 17 = ги и У' = ги будут определяться выражениями ел„~~)„1йгг) + оп1,0)(йгг)]Р1г1(совВ) сояуг при г > а, п=в (воздух), при г<а, ~ А„ф„(йгг)РП1(сов В) соя уг а„1г)ллл1йгг) + )ЗпДл ~ 1йг г)]Р;, 1(соя В) я1п уг п=-О Впг)г Ягг)РР(соя В) я1п уг при г>а, при г< а, где — л)лп(йга)Ф (йга) — — леп(йга)йлп Яла) й' й,' 1лл 1!а о„= Ь ') См.
задачу 70. Гн. 'ггйб Уравнения эллиптического типа йгиг Йэиэ Р1е1 = )ггег д д — (1а2) = — (га1), дг дг д д (1 е2 ) — (1 е1 ) г дг дг при г=а. 3. Излучение электромагнитных волн. 86. Эпектригоеский диполь в неограниченном пространстве. Пусть р = рое " 1 момент диполя. Выберем сферическую систему координат г, 0,1р, в начале координат поместим диполь, а ось г направим вдоль вектора рв: тогда можно написать 1' 1 гй'1 Е„= 2 соя 0 ~ — — — ) Пв; '1 го и /1 гй Ев = яш0 ( —, — — — й ! По (гэ и 11 Н, = яй яш 0 (ь й — — ) По, и Е, =Н,=Но=О.
Здесь Пе --. составляющая вектора Герца, направленного вдоль оси гг М е — гэ1 По =ро — е 1 В волновой зоне (кг >> Ц с точностью до членов порядка —, и г 2 более высокого порядка малости Е = О Ев = Н = — йгягпдПо. Средний за период поток энергии 2йг 1' = 2кг~ ) — — ЕвН яш 0 110 = Ро / 4112 3 о Указание. См. [7, с. 451]. )4,(гу„()гга)2й (кги) — г)г„(ага)г',~ ~()гга)) п а„г 141 Ь йэ — г'й (к1а)Ф~(ф2а) гРп(к2а)~~ (к1а) аналогично записываются выражения для В„и ))„, йг -- волновое число шара, Й1 волновое число среды. Составляющие электрического и магнитного полей вычисляются по формулам (1) и (2) задачи 84.
Исключение составляют выражения для Еи и Н-: ион дН' Е ег дя' г)гэс 01г' Нг = — —. " мрг д0 Указание. Следует воспользоваться полученными при решении предыдущей задачи выражениями для потенциалов и и пв падающей волны. Граничные условия на поверхности шара имеют вид Ответы, указания и решения 87. Указание. Пусть диполь помещен в начале сферической системы координат г, В,уз, а его момент ре направлен вдоль оси я 1В = О). Тогда д' 1 д Е„= —, 1ти) + Йз1ги), Ев = — (гп), 1 д Е, = — ('ги) = О, Ф . дгдр Ня =лЙ вЂ”, ди Н„= О, ЕТв = О,. Ел где и =— решение уравнения Ь и -1- Йзи = О, причем /ди )шл т ( — — лйи) = О 1условие излучения). — лж 1дг Условие возбуждения можно взять в виде лЙ в1в  — Ро, при малых т или Не = — Рв" е при больших г. з вшВ г Это дает и=А~ЛЦ1Йг)созд, ~1П(Йг) = ' е (,Й 1) где где А = лЙ Рв; л)лп1х) лЕЕ2 Енл-1721х) ЯЛ 1Йа) Йайл 1Йа) ь ~, '1Йа) .О1 ) ,Гк ОО лрл1Йа) Йалй',1Йа) -~- Уллфа) " Е 2х атллз Составляющие поля вычисляются по формулам 11) задачи 87.
Указание. Задача отличается от предыдущей тем, что вместо условия излучения на бесконечности здесь появляется граничное д условие Ев = О или — 1ги) = О на поверхности сферы при г = а. дг Поэтому в решении должны содержаться две линейно независимые цилиндрические функции, например Н, и На л, лУ„ьлля О) 121 и Е„л лЕз, Н„ел~ и ЕльлЕз и т.д.
Мы выбираем функции Енелля 11) А = лЙзро Отсюда и следуют формулы задачи 86 для составляющих поля Е„, Ев, Н, . 88. Пусть диполь с моментом р = рве '"' направлен вдоль оси я координатной системы г, .В, уз, начало которой помещено в центре сферы радиуса а.
Функция и = и1г, В) определяется по формуле п1г, В) = (А~л1Йт) + Вл)лл(Йг)) Езл1соз В), Гл. 2218 Угавиеиин эллиптического типа и Н„. Постоянная А . та же, что и в предыдущей задаче, посто- % янная В выбирается из условия при т = а. 89. Если выбрать сферическую систему координат т, д, .сэ с началом в центре сферы и полярной осью д = О, направленной вдоль диполя, то можно написать: Ес = —, [ти) + к~[си), Ев =— Н,=О, Нв=ОГ Е =О, гс12 ди Н„=— д дВ причем 21221Ш -ь 241ГЦ1о1Ш 2 "1 = сг 2 еггггш + г4кгггогш 2 при т>а, при т<а.
Функция иг при т>а, и= иг при с<а определяется формулами иг = СГ',1 [йгт) соя д, Ж иг = грОЙгй, Ягт) + Вг)гг[йгт)< соя 0, где Гаиг) г 1 Гай1) г зг Гаи1) Шг Гаиг) В 22 1 йг [айг) Фг[айг) — 1)гг[айг) Х [айг) й.г'121 [а122) 421[айг) — 1)21[ада) Х ~[айг) РО ~2 гГааг) 421[айг) — гг11 ГО122) 81 Гааг) Й1221 грг[т) = — „[ач)21[а)<, я, [и) = — „[и~, [и)). 1 д~(ти) Е„ = †, [ти) + к [ти) ге 9 ди Н ггш дд ' 71Г ~Гака) При аг -в со С в О,  — г — ', т.
е. мы приходим к решению 4Г11акг) задачи 88. При а — ~ оо С вЂ” г О, В в О, и мы получаем решение задачи 8б о диполе в неограниченном пространство. 90. Введем сферическую систему координат т, д, ггг с началом в центре сферы и полярной осью, направленной вдоль диполя. Как и в предыдущей задаче, Еи = Н„= Нв = О, Ответы, указания и решении где (иг и= иг из при г<а, при а<г<Ь, при г>О йг йоиг = — иг, г и при <игг) = — <игг) д д йг — „иг = йоиз, г — (гиг) = — (гиз) д д г=а при О выборе выражений для иг, иг, из см.
предыдущие задачи. 91. Решение. Введем сферическую систему координат с началом в центре сферы, диполь находится в точке г = г', Поле не зависит от угла уг и определяется через скалярный циал и(г, В): Ве =, <ги) + й (ги), Ев = а дВ г . 1 дг(гн) дгг г дгдВ ' Н,=О, Нв=О, г', В, ер В = О. потен- В =О, гсй ди Н ав Функция иг при с<а, и= иг при г>а удовлетворяет волновому уравнению гзи + йги = О, где йг— г г г йо = , сг Ерог + г4карш сг при с<а, при г>а. определяются выражениями иг = гройог Кг~ ~ (йог) + Агйг(йог)) сов В, иг = <Ве)гг(йг) + СС, <йг)) сов д, из = 1гКг <йог) соя д. (г) Коэффициенты А, В, С, Р находятся из решения системы следующих четырех уравнений: гройооКг~ ~(айо) + Афг(айо)) = — !Вг)гг(ай) + С~г ~(ай)), "о ге Нег ~<йоб) = —, <Вфг<йб) + С~г ~<йд)), ор грей~<Хо' ВЯйоа) + Афг<йоа)< = Вфг<йа) + СЯг~ ~(йа), Пг,"(йоЬ) = Вф,<йй) + С4" <йй).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
