Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 99
Текст из файла (страница 99)
1 ди . 1 ди . ягае1 и = — вз + — — зз + . — вз. дт т дд тюпВ ду Йч А = —, — (т Аз) + — (в1пдАз) + , 2 1 дАз тз д. тв1пВ дд тяшВ ду ' з д дт А, й д д ди дз А„ А„ 671 Дополнение гав А = ~ — (в1пВАз) — ~ 22+ 1 ~д . дА21. тв1пВ ~дВ двг 1 ~ 1 дА2 д 1. 11д дА21. + — ~ . — — 2ттАз)~ вг + — ~ — (тАг) — ] вз, т ~в1пВ дуг дт ] т ~дт дВ 1 1 д (гдгг) 1 д 7. дп) 1 дг. гги = — — ~т — ~ +, — ~вш — ~ + тг дт 1 деl топйпВ дВ 1 дВ/ тгвшгВ двое 4. Эллиптические координаты.
тг Р~ определяются с помощью формул преобразования *= ге, 2=' ДР— Пз-еч, где с масштабный множитель. Метрические коэффициенты равны Лг 2 Л2 2 йг = с~1 , йг = с~( ., Ьз = 1. =.4 Л -1 = 2')/ 1-Лг Координатные поверхности: Л = сопв1, — — цилиндры эллиптического сечения с фокусами в точках т = ~с, у = О, 12 = сопв1 семейство конфокальных гиперболических цилиндров, г = сопв1-- плоскости. 5. Параболические координаты.
Если т, В полярные ко- ординаты точки на плоскости, то параболические координаты могут быть введены с помощью формул т — . В т — В лг = Л = 222твш —, тг = р = ъ'2тсов —, яз = г. 2' 2' Координатные поверхности Л = сопв1 и р = сопв1представля- ют собой пересекающиеся параболические цилиндры с образующими, параллельными оси з. Связь с декартовыми координатами дают формулы и= — (12~ — Л ), у =Лр, Метрические коэффициенты 121 ~2 Ъ~Л + 22: йз 6.
Эллипсоидальные координаты. Вводятся с помощью уравнений (а > д > с). 2 „г 2 +, +, = 1 (Л > — сг) (уравнение эллипсоида), г 2 2 +,'~ + = 1 1-сг > 12 > -дг) 02-В о. 62+12 ег+12 1уравнение однополостного гиперболоида), 672 Нопоппепие +, =1 ( — Ьэ>и> — ая) аэ-Ьп Ьз+и сэ+п (уравнение двухполостного гиперболоида).
Каждой точке (я, р, з) соответствует только одна система значе- нийЛ,д, и. Параметры т1 —— Л, тз =д, тз — — и и называются эллипсоидальными координатами. Координаты и, р, з выражаются явно через Л, р, кс Коэффициенты Ламэ равны ) 1 (Л вЂ” и)(Л вЂ” и) 5 1 Ь вЂ” РКд — Л) 2 Нз(Л) ' 2 Нз(д) < -ЛК -д) 2 Нэ(и) где Н(з) = (з=Л,р,и). Оператор Лапласа можно представить в виде +5.-чзэс,— "„(пы'— ,,"):-п-.~и»к (п()йЯ Частное решение уравнения Лапласа, зависящее только от Л, У = У(Л) дается формулой где А и В .—.
произвольные постоянные. 7. Вырожденные эллипсоидальные координаты. а) Вырожденные эллипсоидальные координаты (н,Д, ф для вытянутого эллипсоида вращения определяются при помощи формул и = сзшДсозЭз, р = сзшаз1п~3з1пу, я = ссЬасоз)3, где с — масштабный множитель, О < а < оо, О < Д < я, — я < у < я.
Координатные поверхности: вытянутые эллипсоиды вращения а = = сопз1, двухполостные гиперболоиды вращения Д = сопят и плоскости ~р = сопза Дополнение Квадрат линейного элемента дается выражением егз =с 1зЬ'а+яп Я1е1о +ор )+с зЬ ояп Де1р~, откуда для метрических коэффициентов получаются значения 61 = 62 = с зЬ а+ з!и А Ьг + Ьо = сяЬоз1п13. Уравнение Лапласа имеет вид (з1, ), /'я1„д 1 1 д 1' ди'1 1 д / . ди) сг1зЬг а 4-япгд) '1зЬо до 1, да/ з1пд д~З 1, дд / 1 1 ) дги1 яЬ' о яп 1З / дггг 1 б) Система вырожденных эллипсоидальных координат 1а, 8,1о) для сплюснутого эллипсоида вращения определяется с помощью равенств я = ссЬаяш/Зсоя р, р = ссЬаяш1Зя1пу, г = сяЬосозр, О < а < оо, О < /З < я, -я < р < я. Координатные поверхности; сплюснутые эллипсоиды вращения а = сопзФ, однополостные гиперболоиды вращения /З = сопзг и плоскости ~р = сог1з1, проходящие через ось г.
Квадрат линейного элемента и оператор Лапласа в рассматриваемой системе координат имеют вид еЗя = с 1сЬ а — яш /З)1еЗа +енг ) + с сЬ ая1п,9еар, 1 1 д ( ди1 1 д (е диз) гЬи г ~ (сЬ а 1 + ) я 1п /З ) + сг(сЬго — япгд) ~сЬо да 1 до/ яп,9 дд 1, дд,/ 8. Тороидальные координаты. Система тороидальных координат 1а, /З, Зг) определяется при помощи формул сзЬосояго сяЬоя1пгг сяпд Х=, Д= сЬо — соя 11 сЬо — соз1З сЬо — соя,З ' где с — масштабный множитель, .О ( а < со, — я < 1З ( я, .— я < < 1о ( Я. Координатные поверхности суть торы а = сопя1 2 ер — сс1Ьо)г+гг ( с ) 1р /гг+рг) сферы /З = сопя1 1г — сс181З) + р плоскости ~р = сопяй 43 Б.М. пудики др. Дополнение Квадрат линейного элемента в тороидальной системе координат имеет вид 2 »Ф» + »сЬ а — сов53)2 метрические коэффициенты равны 6.=6,= ', 6,.= сйа — сов33' и сЬа — совд' и оператор Лапласа дается следующим выражением; д ( вЬа доз) д ( вЬа дв») да» ей а — совд да/ дд» сЬа — сов,3 д53/ 1 д и + 1с1 — сов33) в др ' Удобно вводить вместо и новую функцию о с помощью соотношения =~/21 — 2 »- при этом уравнение»зи = О приводится к уравнению 1 1 Паа+ОЗД+Псе»ЬС1+ 4Е+ 2 ОИФ вьв * 9.
Биполярные координаты. а) Биподярные координаты на плоскости. Переменные д1=а, т2=53, из=в называются биподярными координатами, если имеют место равенства овЬа овш53 и = Я = сЬ а — сов д сЬа — сов;3 Метрические коэффициенты равны 61 — 62 — 63 — 1. сЬ а — сов,З ' б) Бисферические координаты т»=а, яг=)3, из=32 определяются при помо»ци формул свй» а сов 3» св1п а вш 35 свЬ53 Х сЬд — сова' сЬд — сова' сйд — сова' где с — — постоянный множитель, О < а < 33, — со < /3 < оо, — и < < 3» < 11.
Эти формулы можно представить в компактной форме з + вр = с» ссй, ' (р» = »/тз + 92). а -ь »д 2 Координатные поверхности суть: веретенообразные поверхности вращения а = сопвФ 2 1р — сссба) +г = ( — ) 675 Яово»»некие сферы 12 = сопвФ 2 р + (2 — ссцЬД' = ) з,вЬд) откуда следует сяво лз = сЬд — созе Ьг — Ьг— сЬд — сова' и уравнение Лапласа принимает вид д ( вша ди ) д ( вше дп») до ) сЬд — сове до( дд 1 сЬД вЂ” сова дд / япо(сЬд — сова) д»рг При решении уравнения Лапласа удобна подстановка '2»е — 2 Тогда для функции е получается уравнение 1 1 е +ьзз+п сзяа — — и+ е.
=О. вшг о 10. Сфероидальные координаты. а) Вытянутые сфероидальные координаты .,=Л,=р, хз= р» =с»е, »= е1»'-цз-~ц ° е, *=,Лл'-»ц» — ец Л)1, — 1<р<1, О<»р<2я» Лг — рг г Л'— »,= у, ", »,=,у ",, »,= ~(» -цр-„>. ~/ Л вЂ” 1' ' ~I 1-рг ' б) Сплюснутые сферондальные координаты я»=Л, тг=л, яз=цг, е, »=.Д» -ц~Г-е'» Поверхности Л = сопзз сплюснутые сфероиды» 4» = сопз1 однополостные гиперболоиды. Метрические коэффициенты )Л'- г' 61 = с»1 ))' Л' — 1' 112 = с»1,, Ьз = сЛр. ,»Лг г Ч 43* плоскости р = сопва Выражение для квадрата линейного элемента,в пространственных биполярных координатах имеет вид ,г Йз~ =,, [его -~-еяг +яп ась ), (сЬ д — сов а) г Дополнение 11. Параболоидные координаты. Переменные хс Л~ хз сп хз 'Р определяемые соотношениями 1 х = Лд соя Зз, у = Лсс я1п ср, з = — [Лз — дз), называются параболоидными координатами.
Метрические коэффициенты равны Ьс — — Ьз = ~/Л + Р~, Ьз = Л1с. Координатные поверхности Л = солях, р = сопяс являются параболами вращения вокруг оси симметрии Ох. П. Некоторые формулы векторного анализа Обозначения: а . — векторная функция, и . скалярная функция. [[аЬ]с] = [ас)Ь вЂ” [Ьс)а, [а[Ьс]] = Ь[ас) — с[аЬ), у,гас1[ии) = и ягас1и + и ягас1 и, с1ггя[иа) = аягас1 и + и Йга, гог[иа) = [аягас1и]+ иго1а, йн [аЬ] = Ь го$ а — а гоа Ь, гессена = рас1с1гяа — сЛа, ягас1[аЬ) = айнЬ+ Ьс1гяа+ [агосЬ] + [Ьгоса], гоз[аЬ] = айгЬ вЂ” Ьс)гяа+ [Ьсу)а — [аЧ)6., где [6 с')а = Ьх — + Ья — + 6.
—. дх Я ду дх 111. Специальные функции 1. Тригонометрические функции. соек=1 — — з + — х —...= — (е +е ) =с6[сх), з 1 4 1 и 2! 4! 2 3 1 я 1 м япх = х — — з + — зя —... = — [е" — е ' ) = — сап[их), Зс 5! 2с соя[х + у) = соя х соя у — яш х яп у, яш [х + у) = яп х соя у + соя х яш у, 1 1 соя х соя у = — соя[х + у) + — соя[х — у), 2 2 1 1 яп х яп у = — — соя[х + у) + — соя [х — у). 2 2 ЯОВОоноиио 2. Гиперболические функции. сЬз = 1+ — з + — з +...
= — (е + е =) = сов(гз), 2 1 4 2! 4! 2 яЬг = г+ — з + — хе+... = — (е — е ) = — гв1п(гз), 3! 5! 2 сЬгз — яЬ'г = 1, сЬ(х -~- у) = сЬхсЬу+ яЬхяЬу, яЬ(т+ у) = яЬхсЬу+ сЬхяЬу. 3. Интеграл ошибок. Ф(г) = — /е '" да. о Разложение в ряд при малых з 1 гз го Ф(г) = — (г — — + — —... огя (, 1!3 2!5 Асимптотическое разложение при больших з Ф(з) = 1 — — (1 — — + — +... 1 е ' / 1 3 4 4.5.6 ~ г (2г)4 (2 )о В таблице 1 даны значения Ф(х) для 0 < х < 2, 3.
4. Гамма-функции. Г(з) = ~с '1' 'й (Бег > 0), Г(я+1) = зГ(г), о Г(п+1) = п.Ь Г(1) = 1, Г ( — ) = огя, Г(.)Г(1 —,) =, Г(2е) =' Г(,)Г(.+'), Г(я) 4 ъ''2яг' а~ге для я >> 1. Бэта-функция 1 Г(*) Г(у) Г(х -~- у) о ,' г = 2 (' в1пгг г угсояг" г уйр (Кех > О, Веу > 0). о Дополнение 5. Эллиптические функции. ох ,, о - с во — «" ") 1 =оп (х, Й), = саад 1х, Й), =сп (ж, Й), = оп (х., Й), 1 4х Π— ')Π— 1' О' к'= / й = вш а, Й = сова. 6.
Функции Бесселя. 1 .1».(в) = р ~~о ° ого+ +о 1~ ""!' %'(" 1)!' а=о 1це в > О), и — в [21 (-') +т — ~( +1)~,1„( ) — 1 ~ ~" -- ~~-о- „„~~~(,-+, )~, Х„(в) =— где ф(п) = —, ГО и) Г(п) ' Хо(в) — 1 — (1п в — 0,11593), и = О, 2 г-.~о к Я„(в) — 1 ' Н, п=1,2,3, ..., н,„Я вЂ” 1 11 — вш ~в — — я(л+ — )) (В.ег > О), /2 . 1 1 679 Яоволнение Я и(я) = ( — 1)",7п(х), М вЂ” п(я) = ( — 1)" Жп(х), ,7п(я) %„'(х) — Л„'(и) Ми(х) = Ь(1в, Мп) = —., %в,(х) 1„(я) — М„(х) 1„г(х) = Ь(У,„, Х„) =— (определитель Вронского), е 'я "яг = ~~ 1„(х)е '"и и= — ао — г=мп -~-ш яп(х) = — (' е' ' "'"и~'"ийр (и -- целое число), 2х l Рекуррентные формулы 2п — г„( ) =г„,+г„„, или 2Я„',(х) = 7п г — Я„гг — [ "г„(х)) = "Я„„ Их " " ' Нх ~ х" ~ х" У~ = — Ум [хУг(х)[' = хне(х), яея(ох) хе(х = — х~ [яе(ах) + бах)), 2 / х~(ох) хат = — т, 1Е (ох) ит — ~(ох)~т--е(ох)).
К„(х) — + ' Н +..., л>О, 1 „(х) = 1п(х), К„(х) = К „(х), х Ке(х) — ~ — (1п — + С) +..., С = О, 5772... постоянная Эйлера. я — ~0 ~ 2 Здесь Я„(х) = А,1„(х) +В%„(х) любое решение уравнения Бесселя ( ы )~(! )~ Функции мнимого аргумента 1„(х) = ( —.),7„(гх) — ~ е, 1„(х) = ~~ (-',)'"" я=о К,(х) = — яз"" Х~ ~(гх) — >,~е *, 2 и .-~ос г 2х 680 Дополнение 1„(х)К„'(х) — 1„'(х)К„(х) = га(1„, К„) = - -, 1„(х)К„ 1(х) + 1„ ,(х)К„(х) = — г1(1„, К„) = — , 1„ г(х) — 1и.н (х) = — 1„(х)., 1„ (х) + 1„ ог(х) = 21„'(х), Некоторые интегралы е "1о(ЬЬ) — = — [Ъ'а~+ Ьг — а]", аЬ" о (2Ь)" Г (и -Е 1/2) Г (1/2) (аг -ь Ьг) ."Нг ' о е " Я (ЬЬ) е11 = ~ 1п о/ао + 1гг а о (а, Ь вещественны и положительны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
