Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Здесь приняты обозначения ° <.) = <*ф (.))', <" <.) = М" (*))' Указание. Потенциалы из, иг, из удовлетворяют уравнениям Ьив+й~~ив — — О <в=1,2,3), йг=йз=йо, йг=й, и граничным условиям Гл. Ъ 1й Уравнения эллиптипееноео типа На поверхности сферы г = а должны быть непрерывны тангенциальные составляющие вектора Е и вектора О, т. е.
Ев и Нг: йз диг й' диг 0 дд — 11 дд при т=а. — (тиг) = — (гиз), д д 12~ ~0и1 и2 2 И при г=а. е)~ел Функция ги, ) очевидно имеет в источнике особенность типа— ) й где В = т'2+т2 — 21т'соэд ((г, В, )р) точка наблюдения), т.е. Нол иг г' В о ос' вол Полагая иг — — йе+01, где йо = —,ио = —, (о -- нормирот' )иод вочный множитель, который будет определен ниже), получаем для 01 и из 22111+ 00201 = О при т (а, глиз+ а~из = О при г > а, д д д — (тиг) — — (ги2) = — — (1 ио), дг дг дт при г = а) (1) 2 пе(111 + иа) — )12 р /диг 1пп г 11 — гйиз) = О. — '1 дт Частные решения имеют вид 010 = (Ап)г))п(Мог) + А'„~~, ~ (гйот))Рп(СОЭ д), из„= (В„(О~(кг) + В„'г()п(кт))Рп(соеВ).
В силу ограниченности функции иг при г = О коэффициент А'„ = О; из условия излучения при г -+ оо следует, что В„' = О. Поэтому 01 (г, д) = ~ Ап)1)п(кот)Рп(соэ В), .=0 и2(1, В) = ~ Впо~ ~(1ет)Рп(соя д). (2) и=-0 Для определения коэффициентов Ап и Вп из граничных условий при г = а, используем разложения фундаментального решения ие в Эти условия будут выполнены, если потребовать, чтобы были д пег непрерывны — (ти) и — и: дг р Ответы, указания и решения ряд по полиномам Лежандра: алл~~~11йот)Рп(созо) при т > т', п=а иа = ьь лйоВ Ьпф,1йот)Рлл(соко) при т < т', п=а а„= (2н+ 1)фп(йот'), бп = (2н+ 1)~ОЧйот').
При т' -+ 0 должно выполняться условие Ол ио — э и = лройаЗ фат)Рл(созо) (рло — момент диполя). Учитывая, что первое слагаемое при тл = 0 в (3) следует отбросить, так как для него Н„= Ее = Ев = О, и замечая, что ап 0 при п>1, -~о т' — 0,5йа при н = 1, находим и = 21ройо. Подставляя в условия (1) при л = а выраже- ния (2) и (3) (при т = а > т').
получаем ,Запя~,'~(йоа) + А ллрп(йоа) = В„ЕО~(йа), йДап~~~~~ (йоа) + Ап4„айва)) = — Влл~~~~(йа), и йа (3) ~Р(р) = М'(р))' Ф (р) = [рф ЫГ. Отсюда находим Ап = ~, ~Р(йоа)йлл1(йа) — ~0~яви)ХО~(йа) Вп = ~4пяоа) Улла(йоа) — бйО(йоа)лрп(йоа)З п=а Ь = ф (йоа) ЯОл(йа) —,, ~О~(йа) Фп(йоа). "ор Если о — з сю (й — з со), то Вп = О, (йоа) Ф (йаа) и мы приходим к решению задачи о диполе, помещенном в точке лР, О,.
уз) внутри идеально проводящей сферы. 92. Вертикальная электрическая антпенна най сферической землей. Антенна (точечный диполь) помещена в точке Р = а+ 6 (6 > 0), д = 0 и ориентирована вдоль оси у = О. Момент диполя равен р = рое ™. Временной множитель е ' л мы всюду опускаем. О Лля потенциала и = — имеем: т внутри земли (т < а) ил = ~ Апфп(йт) Р„(сов о); Гл. Ъ 1й Уравнения эллиптического типа вне земли (т > а) год из =)3 — + ~ В„~О~(Мог) Рп(сов д) = 1Ьой п=е фа„+ В„) ~~, ~ (Ьо г) Р„(соз д) п=о 1Я) ф (Ког) + В ~~~~ (Ьог) Р (соя д) (г > г'), (г < г'); п=о где (Йоа)йп(йоа) — ф~(йоа) Я( (Ьоа) Йо и , РЬп йо — (яа)Ф„,(йа) — Яй'(Ка) й (йа) чз (Ьа)рп(йоа) — — о ~ (Ьоа) Ф (Ьа) кг еы — о ~~ ~(Ьоа)Ф (Иа) — Я~О(Ьоа)~ф„(йа) 14 = 1~ ап = (2п 4-1)Ьп()сот'), Ьп = (2п+1)Я~(йог'), )3 = 21ро1со а+Ь Если земля идеально проводящая, то Ап = О, Вп = — "( " ) ~ЗЬ„.
г2'(Ьоа) В результате иг = ио — ~ ~ДЬп " " " о Р (саед). гп'(Ьо ) из =О вне земли (г > а) 2Ро ~ (2п, + Ц Ч (Ьог) Р (СОЗ д) Здесь Сп обозначает выражение 1'о т ("а) ОО Сп: ~ г Ь (й ) го (Ьоа)' Указание. Необходимо в решении предыдущей задачи совершить предельный переход при 6 — ~ О. В процессе вычислений исполь- 42 Б.М. Будок в др.
См. задачу 91. 93. Вертикалонан электрическая антенна на сферической эелвле. Антенна помещена в точке г' = а, д = О на поверхности земли. Внутри земли (г < а) 2ройо ~~, ° (2п-~-1)ч (Ьоа) ,йп(Ь.)( '.П(Ь")-С-) " Ответы, указания и решения зовать выражение для вронскиана ~.(.К!" (ж) — б.'(.)ф. (*) = .— *,. Предельный переход при 6 -о О дает 1пп(а„~З+ В„) = —, к — го " " аг Π— у21~~оа) 4. Антенна на плоской земле. д'П дрдг' Е, =О., Н Н О Н ' й дп ог др ЬП+ 1егП = О, На поверхности земли при я = О кгП кгП дПо дП о где 2 г йг еш соответствует я > О (атмосфера), П, -ь $4каш соответствует г < О (земля) 0 =1). П, ег Момент диполЯ Р = Рое '"', Ро = 1; множитель е " 'г всюдУ опУщен.
95. Электромагнитное поле выражается через магнитный вектор Герца, у которого отлична от нуля лишь составляющая вдоль оси антенны Пг = П, поэтому Е- = О. В силу аксиальной симметрии Е„=О, Е, =г' — —, .ог дП др Н= —, Н,=О, дгП дрдг' Потенциал П удовлетворяет уравнению Н, = кгП+ —. дгП дг' ' г 1еог = —,, еш' -ь г4каш ЛП+ к~П = О, где к~ = при г >О, при г <О, и условиям сопряжения на поверхности земли дПо дП По =П, = — при я=О, дг дг 94. Вводится электрический вектор Герца П, направленный вдоль антенны.
В цилиндрической системе координат р, р, е имеем П =П, =О, Пе=П. Поскольку задача обладает аксиальной симметрией, Гл. УИ. Уравнении эллиптического типа причем в„а ~0 + Повтор» Л вп — + Петар В где Гг = 4гз+ 22. Первые члены в наших выражениях означают потенциал Герца дня дипопя в неограниченной среде с соответству- ющим волновым числом (й ипи йо), ПО, ор и П, ор — вторичное излучение.
96. ВвЕдЕм СиСтЕму кООрдинат Х, 9, Х,направив Оеь 2 пЕрпвнди- кулярно к поверхности земли, а ось х -- вдоль антенны, К = ягас1 гпнП+к~П, Н = — — гогП, П = (Пт, О, П,), где П и П- удовлетворяют волновому уравнению »сйэ дП, »ОИ' (дП дП, )»сйэ дП м дд ы '» де дх / о» ду Граничные условия при 2 = О (на поверхности земли) » 2П осз дПо* о».2 дП О О» = -. О ~2П ~2П дПО» + дПО» дП + дП» дх дх дх дх Обычно вместо П» вводится функция г': П дс' П 0» — д; » — »2 д Первое и последнее граничные условия дают: + д Р в П + й о Π—; От д — т 97. Пусть рамка с током помещена в плоскости и, 2, так что нор- маль к рамке направлена вдоль оси у. Векторы поля выражаются че- рез магнитный вектор Герца Е = 2 — го4 П, Н = к~П + игам йр П, с у вектора П отличны от нуля составляющие Пр и П», так что »о» ~ГОП, дПв )»ло дП» .
О» дПв Н 12П д дпв дп= '+д ~д„+ д ( 42* ббО Отвеигы, уиаваиих и уеиаеиия Граничные условия при х = 0 ТОПОР вв А~ПО, ОПОР дПР дПОР дПО дПР дП "+ '= "+ дх дх ' ду дх ду дх Если положить ду ' ду' то вместо первого и четвертого условий получается дРо дК к=К П + — =П+ —. дх " дх 98. Помещаем в антенну начало координат. Тогда над землей е'Ро По =,, — + /Хо(Л)ЛО(Лт)е 22тгг "о ойЛ (х > 0), о в земле 2вг е РЯ П =,, +/~(Л)У~(Л~)е~ ~ ~ 'иЛ (~ < 0), "о о где 2101 Л ътЛ вЂ” йг — ЪРЛ вЂ” й "о+й' ЬРЛ2 — йог йг 2Л2 — йог+йог 'Лг — йг' 2оо йг Л т,2ЛΠ— Ц вЂ” Л вЂ” йг ,Д2 ьг О2 Дг 92 й2 2Л2 вг~ Д = Р/тг + 22. Решение.
Вводим согласно задаче 94 электрический вектор Герца П = (О, О, П- = П), причем 29 сомо 2яог е* О Я По= й, йг й +По, „р, П= йг йг л +П„„,. о+ о+ Воспользуемся интегральным разложением первичного потенциала уя е тг РО~Ло2Л е— ', =/;,~;)",, „', о и будем искать вторичное возбуждение в виде Повтор — /'Уо(Л) Ло(Лт)е Зотгг ьо 222Л (х > 0), о Потер — /У(Л) во(Лт)е~~" "о' о2Л (х < О). о По„,р и П, р, представленные этими интегралами, удовлетво- ряют уравнениям 2 ,2 РРПовтор р ООПовтор = 01 гтПвтор р й Пвтор = О Гл.
Ъ'11. Уравнения эллиптического типо Требуя выполнения граничных условий 1»оПо = й П, = — при дПа дП д» д» »=О, получаем )лов(~~~ '+ср)еды=1" ("'„,с+до~эр)ы о а и ~~Ро~о(Л) + 1з)(Л)) эа(Лг) с1Л = О (Р = У'Лз — Р), а где рз = Лз — кз, 1»га = Ло — йз. Отсюда и находим Иаэй» Л ра - и йо + й' ра йода + йар 21са~йг Л да — д "а + 1с» Р я'на + 1еа и Частные случаи: 1) Й = со, земля идеально проводящая, 1(Л) = О., 1.(Л) = — 'Л, Ра л,п По = 2 / 1о(Лг)е о'~=~ = 2 ' ра и о П = О (в земле). Первичное возбуждение антенны отражается от поверхности земли; 2) й = 1»а, антенна в однородной среде (в воздухе). В этом случае ,Уа(Л) = О, У(Л) = О, е аап П = — во всем пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
