Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Использовать разложение Н, (т) = — +... при малых т, (гг 2г Н (и) = г( — ехр ( — г ~т — — ) ~ при больших к. 50. Лавление р = А соз~рН, (кг). Радиальная скорость и„= — соз РН (гйг), гА (гу сро Удельный акустический импеданс . Н, (йа) г,"( ) — гсрвис Нд( ( (ка) Коли ка « 1, то 2к и а Рдив згг с 2 к(ак) Й ) Здесь, как и всюду для давления и скорости, множитель е'" опущен. причем Зо « ~ы Полная излучаемая мощность на единицу длины г г П = ) )' геггр = — Рсиг а ис 4с о Реакция воздуха на единицу длины цилиндра в направлении его движения г' = ~ар(а, Зг) соз (а е(р = гка ясрсис ). а Указание.
Учесть, что граничное условие имеет вид и,~ = иосозиг. я=а 621 Гл. 1'Н. Уравнения эллиптического типа 51. Если Д(~р) = — + ~(а созтув+ Ь ешти), где ао = — /Пр) Ьр, о а = — у1 Д(ув) созвирс(р (т = 1, 2, ...), 1 2к,/ о 1 Ь = — ~ ~ (~р) з1п ту е(уг, о то р = ~~ (А„, созт~~р+ В,о з1пту)Н~~~(йг), а=о где горо ~т — сп от~ Н (Ьа) — 1сро Вт =,гу Ь~ Н„, (Ьа) гсро ио Н(" (ьа) 2 ' (т=1,2, ...), Ао ао Но (Ь') 2 Н,"У(Ь ) При у'(Ф = ио и мы получаем (а„, сов т~р + Ь, ош т р) Н1'У (Ьа) ' ао = — а,=Ь„,=О т)0 2 Н) ~(Ьг) Н~ (йа) получаются решения задач 49 Н~ ~(Ьа) т.е, реп|ение задачи 48.
Аналогично и 50. 52. Павление р = А('~ ~(йг) Рэ(созд). Радиальная скорость о„= ' (~о (Ь ) — 2~э (Ьг)) Рз (соз В), Зеро где Ро(х) = х — полипом Лежандра первой степени. Если Ьа « 1, то А = О, 5сро(аЬ)~ио. Полная сила, действующая на шар в направлении его колебаний, 2 з Г = — ив — кри ио. 3 Безразмерный удельный резонанс при т = а оо~ ~(йа) — 2Д ~(йа) 622 Ответы, указания и решения В волновой зоне е — »г Яг — Я ~ сов д А Ь т. е. 1 П - —.
Л» П-Й', или 53. Если возможно разложение Дд) = ~ А„,Р (созд), то скорость М = ~ ~-~",' ("") Р„(: вд), избыточное давление р = ~,, Р (созд), ~~ ~ (йгг) где В,„= — гсроА~. Если йа « 1, то полную реакцию среды на шар можно вычислить по формуле Р = 2гга 1 (р)„—, создз1пде(д = Вг 4на г,"г Г(йа) 3 4'у(йо) »еро 4»га Если ~(д) = оо, то /оо при т=О, (О при тфО и У к аз а н и е. При вычислении полной силы, действующей на шар, следует воспользоваться формулами (р) - —, +...; ~г (р) — — — +... при малых р.
ОО» (зу 2» о,= — е ™ ~»созд, брайт Зер»»0$ 24»(Ь ) — ~~Г»(йа) Поток энергии, излучаемой диполсм в единицу времени, А сов д 1 сро(ай)~оо сро(йг)я 8 (Ь )' Полная мощность, излучаемая акустическим диполем, равна П = — сропоа'(ай), Гл. Ъ 1й Ураеиеиин эллиптического типа 54. Если скорость поверхности сферы равна нулю везде, кроме малой круговой площади радиуса е, вокруг точки В = О (полюса) био при О < О < е/а, (О) = 4 ~ О при е/а < В < к, где а — радиус сферы,то р= — 1сро ~~ А „, Р (совО), ~му(йг) 2т -~-1 2т -Ь 1 /е1з А ио ~ Ри, (сов В) сйп В Ю ~ )'по 4 а о Полная энергия излучения равна 4 ъэ 4к Ч-» 2тп+ 1 т=о При очень низких частотах р=ы — (ке ио)е ' =па — е 1„1о, ро 3 яг Ро Ие 4кг 4кг где Оо — †ио есть производительность точечного источника. 2 Указание.
Выражение для П, получается из формул (1) задачи 62. 55. Радиальная составляющая скорости равна '»э '»'е~ ) иДг, д) = ',, Рз(совО). сэму(йа) Лавление 4'~ь-) р = — есроио,, Рз1совО). С~Ох (йа) При йа «1 интенсивность и мощность излучения квадруполя будут вины р е в — арейа г з 2к,е в У = ' иоРг (совО), П = — срой а ио. 162гэ 406 Указание. Учесть, что и~ может быть записано в виде и~с» а = иоРз(совО) и искать давление в виде р = й(г)Рз(совО). При вычислении потока, энергии и мощности излучения восполь- зоваться формулами (я) = 1 — при малых т, ОО .З ,.з (т) = — 4 — л при малых т, 1зр .
9 а также асимптотическими формулами для больших т. 624 Ответы, указания и решении Интересно сравнить формулы П = — сроиоа й оз для акустического диполя 2 В 4 4 б 2'о 2 в в в П = — сроиоа )о оз для акустического квадруполя. 405 56. Если скорость поршня по, то тдедоио /' а. /'е '"" ар о о где Л расстояние точки Мо(у, ф) от точки наблюдения М (рис.
59). а Если — « 1, то й 1дероа,ьт ~2з4(кав1пд) Поток энергии, излучаемой порш- нем, — а ерово 2 2змряпд) 8тз рвшд р=ак. М Рис. 59 Если р « 1, то —. а'ерово 2 (1 ро вше д бто )4 4 о о Лавление Р— 4 кодо О. Если Л )> а, то подынтегральная функция принимает вид (Й = т — увшдсовф), т — уяпдсозд так что — в. У,4у ~ЕЦЙВ 41о В) соо дай 2вт / о о е'" / е оы 2 ) 2з4(ковш д)1 = ео — ~ у е)у ЯоЯуз144 д)2я = ио — а 2кт 2т ~ даяпд о Отсюда и получаются формулы для Р и и,. яазероооз В этом случае полная мощность равна П = Ро р ~1 — ~ б/ У к а з а н и е. Потенциал скоростей, создаваемых движением поршня, представляется в виде потенциала простого слоя — оя '=ИГ.
626 Ответы, указания и решения ( гп гп —,— '„(((-г.отеле- 1" (л)лвл)= о о и'проелло ~1 Ул(20)1 перово М,2 где (.)=1 .®« о 58. В волновой зоне (при кг» 1) е р = гксроа ~ А Ф (О), е '" и = гйа ~ ~АтФ,„(0), пл=и т=и где А --- коэффициенты разложения и~ = л"(р) в ряд по функ- циям,То ( — ' р), равные Унт ( а 4т ~1(Р)Уо ( Р) Р4рл о Фт(0) =, в = ила эш0, 2вУл(в) г Рг Рт — коРень УРавненик Ул(1л) = О. Решение. Пользуясь разложением 1'(р) в ряд и~ = )(р) = ~ А„„7о (~— Р), т=о находим 2я ~Х-и '",l ( и ) / гл т=о о о В волновой зоне — ли -я ив р Мп В ооо и 22 т (см.
задачу 56). Вычисления дают г (г (~ ) л (,ллипмлле ове,л 2„( л, (Рт ) л (й „„0 о о о Для нахождения этого интеграла обри,тимся к формуле /,л',(егр),Уокер) рдр =,, г ~о3,'(аа)Я~ЦЗа) — (гг,1,'((гга)Яп(ела)), о Следовательно, для р~ верна формула (1). Чтобы найти силу реакции, действующую на пластинку, надо вычислить интеграл Гл. Ъ11 Уравкекин эллиптического тапа положим здесь о = ро,/и, Д = кяш О, и = О, тогда получим ,)о(ор)100э'р)ре)р=,, 10(д ) (А(до,) =0), в — д о так что 3. Лифракция на цилиндре и сфере. 59. Коли плоская волна распространяется вдоль оси т, перпендикулярной к оси цилиндра (оси г), то давление в ней можно предста- вить в виде ро = Ае 'в = Ае и" е"'" = А )о(Ь) + 2 ~( — в)"'эт(Ь) соя™У т=1 давление в рассеянной волне рв — — ~ В,„соя т~рН~~~(Ы ), т=с где эПйа) 2( — 1) 'У,„(йа) Скорость в рассеянной волне ове — т — ~ В Н~ ~ (Йг) соя тоэ.
сро о1 =.О В волновой зоне (на больших расстояниях от цилиндра кг» 1) 'т,Р: -)- О.-Мй ----" т=о ов, = — — ехр г — 4 ~йг — — гз В 4тсояту = — рв сро 1/ кйг 1 ) 4,)1 ~~ сро во=О 60. Интенсивность рассеянной волны гв — — ~ е я1п у„,е""' соят4о, ео = 1, т=о е =2, т)0, 40* х Атэс(р„,)вэ10в) е 'в" р = вйсроа в — д т=о Первый член (т = О, ро = О) этого ряда дает решение задачи 56 о колебании жесткого поршня в бесконечном экране вйсроа~ ~2Л(в)1 Р = .4о ~ ~ +..., в = йаяшд, 2 ~ в причем Ао, очевидно, означает среднюю скорость поршня.
628 Ответы, униоиния и решения ~Р4~ = ~~ ~ ~В, Еоойп У ВШ Уиеео(Уиг — Уи)СОВпггРЕОВГиР, г о~=о о=-0 у определяется соотношениями Аг 1о=— 2сро т,=о У к а з а н и е. Пользуясь соотношениями .У„', = О 5(,уег — 1 — Юпгв.1), гЛг = О. ОРт — 1 — Хт-~-1), нетрудно выра.вить коэффициенты В в виде Вт — — — Аят( — г) 'Е ' "' В1П.у„о, где во=1, в,„=2, пг>1, в волновой зоне имеем "= /" " [-( -В) еытА" 61. Если Ла « 1, то в волновой зоне будем иметь: р, = ' ехр ~ — г'(Иг — — )) (1 — 2сов1р) +..., 1 оы = — рв.
еро Интенсивность йг 4 У, = У~(1 — 2сов1р)~, 8г Полная мощность — А 2еро 4 й а 1 о + у'О + = 2я,гЛ = иг/с). Полное давление на поверх- Пв = — я 3 г 1 где Л длина волны (Й ности цилиндра ехр~ — г(у — — ) [, 4и=о во = 1,. в = 2, га ) 1, 4А р. — (ро+ р*) ~ где [у ~ Ы вЂ” у — (р)1 + Р е М вЂ” Х.— 04Р от 18 уо = — П") Лгг (14) ' у -мр) — у- Ы $8'Уги = ( ) „( ), 11=ко, гает функция Неймана. Полная мощность звука, рассеянного на еди- нице длины цилиндра, 41'о х Пз= — Л в в1п у к 629 Гл. Ъ'уй Уравнения эллиптического типа Полная сила, действующая на единицу длины цилиндра, направлен- ная по линии распространения плоской волны, равна 1Р сг1эгрг1Оэ= й езгр(г(7 — — )1 о Если уг = ка « 1, то Ра т А (-+ 21дсоэгР) г Р = — 21ка кА.
2 (,2 Если ул = Йа » 1, то Р = — ъ'4аЛАе ( 4) Указание. следует воспользоваться приближенными формулами: а) при р » т + 1г'2 /8 гг / 2 1 г' 11 оо ~/ —; 7о уг — —, а ~/ —, 'у, р — -я~ т+ -); б) при уг = ка « т + 1,12 т-~-1 4 ггрг тг гг 211 по —, 7о, а — ~ — ( кр' 4 ' 2я (11г' ут = —,, Н (т > 0). 62. Пусть плоская волна распространяется вдоль оси 2: р = Аец ' "9 =рос'"', ро = Ае '"= = Ае *"'""' Давление и радиальная скорость в рассеянной волне даются форму- лами рв = ~ В (~~~~(кс)Р (сов 0), т=о ив„= — — — и = — ~~г В ~~~~ (Ис)Р (сояй), г'йсро бг сро т=о где В = — А( — г)"'(2т+ 1) "', ~г, р = ка, ~му(р) ' фт(11) =, — уитгуг(11). )~~ 2р Коэффициенты В удобно представить в виде Вп, = — А( — 1) "1(2гп+ 1) ЯгпДоге'К", бзО Ответы, указания и решении где В, определяется из уравнений ) - 11 т~п, 1(12) — (т+ 1)1 е1(д) = — (2т+ 1)В сов)1 = — (2т+ 1)Д,(д), (л1 Ф 1)вут-о1(Ц) гпеут — 101) (2т+ 1)Вт в1прт (1) = — (2т+ 1)у11' (д).
Здесь вт е 2 "т:111'2111) 11 2р В волновой зоне (г — е оо) 1 ив = — рв. еро т=о Интенсивность рассеянной волны — — 1 1в=1о 12 х х ~ (2т+ 1)(2п+ 1) в1п,З в1п)1 сов(13 — )3„)Р (говд)Р„(говд). т,п=о Полная мощность П, = У о —, ~(2п + 1) воп оп, — Ао 2сро п=о Указание. Рещение ищем в видо ряда рв = ~~ ВтС~~11йг)Рт1совд), т=о е еа"в~ = ~ С уот(р)Р (говд), оп=о где С,„= (2т ~- 1)( — 1)т, В самом деле, полагаем С Ф-1р) =, ~е 1"Р ЯК вЂ” 1 ') См.
)38, с. 351). где  — — коэффициенты, подлежащие определению из граничного д(ро — рв) условия = О. Для их определения необходимо получить дг о=а разложение плоской волны в ряд. Покажем, что имеет место формула бЗ1 Рл. Ъ'П. Уравнения эллиптического типа Интегрирование по частям при больших р дает тк') Р е — (РчР У(1~ 21 г)т ~ ) +О Р С другой стороны с1'~ 1 где О (Л вЂ” ~ члены более высокого порядка малости, чем —. Из Р Р совпадения асимптотики левой и правой частей следует, что Ст = (2т+1)( — г)~. 63. Если р = йа « 1, то рв - — — (1 — — сов О) е 1 ив = — Рл ср в волновой зоне 1Ь» 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
