Экзаменационная теория (1124269), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

ПустьV1,1 − E ( )V12MV2,2 − E ( )1есть матрица (при фикс. i):1LVn ,1LV1nMM= 0 (вековое уравнение).L Vn , n − E ( )1(1)Полином i-й степени относительно Ei обращается в ноль. Все корни Ei , s , s ∈ ¡ , могут совпадать.Каждому Ei , s будет соответствовать набор координат asi , поэтому их можно записать в видевектор-столбца as = ( as1 , as 2 ,..., asn ) . a соответствует невозмущённое задаче. При наличииTвырождения у невозмущённой задачи введение возмущения снимает вырождение в первомпорядке по энергии.n∑aα =1sαϕi(α0) = ψ is0 - от них ведётся построение всех поправок более высокого порядка. Дляневырожденного состояния ψ i( ) =1Vmi∑E −Em()(i⋅ ϕ m( 0) .

В случае вырождения Vm,is = ϕ m( 0) V ψ is( 0) .m)µ 0 − E 0 ϕ ( 2) = E (1) − Vµ ϕ (1) + E ( 2)Найдём Eks(2) : λ 2 Hiiisiisn∑aα =1ϕi(α )0sαgψ is(0)∗ , интегрируя по Vполучим:V V0 = Eis( 2) + ψ is Eis(1) − Vµ ϕi(1) ; Eis( 2) = ψ is Vµ − Eis(1) ϕi(1) = ψ is Vµ − Eis(1) ϕi(1) = ∑ (is0),m m ,is( 0) < 0− Emm ≠ k Ei( ϕi(1) ортогонально к ψ is ).23Временная теория возмущений.Если возмущение явно зависит от времени, то рассмотрим временное уравнение Шредингера:∂µ 0 + V ( x, t ) ψ ( x, t ) ( h = 1) (∗) .ψ ( x, t ) =  H∂tВ данном случае ψ будет зависеть не только от времени, но и от x, поэтому не вводим другихiпространственных переменных.µ 0 отвечает начальному состоянию и явно от времени не зависит:Пусть оператор Hµ0 = Hµ 0 ( x); тогда до t возмущение отсутствовало. Частными решениями (∗) будут функцииH0ψ k( 0) ( x, t ) = ψ k( 0) ( x ) e− Ek(0 )it0, общие решения: ψ ( ) =∑ a ψ ( ) ( x, t ) .

Пусть в каждый момент0kkk( 0)времени ψ k образует полный набор, т.е. каждое решение можно представить в виде ряда Фурье:µ 0ϕ ( 0) = E ( 0)ϕ ( 0) . Подставим в (∗) :ψ ( x, t ) = ∑ Ck ( t )ψ k0 = ∑ Ck ( t ) ϕk0 ( x ) e − Ek it ; Hkkk(0 )kki  ∑ C& kϕ k0 ( x ) e k( 0)− Ek it( 0)iC& m e(0 )− Em it(0 )ki ∑ C& kϕ k0 ( x ) e − Ekk+ ∑ Ck ( t ) ϕk0 ( x ) e− EkitТогда получим:()(0)(0)⋅ −iEk(0 )  = ∑ Ck ( t )ϕ k0 ( x ) Ek( 0 )e − Ek it + V ∑ Ck ( t ) ϕ k0 ( x ) e− Ek itk k= V ( x, t ) ∑ Ck ( t ) ϕk0 ( x ) e − Ek(0 )itk= ∑ Ck ( t ) ekit( 0)− Ek itgϕm( 0)∗ и интегрируем по всем x:00ϕm( ) Vµ ( x, t ) ϕ k( ) .

Функции ортогональны и при m=k: δ mk = 1 .0− i ( Ek( ) − Em( 0 ) )tdCm ( t ) = −i ∑ Ck ( t ) eϕ m( 0) Vµ ( x, t ) ϕ k( 0) ,dtk00∗где ϕ m( ) Vµ ( x, t ) ϕk( ) = Vmk( t ) - число;()Vmk ( t , ω ) = Vmk eiωt− Ek( 0) − Em( 0) = ωmk :dCm ( t ) = −i ∑ Ck ( t ) Vmk ( t , ω ) , m = 1, 2,...dtkПусть Ck ( t ) мало зависит от времени, тогда можно Ck ( t ) считать постоянными, тогда:ttCm ( t ) = −i ∑ Ck ( t0 ) ∫ Vmk ( t ′, ω ) dt ′ + ζ m ; при t = t0 : Cm ( t ) = Cm ( t0 ) − i ∑ Ck ( t0 ) ∫ Vmk ( t ′, ω ) dt ′ kkt0t0это выражение называется первым борновским приближением.( 0)Умножим на ϕm0 e − Em it и просуммируем по всем m :t′ψ ( x, t ) = ψ ( 0) ( x, t ) − i ∑ψ m( 0) ( x, t ) ∫ ψ m( 0) V ( x, t ) ψ ( 0) dt - волновая функция в момент времени t.mt024Заряженная частица в однородном электрическом и магнитном полях.

Дипольныеэлектрический и магнитный моменты системы частиц.Мы знаем, что если поле кулоновское, то при n>1 появляется вырождение, кратное n2. При снятиикулоновости поля оно может сниматься частично или полностью. Будем полагать, что изменениекулоновского поля осуществляется за счёт электромагнитных полей.r r rrrЭлектромагнитное поле характеризуется: E ; H ; D = εε 0 E ; B = µµ0 H . Эти вектора имеют 6компонентов. Многие зависимы, но не все.

Поэтому можно перейти к системе, в которойrучитывается 3 компоненты так называемого векторного потенциала A и скалярный потенциал ϕ .rrrr1 ∂AE=−− gradϕ , B = rotA . Частица с зарядом при движении в электромагнитном полеc ∂trr r 1 r rнаходится под действием силы Лоренца: F = q  E + r& × B  , где r& - ск. движения частицы.cr ∂L r qi rr q rrМы знаем, что обобщённый импульм: Pi = r = pi + A ⇒ pi = P − i A .cc∂r&21  µr qi r r µH =∑ p i − c A ( ri )  + V - в присутствии поля; V - слагаемое, зависящее от скалярногоi 2mi ∂потенциала, который может быть выбран равный нулю.

По-другому это выражение: µp x = −ih∂x2rµ =  1  −ih∇ − qi A ( rr )  + q ϕ ( rr )  + U , где U - потенциал взаимодействия частицH∑i  2m  i c i  i i  iмежду собой, если у нас присутствует i частиц. Для первой частицы:22µ = 1  µp 2 − q µpAr + Ar µp + q Ar 2  + qϕ = − 1  h 2 ∆ − q ih ∇Ar + Ar∇ − + q Ar 2  + qϕ , где:Hcc2cc22m 2m r rrrr∂∂∂∂φ∂φ∂φ∇A + A∇ φ ( r ) = ( Axφ ) + ( Ayφ ) + ( Azφ ) + Ax+ Ay+ Az= 2 A ⋅ ∇φ + divA ⋅ φ ⇒∂x∂y∂z∂x∂y∂z2µ = − 1  h 2 ∆ − 2q ihAr ⋅ ∇  + q divAr + q Ar 2 + qϕ .⇒H2m c2mc 2 2mcrr r rРассмотрим однородное постоянное электрическое поле. Тогда E = E0 , B = 0 ⇒ rotA = 0 ⇒rrrr rr⇒ A = gradf ( r ) . Можно сказать, что A = 0 , тогда E0 = − gradϕ ;ϕ = − E0 rµ = − 1 ∆ − qEr rr + Uµ ( rr ) , где Uµ ( rr ) - потенциал взаимодействия с другими полями.

Для атомаH02mµ = − 1 ∆ + Er z − 1водорода, направление E0 принято за Oz : H0z2rrr∂AРассмотрим однородное постоянное магнитное поле. Тогда E = 0,= −cgradϕ . Поле∂trr 1 r rпостоянное, то A = const , gradϕ = 0 , т.е. ϕ = const ; пусть ϕ = 0 , тогда: A = B0 × r ;2r r 22q B0 × rr rrµ = − 1 ∆ − q Br × rr pr + q div Br × rr +H+Ur,гдеdivB()000 ×r = 0 .2m2mc4mc8mc 2(()())()()()()25rrrrr( B × rr ) pr = B ( rr × pr ) = ( rr × pr ) B = LB , следовательно, получим:r rq (B ×r )rrr r1qrµ =−H∆−LB ++ U ( r ) . Если поле слабое, то ( B × r ) → 0 .2m2mc8mc00002220002rµ =  − 1 ∆ + U ( rr )  − q L B .Пусть B0 это Oz, получим выражение, не зависящее от поля: Hz 0z 2m 2mcµ 0 = − 1 ∆ + U ( rr ) , Hµ 0 коммутирует с L$2 и L$ z ⇒ собственные функции дляПусть H2mµ 0 совпадают с собственными функциями для L$2 и L$ z с собственными значениями l ( l + 1) и m ,Hсоответственно.

Если добавить член, зависящий от Lz B0 z не изменяя собственные функции, ониµ , но собственные значения Hµ изменятся: вµ 0 при переходе к Hостанутся собственными и для Hслечае дискретного спектра в атоме водорода: En = −En , m = −12n 21q−B0 z . Такое расщепление вырожденных уровней в магнитном поле называется22n 2mcэффектом Зимана.Дипольный электрический момент.µ = − 1 ∆ − qEr rr + U ( rr ) для одной частицы в электрическом поле.H02mr rrrrr1µ = − 1 ∆ − ErH∆ − E0 d + U ( r ) , где d - электрический дипольный0 ∑ qi ri + U ( r ) = −2m2miµ будет определяться проекцией dr на направление Er .момент. Поправка в H0Магнитный момент.r r2qBrr0 ×rµ = − 1 ∆ − q LB +В уравнении H02m2mc8mc 2q rсистемы частиц: ∑ i Li = µi 2 mi c()2r+U (r ) :q rL = µ - магнитный момент.

Для2mcЭффект Штарка: изменение положения энергетического уровня в постоянном электрическомполе, т.е. расщепление вырожденного уровня.26Спин. Операторы спина и коммутационные соотношения для них. Сложение спинов.Перестановка симметричных волновых функций систем многих частиц.Проводились опыты с атомом Ag по пропусканию их через постоянное магнитное поле. Заметили,что пучок расщеплялся на 2 компоненты (у Ag на s-подуровне находится один электрон, уровеньневырожденный).

Тогда пришли к выводу, что у атома кроме углового момента есть собственный()$ + qS$ ,магнитный момент. Этот дополнительный момент назвали спином S. Общий момент: L$ . Если α , β , γ − x, y, z ,для разных частиц q разное. По свойствам этот оператор такой же, что и L$ γ ,  S$ α , S$ 2  = 0 . Кроме того,  L$ α , S$ β  = 0 .

Собственные значения операторато:  S$ α , S$ β  = ihS2S$ - S ( S + 1) , а собственные значения для S$ α изменяются от − S , − S + 1,..., S .Особенностью электрона является то, что S$ имеет два значения - ± 1 2 .Матричное представление операторов S$ .Пусть S$ zϕ = 1 2 ϕ ; S$ z χ = 1 2 χ , где ϕ и χ - собственные функции для S$ z , базисные функции, накоторые натягивается 2D-пространство. ψ = c1ϕ + c2 χ , где ψ - любая собственная функция S$ z( S$ z - эрмитов, ϕ и χ - ортогональны). Опишем S$ z в виде матрицы: a b   λ   aλ + bµ $ c d   µ  =  cλ + d µ  ; т.к.

ϕ и χ - собств. функции для S z ,   a b  0 1  0   a ⋅ 0 + bχ   0 a = 1 2 ; c = 0;     = −   ; ;=2  χ   d χ   − 12 χ  c d  χ  a b  ϕ    = c d  0 1  ϕ   a ϕ   12 ϕ  ;  =   ;2  0   cϕ   0 b = 0; d = − 1 2 12 0  1  1 0   0  0ϕ 11 1S$ z = = 2;   = χ   = βχ ;   = ϕ   = αϕ ; βχ и αϕ - с.ф.

S$ z с с.з. − и .12 2 0 − 2 0 −1   χ 100Найдём S$ x , S$ y : S$ z S$ x − S$ x S$ z = iS$ y  1 2 0   a b   a b  1 2 0   0 b $ y ; S$ y = i  0 −b ;−==iS$ $ $ $c 0 11S y S z − S z S y = iS$ x  0 − 2   c d   c d  0 − 2   − c 0 11 0 −b  2 0   2 0  0 −b   0 b  $  0 b  $ $ $ $iS$ x = i −i= i   ; S x =   ; S x S y − S y S x = iS$ z :11 c 0  0 − 2   0 − 2  c 0   c 0  c 01 0 b  0 −b   0 −b  0 b   2bc 0   2 0 1i  −i= i= i⇒ bc = .14 c 0  c 0   c 0  c 0   0 −2bc   0 − 2 222 0 b   0 c∗ 2T ∗$$$$$$$S x , S y , S z - эрмитовы, S = S x + S y + S z = ( S + 1) S ; S x = ( S x ) :   =  ∗  ; c 0 b 0 1  01 i  0 −11 1 0 т.е.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)