Экзаменационная теория (1124269), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

они ещё и нормированы,то они ортонормированны.2). Пусть две собственных функции ϕ1 и ϕ2 принадлежат одному собственному значению aэрмитова оператора µA . Воспользовавшись принципом суперпозиции,возьмём: µA ( c1ϕ1 + c2ϕ 2 ) = c1 µAϕ1 + c2 µAϕ 2 = ac1ϕ1 + ac2ϕ2 = a ( c1ϕ1 + c2ϕ 2 ) , следовательно, у новойфункции a тоже является собственным значением. ϕ1 c1ϕ1 + c2ϕ 2 = c1 ϕ1 ϕ1 + c2 ϕ1 ϕ 2 ,подбирая c1 и c2, получим: −c2 ϕ1 ϕ 2 ϕ ϕϕ1 ϕ1 = c1 ; Ψ =  − 1 2 ϕ1 + ϕ 2  c2 - собственная ϕ1 ϕ1функция для µA с собственным значением a, и она ортогональная ϕ1 , следовательно, собственныефункции эрмитова оператора можно считать ортогональными, даже если они принадлежат одномусобственному значению.Матричное представление.µ , его собственные функцииПусть ϕ = µAψ , ϕ ,ψ ∈ D .

Пусть есть эрмитов оператор Bµ χ = b χ ; i = 1, 2,... Bµ , χ ∈ D. Тогда можно ввести разложение по базису из χ , т.е.:χi : Bii iii∞∞∞∞∞i =1i =1k =1i =1i =1ϕ = ∑ µi χ i , ψ = ∑ λi χ i . Тогда: ϕ = ∑ µk χ k = µAψ = µA∑ λi χ i = ∑ λi µAχ i∞∞i =1i =1µ χ = λA ,µ m = ∑ λi χ m A∑ i mi•χm ; ∫ :Am − матр.элемент, m = 1, 2,...Am полностью определяет действие µA на ψ . Если i конечно, λ1  , λ =  ...

 , µ = µAλ . Эти векторы и матрицы носят название λ  Mматричного представления функций и операторов в базисе функций χ i . A11 ... A1Mто Am =  ... ......A M 1 ... AMM µ1 ; µ =  ...µ MСредние значения наблюдаемых величин.Среднее значение определяется как сумма всех собственных значений f n данной величины,2умноженных каждое на соответствующую вероятность an , т.е.f n = ∑ f n an , an = an an∗ .Введём линейный оператор µf , определённый так, что f = ∫ψ ∗ µfψ dτ .2n25Плотность вероятности распеределения частиц в пространстве и нормировка функцийдискретного спектра.Можно вычислять не только средние значения, но и средние квадратичные отклонения от средних¶µ − F (эрмитов), тогдазначений в данном состоянии ψ : ∆F = F − F ; ∆F=F( ∆¶F )2( )( )¶¶¶= ∫ψ ∗ ∆F ∆F ψ dτ = ∫ ∆Fψ dτ - так определяется дисперсия. Совокупность2собственных значений, которые может принимать величина, называется спектром собственныхзначений данной величины.

Он может быть дискретным и непрерывным. Волновая функцияпоказывает вероятность того, что при ∆ положений частиц системы мы найдём их в тех или иныхместах пространства. Принимаем, что величина dW = ψ (τ ) dτ пропорциональна вероятности2того, что при ∆ мы найдём значение координаты частиц системы в элементе объёма dτ .Если ψ (τ ) dτ = N , то, согласно принципу суперпозиции (функции, отличающиеся друг от2друга лишь численным множителем, не равным нулю, соответствуют одному и тому жесостоянию) можно выбрать новую функцию ϕ = N −1 2ψ так, что будет выполнено равенство∫ψ2dτ = 1 - условие нормировки.

Такие функции называются нормированными. Длянормировки функций величина dW = ψ (τ ) dτ - вероятность нахождения частиц в пространстве2dτ . Величину ρ (τ ) = dW dτ = ϕ (τ ) называют плотностью вероятности.2∞Нормировка на S-функцию:Ток вероятности: j =∫ f ( x ) δ ( x − x ) dx = f ( x )0−∞0urh∂I m ψ ∗ ∇ψ , I m - мнимая часть. Уравнение непрерывности: ∇j = − ψm∂t()2Коммутационные соотношения для операторов. Примеры.

Соотношение неопределённостей.µ назовём коммутатором оператор Cµ , определённый какДля ∀ двух линейных операторов µA и Bµ = µµ = µµ−Bµµµ = 0 и не коммутируют, если Cµ ≠ 0.CA, BABA . Операторы коммутируют, если CКоммутирующие эрмитовы операторы для 1 частицы: x и y , x и p y , x и Lx = ypz − zp y . Некоммутирующие: x и px : xpx − px x = ih .µ µПусть ψ 1 - собственная функция µA с собственным значением λ1 : µAψ 1 = λψ1 1 ; A и B эрмитовы;( ) ( )( )µ Aµψ = µµψ = Bµ ( λψ ) = λ Bµψ , т.е. Bψµ тоже является собственной функцией µBA BAс111 1111собственным значением λ1 . Если к λ1 относится лишь одна собственная функцияψ 1 , тоµ.µ = µ ψ , так что ψ одновременно является собственной функцией для µсправедливо: BψA и B11 11µ означает, что у них может быть выбрана общая система собственныхКоммутация µA и Bфункций. Все ϕ j для µA будут отвечать одному собственному значению λ1 , но каждое изµ.ϕ j относится к определённому собственному значению b j у оператора B6Соотношение неопределённостей.µ=µµ−Bµµµ − эрмитов , т.к.Пусть два эрмитовых оператора не коммутируют и iCABA; C( µABµ − Bµ µA) = ( µABµ ) − ( Bµ µA) = Bµ µA − µA Bµ = Bµ µA − µABµ ; (iCµ ) = i Cµ = −iCµ ⇒µ = µiC( ABµ − Bµ µA) = iCµ ⇒ Cµ = Cµ .

Возьмём волновую функцию ψ и построим две новыхµ и рассмотрим комбинацию Ψ = µµψ = µволновых функции µAψ и BψAψ + iλ B( A + iλ Bµ )ψ .µ ψ µ0 ≤ ∫ ψ dτ = ∫ ( µA + iλ B) ( A + iλ Bµ )ψ dτ = ∫ψ ( µA − iλ Bµ ) ( µA + iλ Bµ )ψ dτ =µ + iλ µA +λ B= ∫ψ ( µ( ABµ − Bµ µA))ψ dτ = ∫ψ ( µA + λ Bµ − λCµ )ψ dτ =+++++++++∗+++∗2∗22∗∗22µ2 ψ −λ ψ Cµψ ;= ψ µA ψ + λ2 ψ BµψD= ψ C2∗2ψ µA ψ =∫ µAψ dτ ≥ 0 ;2µ2 ψ ≥ 0ψ Bµ2 ψ ≥ 1 ψ Cµ ψ . Этоψ B422µ − β I$ . Нормируем α , β : ψ µA − α I$ , и для BA − α I$ ψ ;справедливо и для µ22−4 ψ µA ψ22((2µ2 ψ ≤ 0 ⇒ ψ µψ BA ψ))µ − β I$ ψ − min. F (α ) =ψ B()A −α ) ψψ (µ22()2A ψ − 2α ψ µAψ +α 2 ψ ψ ;= ψ µψ µAψdF (α )µ0== −2 ψ A ψ + 2α ψ ψ ⇒ α min =, т.е.

является средним значением µA.dαψψ(Перепишем: ψ µA − α min)2ψ(µ −βψ Bmin( )распределённая с ρ = ψ ∗ψ . Тогдаψ ≥1µψψ C42. Пусть( ∆ µA) = D - дисперсия случайной величины,( ∆ µA) ( ∆ Bµ ) ≥ 14 Cµ - соотношение неопределённостей,∆µA= µA − α min = µA− A ; ψ ∆µA ψ =2)22A222которому удовлетворяют разбросы значений физических величин, характеризующихсядисперсиями DA и DB . Примеры: ∆x∆px ≥ 1 4 h 2 ; ∆t ∆E ≥ 1 4 h 2 .7Теория углового момента. Коммутационные соотношения для операторов моментаимпульса. Собственные значения операторов квадрата момента и одной из проекциймомента.r r r∂∂ L = r × p; Lx = y, z , x × pz , x , y − z , x, y × p y , z , x = −ih  y, z , x− z , x, y (1, 2,3)∂z , x, y∂y , z , x ijkx = r sin ϑ cos ϕr22222L= xyz .

Длина L определяется L = L , L = Lx + Ly + Lz , y = r sin ϑ sin ϕ .px p y pzz = r cos ϑ∂ x ∂ y ∂ z ∂=++;∂r r ∂x r ∂y r ∂z∂∂∂∂∂∂∂= r cos ϑ cos ϕ + r cos ϑ sin ϕ − r sin ϑ ;= −r sin ϑ sin ϕ + r sin ϑ cos ϕ∂ϑ∂x∂y∂z ∂ψ∂x∂y∂∂∂∂= − y + x = iLz , т.е. Lz = i. Теперь (2) умножим на sin ϑ sin ϕ , а (3) – на cos ϑ cos ϕ .∂ϕ∂x∂y∂ϕ∂∂+ cos ϑ cos ϕ=Сложим и вычтем полученные равенства: sin ϑ sin ϕ∂ϑ∂ϑ∂∂∂∂= r sin ϑ cos ϑ − r sin 2 ϑ sin ϕ = z sin ϑ − y sin ϑ = −iLx sin ϑ∂y∂z∂y∂z∂∂∂ cos ϕ cos ϑ ∂ ⇒ Lx = i  sin ϕ+ . И sin ϑ cos ϑ ∂ϑ − cos ϑ cos ϕ ∂ϕ =∂ϑsin ϑ∂ϕ ∂∂∂= 2r cos ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ + r ( cos ϑ sin ϑ sin 2 ϕ − sin ϑ cos 2 ϕ cos ϑ ) − r sin 2 ϑ sin ϕ ⇒∂x∂y∂z21 ∂ ∂ 1∂∂ cos ϑ sin ϕ ∂ 2⇒ Ly = i  − cos ϕ+ . Тогда L = − ϑ ∂ϑ  sin ϑ ∂ϑ  − 2 ϑ ∂ϕ 2sin∂ϑsin ϑ ∂ϕ  sinПерейдём к сферическим координатам:Коммутационные соотношения.Операторы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям (h = 1)Lx Ly − Ly Lx = iLzДокажем:;  Ly Lz  = iLx ; [ Lz Lx ] = iLy .

 Lx L2  =  Ly L2  =  Lz L2  = 0 - коммутируют. ∂ ∂ ∂∂  ∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂Lx Ly = −  y − z   z − x  = −  y z − y x − z z + z x  = − y∂y   ∂x∂z ∂z ∂z∂y ∂x∂y ∂z ∂x ∂z ∂z ∂x ∂ ∂∂∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂Ly Lx = −  z y + x y − z z + x z  = − x ;  Lx Ly  = − y + x = iLz .∂x∂y∂z ∂z∂x ∂y∂z ∂y ∂y ∂x ∂zРассмотрим собственные функции этих операторов. Начнём с Lz .∂Lz f m (ϕ ) = −if m (ϕ ) = mf m (ϕ ) ; f m (ϕ ) = eimϕ , чтобы выполнялось условие цикличности∂ϕf m (ϕ + 2π ) = f m (ϕ ) , m ∈ ¢ .

Проверка показывает, что eimϕ - собственные функции для L2 ссобственными значениямиm2.sin 2 ϕДля Lx и Ly эта f m (ϕ ) не будет собственной. Но из их комбинации можно построить линейнуюкомбинацию aLx + bLy , которая переведёт f m (ϕ ) вновь в собственные функции для Lz .8a = 1, b = ±i ⇒ L+ = Lx + iLy ; L− = Lx − iLy . Например,Lz  L+ f m (ϕ )  = Lz ( Lx + iLy ) f m (ϕ ) =  Lz Lx + iLz Ly  f m (ϕ ) =  Lx + iLy  ( Lz + 1) f m = L+ ( Lz + 1) f m[ L+ Lz ] = L+ Lz − Lz L+ = ( Lx + iLy ) Lz − Lz ( Lx + iLy ) = [ Lx Lz ] + i  Ly Lz  = −iLy + i 2 Lx = − ( Lx + iLy ) = − L+Lz L+ = L+ Lz + L+ = L+ ( Lz + 1) ; Lz ( L+ f m (ϕ ) ) = m ( L+ f m (ϕ ) ) + L+ f m (ϕ ) = ( m + 1) ( L+ f m (ϕ ) ) ⇒⇒ L+ f m (ϕ ) является собственной функцией для Lz с собственным значением ( m + 1) > mАналогично, Lz  L− f m (ϕ )  = ( m − 1) L− f m (ϕ ) .

L+ и L− - операторы повышения и понижения.[ Lz L+ ] = L+ ; [ Lz L− ] = − L− ;  L+ L2  =  L− L2  = 0; L+ L− = ( Lx + iLy )( Lx − iLy ) = L2x + L2y − i  Lx Ly  == L2x + L2y + Lz + L2z − L2z = L2 − L2z + Lz ; L− L+ = L2 − L2z − Lz ; [ L+ L− ] = 2 Lz .Собственные функцииLz и L2 коммутируют, следовательно, у них может быть выбрана общая система собственныхфункций. У оператора L2 , совпадающего с ∆θ ,ϕ , собственными функциями будут:ϕl , m = θ lm (θ ) f m (ϕ ) = Bl ,m Pl m ( cos θ ) f m (ϕ ) , где Bl , m - нормированный множитель, Pl m ( cos θ ) полином Лежандра.

Эти функции будут собственными и для Lz . Если в качестве них взять eimϕ ,то:L2ψ l , m = l ( l + 1)ψ l , m ; Lzψ l , m = mψ l , m . Очевидно, что l ( l + 1) ≥ m2 , если в качестве ψ (θ , ϕ ) - ψ l , m .$ +ψ → ψLl ,ml , m +1 , неравенство должно сохраниться, m+ - собственные значения.$ −ψ → ψLl ,ml ,m −1 , m− - последнее собственное значение, при котором неравенство верно.$ +ψ = L$ −ψ = 0 , L L ψ = ( L2 − L2 + L )ψ = ( l ( l + 1) − m 2 + m )ψ = 0 ,Если Ll ,ml ,m+−l ,mzz+l ,m+l ,mаналогично для m− ⇒ l = m+ ; −l = m− ⇒ собственные значения Lz находятся в [ −l ; l ] , всего их -( 2l + 1) .$ z отвечает своя собственная функция, но все собственныеКаждому собственному значению Lфункции имеют одно и тоже собственное значение L2 l ( l + 1) .$+ и L$ − на нормировкуψ . Они переводят их в функции ψВыясним, как действуют Ll ,ml , m +1 и ψ l , m −1 ,−+−$ +ψ = a + ψ$$ $т.е.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)