Экзаменационная теория (1124269), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда:=i+2i+1ay;yiai y i . Тогда, исходя2()()∑∑i+22dydy i =0i =0i =0∞i−nиз (∗) , ∑ ( i + 2 )( i + 1) ai + 2 − 2 ( i − n ) ai  y i = 0; ai + 2 = 2a , i = 0,1,...( i + 2 )( i + 1) ii =02m dy∞22  dy∞1ξ1k 1En =  n +  = ω  n +  = n + .2m22mψ n = H n ( y ) e− y22U(x)E2E1=3ω/2, n = 0,1,... Итого, H ( y ) = Bn S n ( y ) ,где H ( y ) - полином Эрмита, а Bn - нормировочный(коэффициент.

Bn = 2n n ! π)−1 2, S n = ( −1) eny2nd −yedy nE0=ω/2214Сферический гармонический осциллятор. Разделение переменных. Радиальная и угловаячасти.Перейдём к сферической системе координат. Пусть имеется частица в потенциальном поле U(r),зависящим только от её расстояния r до начала координат, где расположен силовой центр, и независящим от направления радиус-вектора частицы.1∆ + U ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r ) удобно решать в 2µсферической системе координат, т.е. x = r sin θ cos ϕ ; y = r sin θ sin ϕ ; z = r cos θ . θ1Оператор Лапласа в сферической системе координат: ∆ = ∆ r + 2 ∆θ ,ϕ .rСтационарное уравнение Шредингера  −φВернёмся к уравнению Шредингера: 1 12 − 2 µ  ∆ r + r 2 ∆θ ,ϕ  + U ( r )ψ ( r ,θ , ϕ ) = Eψ ( r , θ , ϕ ) .

Домножим на r : 2 1 1∆r + U ( r ) − E  −∆θ ,ϕ ψ ( r ,θ , ϕ ) = 0 (∗∗) .r  − 2µ  2µ()µ ( x) + Cµ ( y ) , тогда µµ +Cµ ψ ( x, y ) = aψ ( x, y ) , можноA ( x, y ) = BAψ ( x, y ) = BЗамечание: пусть µµφ ( x ) + φ ( x ) Cµχ ( y ) ,написать: ψ ( x, y ) = χ ( y ) φ ( x ) , тогда aψ ( x, y ) = χ ( y ) Ba=1 µ1 µBφ ( x ) +C χ ( y ) = const , x и y не связаны ⇒ равенство выполняется, еслиφ ( x)χ ( y)1 µ1 µµ χ ( y ) = λχ ( y ) и Bµφ ( x ) = ( a − λ ) φ ( x ) .Bφ ( x ) = a − λ . Получается, что CCχ ( y ) = λ ,χ ( y)φ ( x)Если эти уравнения имеют решения, то частным решением µAψ ( x, y ) = aψ ( x, y ) будет функцияψ ( x, y ) = χ ( y ) φ ( x ) . Мы провели разделение переменных. Используем (∗∗) : ψ ( r , θ , ϕ ) = 1 1= R ( r ) Y (θ , ϕ ) ,тогда: r 2  −R ( r ) Y (θ , ϕ ) ∆θ ,ϕ = 0∆ r R ( r ) Y (θ , ϕ ) + U ( r )ψ − Eψ  − 2µ 2µ 1 1 11∆ r R ( r ) + U ( r ) − E  −∆θ ,ϕ Y (θ , ϕ ) = 0r 2  − 2µ R ( r ) 2 µ Y (θ , ϕ ) 2 1 1λλ 1∆ r R ( r ) + U ( r ) + 2  = Er 2 −∆ r R ( r ) + U ( r ) R ( r ) + 2 R ( r ) = ER ( r )r  −r r  2µ R ( r ) 2µ; 111−∆θ ,ϕ Y (θ , ϕ ) = λY (θ , ϕ ) ( ∗∗∗)−∆Yθϕ=λ,()θ,ϕ2µ2µYθ,ϕ()В (∗∗∗) можно снова разделить переменные:1∂2 + sin 2 θ ∂ϕ 2  Y (θ , ϕ ) = λY (θ , ϕ )1 ∂ ∂  ∂2 −sinθsinθ+ 2  Y (θ , ϕ ) = λY (θ , ϕ ) sin 2 θ .

Тут: Y (θ , ϕ ) = ϑ (θ )φ (ϕ ) ;2µ ∂θ ∂θ  ∂ϕ −1  1 ∂ ∂sin θ2µ  sin θ ∂θ ∂θ1  1∂ ∂ 1 ∂22−sin θφϕ+2µλsinθ() = 0 sin θ ϑ (θ ) +2µ  ϑ (θ )∂θ ∂θ φ ( ϕ ) ∂ϕ 2151 ∂2φ (ϕ ) = υφ (ϕ ) , k 2 = 2 µυ−(1)22 µ ∂ϕ.− 1 sin θ ∂  sin θ ∂  ϑ (θ ) − λ sin 2 θ ⋅ ϑ (θ ) = −υϑ (θ ) (2) 2µ∂θ ∂θ Решение (1): φ (ϕ ) = Ae kϕ + Be− kϕ . Функция должна удовлетворять φ (ϕ + 2π ) = φ (ϕ ) ⇒()()A e k (ϕ + 2π ) − e − kϕ = − B e − k (ϕ + 2π ) − e − kϕ ; Ae kϕ ( e2π k − 1) = − Be − kϕ ( e −2π k − 1) ;Ae 2kϕ ( e 2π k − 1) = − B ( e −2π k − 1) , где Ae 2kϕ ( e 2π k − 1) зависит от ϕ , а − B ( e−2π k − 1) - константа.m ∈ 0, ¥ ⇒ υ < 0 .

ПоэтомуТ.о. e 2π k = 1 и e −2π k = 1 . Тогда k = 2mυ = mi;2m. Решение (2) более сложное.2µЕсли вместо θ взять u = cos θ , то при условии, что 2µλ = l ( l + 1) , l ∈ 0, ¥ , получится такφ (ϕ ) = Aeimϕ + Be − imϕ ,υ = −называемое присоединённое уравнение Лежандра, решением которого служит присоединённый()полином Лежандра Pl m ( u ) : Pl m ( u ) = ( −1)единицу функции: ϑlm (θ ) =(1 − u )2 m2l2l L !( 2l + 1) ( l − m )! ⋅ P m2( l + m )!lфункции ϑlm (θ ) ортогональны друг другу. ϑl ′ ϑlm′ld l +m1 − u 2 ) .

Нормированные наl +m (du( cos θ ) . При одном и том же m и различных lm= δ l ′lδ m′m . Итак, в центральном полеволновые функции частиц представлены в виде произведений трёх функций:ψ ( r ,θ , ϕ ) = R ( r ) θ l φ (ϕ ) . Видно, что E и R ( r ) зависят от λ , следовательно, и от l , но неmзависят от m .

Угловые функции не зависят от µ , U ( r ) .Жёсткий ротатор.Это материальная точка, вращающаяся вокруг неподвижного центра. Момент импульсасохраняется.m=2L = l (l + 1)h , l – орбитальное квантовое число; l=0, 1, 2,3…m=1F2 =l (l + 1)h. Lz = mh [m – магнитное квантовое число]2Im= 0, ±1, ±2, … , ±l; ∆E = E l − E l −1 =m=0[l (l + 1) − (l − 1)l ] h 22Im=-1m=-2Lx Ly − Ly Lx = iLz ; Ly Lz − Lz Ly = iLx ; Lz Lx − Lx Lz = iLy .

Собственные значения выводятся, исходяиз оператора повышения и понижения. Lz :L+ = Lx + iLy ; L− = Lx − iLy . Если m – собственноезначение для Lz , то l (l + 1) ≥ m 2 - с.з. для L2 .Сложение моментов. Если в классике L1,2 = L1 + L2 , то в квантовой механикеL2 = ( L1 + L2 ) = L12 + L22 + L1L2 + L2 L1 , т.е.

ситуация сложнее. Сложение моментов – это2построение собственных функций L2 по собственным функциям L12 и L22 . Из всевозможныхпроизведений функций, собственных для L12 , L22 , L1z , L2 z , можно построить собственные функции16для L2 с собственными значениями, задаваемыми числами: l = l1 + l2 , l1 + l2 − 1,..., l1 − l2 .

Тогда, l (l + 1) 0 0  −l 0 0 согласно матричному представлению: L =  0 l (l + 1) 0  ; Lz =  0 O 0  . i – строки, j –столбцы M 0 0 lM M 2Для L+ над диагональю:l ( l + 1) − m j ( m j + 1)δ i , j +1 , остальное – ноль.L+ + L−L + L−; Ly = +.Если l =1, 2l + 1 = 322i0 2 0  0 0 0 0 1 2 0  0 1 2 0 1 0010 0 12L = 2  01 0  ; Lz =  0 0 0  ; L+ =  0 0 2  ; L− =  2 0 0  ; Lx =  2 0 1 2  ; Ly =  −1 2 0 1 2  0 01  0 0 −1 0 0 0  0 0 1 0  0 −1 0 2 022()Для L− под диагональю: l ( l + 1) − m j m j − 1 δ i , j −1 ; Lx =Задача об атоме водорода. Разделение переменных.

Дискретный спектр.1. Электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, каждой изкоторых можно приписать определенный номер. Такое движение соответствует. Это означает, чтостационарному состоянию атома с неизменной полной энергиейдвижущийся по стационарной замкнутой орбите электрон, вопреки законам классическойэлектродинамики, не излучает энергии.2. Разрешенными стационарными орбитами являются только те, для которых угловой моментимпульса L электрона равен целому кратному величины постоянной Планка . Поэтому для -ойстационарной орбиты выполняется условие квантования3.

Излучение или поглощение кванта излучения происходит при переходе атома из одногостационарного состояния в другое (рис. 5.4). При этом частота излучения атома определяетсяразностью энергий атома в двух стационарных состояниях, так чтоcпл.спектрl – орбитальное, n – главное, m – магнитное. Зависимость U(r):rЭнергия зависит только от главного квантового числа. E = −1n=1Одномуи тому же значению E22nможет отвечать несколько знач. волн. ф-ции, описывающих сост.

системы – вырождение поэнергии.Задача об атоме водорода – это задача о двух частицах, взаимодействующих между собой безкакого-го либо внешнего воздействия. Атом водорода включает ⊕ и e , взаимодействующие поkq1q2l2,U=−. Пусть у ядра заряд ze , тогда для ⊕ и e :r2rµ = 1 p2 + 1 p2 + U (r ) = − 1 ∆ − 1 ∆ − z , e = 1.H12122m12m12m12m1rкулоновскому закону:F:Декартовы координаты ядра x1 , y1 , z1 , 2 частицы - x2 , y2 , z2 . Переходим от исходных радиус-rrm1r1 + m2 r2 rrrи r = ar1 + br2 ,Mrrr rrr r rbMm2r r aRM − m1rпричём R и r линейно нез-мы. Выразим r1 и r2 : r1 =R−r ; r2 =.bm1 − am2bm1 − am2am2 − bm1rвекторов частиц к координатам центра масс. Введём радиус-вектор R =17µp = −ih ∂x∂x( h = 1) ; тогда∂∂X ∂∂x ∂ m1 ∂∂∂m ∂∂=+=+a ;= 2+b ;∂x1 ∂X1 ∂X ∂x1 ∂x M ∂X∂x ∂x1 M ∂X∂xаналогично для y и z.

Исходя из этого, получим:2222222µ = − 1 ∂ − 1 ∂ = − 1 ∂ − 1  a + b  ∂ − a + b ∂ . Пусть для простотыH2m1 ∂x12 2m2 ∂x222M ∂x12 2  m1 m2  ∂x22M ∂X ∂xrrrrm2 rm1rr r r rrи r2 = R −. Итого:a + b = 0 , a = 1 . Тогда: r = r1 − r2 , r1 = R +MM−1222222µ = − 1 ∆ − 1 ∆ − z , где ∆ = ∂ + ∂ + ∂ , ∆ = ∂ + ∂ + ∂ , µ =  1 + 1  .HRR2M2µr∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 m1 m2 µ не зависит явно от времени, поэтому переходим к стационарному уравнению Шредингера:Hµψ = Eψ . 1 слагаемое зависит от X,Y,Z; 2 – от x,y,z, следовательно, волновую функцию можноHискать в виде ψ = χ ( R ) φ ( r ) и разделить переменные:11µz H = − 2M ∆ R − 2 µ ∆ − r  χ ( R ) φ ( r ) = E χ ( R ) φ ( r ) ,11−∆χφ=χφ−∆ R χ ( R ) = E χ ( R ) (1)RrERr()()()()R2M2M; ; − 1 ∆ − z  φ ( r ) χ ( R ) = E′χ ( R ) φ ( r )  − 1 ∆ − z  φ ( r ) = E ′φ ( r ) (2) 2 µ 2 µrrсвободному движениюE ′ = E − ε (полная минус поступательная).

Уравнение (1) соответствуетrr rrr rikR«частицы» M и радиус-вектору R . Так, что χ ( R ) = Ae , k = 2mEn , n - единичная волна внаправлении движения. A – нормировочный множитель. Уравнение (2) соответствует задаче очастице в центральном поле с массой µ .

Перейдём к сферическим координатам, разделимпеременные θ , ϕ и r , получим 2 уравнения - радиальное и угловое: 1 1 ∂  2 ∂  1 z rrrφ ( r ) = F ( r ) Y (θ ,ϕ ) . Тогда:+ 2 ∆θ ,ϕ  −  φ ( r ) = E ′φ ( r ) ;r−2 r 2 µ  r ∂r  ∂r  r 1  ∂  2 ∂ r+ ∆θ ,ϕ  − zr  F ( r ) Y (θ , ϕ ) = r 2 E ′F ( r ) Y (θ , ϕ ) .− 2 µ  ∂r  ∂r 1 1 ∂  2 ∂ 2− F r 2µ ∂r  r ∂r  F ( r ) − zr − r E ′ = − λ (1)( )11−∆θ ,ϕ Y (θ , ϕ ) = λ (2)2µ Y (θ , ϕ )l ( l + 1)1 1 ∂  2 ∂ (1) : −rF ( r ) − zr += E ′r 2 ;F ( r ) 2 µ ∂r  ∂r 2µ− 1  $2(2) :  − L Y (θ , ϕ ) = λY (θ , ϕ ) = 2µ l ( l + 1)1=l ( l + 1) Y (θ , ϕ ) ; λ =2µ2µF ( r ) z l ( l + 1)1 1 ∂  2 ∂ +F ( r ) = E ′F ( r ) .

Получим:r F (r) −22µ r ∂r  ∂r r2µ r 218 1z1 l ( l + 1)∆r F ( r ) − F ( r ) + 2F ( r ) = E′F ( r ) (1)−2µrr 2µ. Остановимся только на решении1+ll()1−∆θ ,ϕ Y (θ , ϕ ) =Y (θ , ϕ ) (2)2µ2µрадиального уравнения. Если сделать замену r = λ x , то полученное уравнение можно свести куравнению для присоединённых полиномов Лагерра: Lβα ( x ) = α n2+l +l 1 ( x ) ; n = 1, 2,...; l = 0,1,..., n − 1 ,d β  x dα αопределённых L ( x ) = β ex − e − x )  . Решение радиального уравнения представляетсяα (dx  dx n в виде φn ,l ( r ) = φn ,l x  = ϕn,l ( x ) = An ,l xll − x r L2nl++l1 ( x ) .2µzβα∞Функции φn ,l ( r ) и φn′,l ( r ) при n ≠ n′ ортогональны: φ ∗ n ,l ( r ) φ ∗ n′,l ( r ) r 2 dr = δ n , n′ .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)