Экзаменационная теория (1124269), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Ll ,ml , m l , m +1 ; L −ψ l ,m = al , mψ l ,m −1 ; L + L −ψ l , m = al ,m al , m +1ψ l , m = l ( l + 1) − m ( m + 1) ψ l , m .(+ 2$+ L$ − наψ : ψ L$+ L$+ ψ$$Среднее значение L⇒ al+, ml ,ml ,ml , m = L +ψ l , m L +ψ l ,m = al , m( )∗)= al−, m+1u;al+,m = l ( l + 1) − m ( m + 1) .Простейшие случаи матричного представления операторов углового момента.Пусть есть множество ψ i , i = 1,..., N , тогда с этими функциями для µA можно определитьматричные элементы Aij = ψ i µA ψ j .

Они могут быть записаны в виде матриц. Если бы функцииψ i образовывали полный набор, то такая матрица полностью представляла бы оператор µA , т.е.задавала бы его в базисе функций ψ i .Если ψ i - собственные функции для B , то говорят, что µA задан в B -представлении.9Найдём матричное представление Lx , Ly , Lz , L2 в базисе собственных функций L2 и Lz . Пусть2µзадано l . L : ψ l ,mi L2 ψ l , m j = l ( l + 1) ψ l ,mi ψ l , m j = l ( l + 1) δ ij .

При i=j на диагонали получаемодно и то же число l ( l + 1) , недиагональные элементы равны нулю. Lz :ψ l ,mi Lz ψ l , m j = m j ψ l , mi ψ l , m j = m jδ ij . Матрица тоже диаг., на диагонали стоят m j ∈ [ −l ; l ] .L+ : ( L+ )ij = ψ l , mi L+ ψ l , m j = al+,m j ψ l ,mi ψ l ,m j = al+,m j δ i , j +1 = l ( l + 1) − m j ( m j + 1)δ i , j +1 .al−,m = ( al+, m−1 ) ⇒ ( L− )ij = l ( l + 1) − m j ( m j + 1)δ i , j −1 .

У матрицы L+ будут отличны от нуля∗элементы только на побочной диагонали, стоящей над главной диагональю, для L− - под. 0 a..  0 0.. L+ = ; L− =  ; Lx = 0.. 0..  a.. 0.. 0 10 0 10 0 2L = 2  01 0  ; Lz =  0 0 0  ; L+ =  0 0 01  0 0 −10L+ + L−L + L−. Пример: l = 1; 2l + 1 = 3; m = −1, 0,1 .; Ly = +22i 0 0 0 0 1 2 0  0 1 2 0 2 0 0 2  ; L− =  2 0 0  ; Lx =  1 2 0 1 2  ; Ly =  −1 2 0 1 2  0 0 1 0  0 −1 0 0 0 2 02210Системы с непрерывным энергетическим спектром. Нормировка волновых функций.Множество собственных значений, которые может принимать оператор, образуют спектрсобственных значений.

Если множество собственных значений образуется за счёт объединениянепрерывно изменяющейся энергии, то спектр называется непрерывным. Пусть есть стационарноеуравнение Шредингера, пусть есть решения стационарного уравнения Шредингера. Напишемрешения временного уравнения Шредингера. Части решения имеют вид:ψ ( x, t ) = ψ ( x, E ) e − iEt ; общее решение E ∈ [ 0; ∞ ) :E2ψ ( x, t ) =∫ c ( E )ψ ( x, E ) e− iEtdE , c ( E ) задаётся начальным условием ψ ( x, t = 0 ) .E1Пусть c ( E ) явно не зависит от времени и c ( E ) интегрируем.2 E2 ∗  E2∗− iE ′tПусть N = ∫ ψ dx = ∫ dx  ∫ c ( E ′ )ψ ( x, E ′ ) e dE ′   ∫ c ( E )ψ ( x, E ) e − iEt dE  = E1  E1−∞−∞′−= ∫∫ dE ′dEc∗ ( E ′ ) c ( E ) ei( E E )t ∫ψ ∗ ( x, E ′ )ψ ( x, E ) dx ,∞( ∫ψE′ ≠ E ;∞22(∗)( x, E′ )ψ ( x, E ) dx ) = δ ( E ′ − E ) - дельта-функция Дирака.а).

δ ( E ′ − E ) = 0 при E ′ ≠ E ,E2б).∫ δ E ′f ( E ′) δ ( E ′ − E ) = f ( E ) = 0 , E ∈ [ E , E ] .12E1Полученная при таком подходе нормировка ψ ( x, E ) называется нормировкой на δ -функцию.N 2 = ∫∫ dE ′dEc ∗ ( E ′ ) c ( E ) ei ( E′− E )tδ ( E ′ − E ) = ∫ dE c ( E ) . По условию2∫ c(E)2dE конечен,поэтому для нормировки ψ достаточно потребовать, чтобы в исходной функции было c ( E ) ∈ ¥ .Рассмотрим одно из конкретных решений уравнения Шредингера.Для свободной частицы: ψ ( x, E ) = Aeikx + Be− ikx , k = 2mE . Возьмём частное решение B = 0 .Тогдаψ ( x, E ) = Ak e .

Рассмотрим fikxL= Ak∗′ Ak∗ ∫ ei( k−L′− k ) xdx = Ak∗′ Ak∗∗Li (k′ − k )−LL( E ′, E ) = ∫ dxψ ( x, E ′ )ψ ( x, E ) = ∫ Ak∗′eik ′x Ak∗e−ikx dx =∗−Li ( k ′− k ) xeL= Ak∗′ Ak∗ei ( k ′− k ) L−i ( k ′− k ) L−ei (k′ − k )−L= Ak∗′ Ak∗ L2 Ak∗′ Ak∗ L - константа. f ∗ ( E ′, E ) будет зависеть главным образом ота). ( k ′ − k ) → 0 , т.е. k ′ = k = 0 ⇒sin ( k ′ − k ) L→1(k′ − k ) Lб). k ≠ 0 . L ↑⇒ синус стягивается, а высота пика кцентру растёт, но и затухание происходит быстрее:в). L → ∞ ⇒ f → δ -функции: δ ( x )dx = 1∫δ(x)2sin ( k ′ − k ) L, где(k′ − k ) Lsin ( k ′ − k ) L.(k′ − k ) Lf-ππ(k′ − k ) L11Одномерное движение.

Прямоугольный потенциальный ящик с бесконечно высокимистенками. Прямоугольный потенциальный барьер.1 d2µРассмотрим одномерное стационарное уравнение Шредингера H = −+ U ( x ) , которое2m dx 22µψ = Eψ . Тогда d ψ = 2m (U ( x ) − E )ψ . Чтобы существовала ψ ′′ , необходимозапишем: Hdx 2существование ψ и ψ ′ ∈ C . ψ ′′ определяется поведением U ( x ) . Из вероятностного смыслаψ ( x ) следует, что функции ψ должны быть всюду ограничены. Вблизи x0 , где потенциал2ограничен, в том числе и там, где он разрывен, можно написать:ψ = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) + ο ( x − x0 ) , где ai - постоянные величины, ο ( x − x0 ) 222функция, стремящаяся к нулю быстрее, чем ( x − x0 ) при x = x0 ; a0 = ψ ( x0 ) ; a1 = ψ ′ ( x0 ) ,2коэффициент a2 при наличии разрыва в точке различен слева и справа от этой точки и a2 = ψ ′′ 2 .Если найдены решения ψ n и ψ np уравнения Шредингера, то в точке x0 они удовлетворяют′ ( x0 ) .

Если же потенциал U ( x ) → ∞ , вусловиям сшивания: ψ n ( x0 ) = ψ np ( x0 ) ;ψ n′ ( x0 ) = ψ npd 2ψобласти x ≥ x0 соотношение 2 = 2m (U ( x ) − E )ψ будет иметь смысл, только если ψ всюду вdxэтой области обращается в ноль. Т.е. имеется бесконечно высокая потенциальная стенка, запределы которой частица не проникает. Обычно граничное условие ψ np ( x ) = 0 .UUx>x0x>x00x0x0x0Одномерный прямоугольный потенциальный ящик.xV ( x ) = 0, x1 ≤ x ≤ x2.внеV ( x ) = ∞Условия сшивания: ψ ( x0 − 0 ) = ψ ( x0 + 0 ) ;ψ ′ ( x0 − 0 ) = ψ ′ ( x0 + 0 ) .

LL, x2 = , L − длина ящика. В областях x > x2 и x < x1 волновая функция равна221 d 2ψнулю. В самом ящике U ( x ) = 0 , уравнение Шредингера имеет вид: −= Eψ . Это2m dx 2дифференциальное уравнение имеет два частных решения при заданной E: sin kx и cos kx .

Общеерешение имеет вид: ψ E ( x) = A sin kx + B cos kx, k = 2mE . Эти решения должны удовлетворятьПусть x1 = −условию ψ E ( − L 2 ) = ψ E ( L 2 ) = 0 (из условий сшивания). A sin ( − kL 2 ) + B cos ( − kL 2 ) = 0π 2n2π 2n2, откуда: kL = π n, 2 = 2 Em; En =, n ∈ ¥ - при такихL2mL2 A sin ( kL 2 ) + B cos ( kL 2 ) = 0дискретных значениях энергии уравнение Шредингера имеет решение.n=1n=2n=312ψ n = An sinLπn x +  , An - не определены. Вероятность обнаружитьL 2L 2∫частицу в ящике 1 =L 2ψ n dx = An22−L 2∫−L 2sin 2πn L2 L x +  dx = An ⇒ An = 2 L . ВолноваяL 22функция получена.

Спектр дискретен.Ступенька потенциала или потенциальный барьер.Пусть U = 0 при x < 0 , U = U 0 при x ≥ 0 . Тогда уравнение Шредингераимеет решение: I. ψ I = AI ei χ x + BI e − iχ x ≡ a1 cos χ x + b1 sin χ xa1 = AI + BI ; b1 = i ( AI + BI ) ; −d2ψ I = 2mEψ I χ = 2mEdx 2IIU0Id2II.

− 2 ψ II = 2m ( E − U 0 )ψ II ; а). E > U 0 : ψ IIa = AII eikx + BII e − ikx .dxб). 0 < E ≤ U 0 : ψ IIb = AII e λ x + BII e − λ x . Поскольку λ в ψ IIb - действительное пололжительноечисло, а волновая функция при x → ∞ должна быть ограничена ⇒ a = 0 и ψ IIb = Be − λ x . Функцииψ I и ψ II , ψ I′ и ψ II′ должны быть сшиты в точке x = 0 , в точке, где они непрерывны. Перейдём кследующим условиям сшивания (решения действительны при всех положительных значениях E):а). E > U 0 : AII = α AI − β BI BII = α AI − β BI , где α =χ +kχ −k, β =.2k2k2χiχ + λAI BI =AI .

Возникает туннельный эффект. Коэффициентχ + iλiχ − λ 2 x2прозрачности: D = D0 exp  − ∫ ( 2mU 0 − E )dx  hx1б). E < U 0 : b =Одномерное движение гармонического осциллятора.Рассмотрим случай одномерного движения в рамках теории гармонического осциллятора.

Пустьна материальную точку массой m0 действует упругая сила Fупр = − kx , следовательно, уравнениеx = − kx ; x = a cos ωt или x = A sin (ωt + δ ) ; ω =движения осциллятора: m0 &&km0;ax = − aω 2 cos ωt ≠ 0 . Колебания заряженной частицы сопровождаются излучением,интенсивность которого пропорциональная полное энергии гармонического осциллятора.xxU ( x ) = − ∫ F ( x ) dx = − ∫ − kxdx =00ω 2 m0 x 2 ω 2 m0 a 2 cos 2 ωt=;22m0 ( − aω sin ωt )m a 2ω 2 sin 2 ω tm a 2ω 2 ka 2= 0; U ( x) + T = E = 0=. E : ω 2 .

В точке − ax :2222rrx = ± a , ν част = 0 , частица далее начинает двигаться в противоположном направлении ν max в2T=x = 0 . Перейдём к квантовомеханической системе. U ( x ) не зависит от t , тогда рассмотримµψ =  − 1стационарное уравнение Шредингера. Hdk + x 2 ψ ( x ) = Eψ ( x ) .22  2m dxПри x → ±∞ , U ( x ) → ∞ ⇒ волновая функция ψ ( x) → 0 , т.е. происходит финитное движение.Вспомним, что функции, являющиеся решениями уравнения Шредингера, при условии, что V > Eпри x > xr и x < xl , отвечают финитному движению, т.е. движению в конечной области иобладают интегрируемым квадратом модуля. Собственные функции для одномерногогамильтониана ортогональны, если они относятся к разным собственным значениям. В13одномерных задачах функции, отвечающие финитному движению, невырождены.

Если у нас естьпотенциал, ограниченный слева и справа бесконечно высокими стенками (ψ граничн. = 0 ), то прирасширении границ собственные значения уменьшаются. Для волновой функции низшегособственного значения E дискретного спектра не имеет узлов. При возрастании их количествоувеличивается на единицу.1 − f ( x)ef ′( x) )′ =(2m11k1 − f ( x)12=f ′′( x) −ef ′( x) +f ′( x) ( − f ′( x ) ) e − f ( x ) ⇒( f ′( x) ) + x 2 = E . Если при2m2m2m2m2увеличении x f ′′ растёт медленнее, чем f ′ , то пренебрежём E и f ′′ .

Тогда получим:Пусть ψ ( x ) = e − f ( x ) (ψ ( x ) = 0 , x → ±∞ ⇒ f ( x) ↑ при x → ±∞ ). Тогдаx2k 2df122′f(x)x;kmx;fx=±km.=±=откуда:()( )2m2dx2ξkm 2−− x2xkm 2ψ = e− f ( x) ; f ( x ) = ±x ; f ( x ) > 0 ⇒ ψ ( x ) = P ( x ) e 2 , ξ = km ;ψ ( x ) = P ( x ) e 2 ;2ξ2− x2mE 1dψ 1 k 21 d 2PdP2− . Если− 2+ x ψ ( x ) = Eψ ( x ) : ξ e⇒− 2x+ 2nP = 0; где n =2dx 2m 2ξ dxdx2ξввести y = ξ x , то получится уравнение Эрмита (∗)()Тогда: ψ ξ −1 2 y = S ( y ) e − y22d 2SdS− 2y+ 2nS = 0; S ( y ) = P (ξ −1 2 y ) .2dydy222µψ = − 1 ξ d + ky = ω  d + y 2  . Пусть S ( y ) можно. H 222ξ∞dSd Si=записать как сумму ∑ ai yi .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)