Экзаменационная теория (1124269)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Основные постулаты квантовой механики. Квантовые состояния и волновые функции.Предмет изучения к.м. – микромир (лин. разм. частиц – 10-6-10-13 см). Вводятся понятияпространства и времени, понимаемые интуитивно. Вводится понятие элементарной частицы сзарядом q и массой m. Положение частицы в пространстве при выбранной системе отсчётазадаётся с помощью радиус-вектора (координат этого вектора). Задаётся момент времени t.Считается, что задаются импульс, момент импульса и т.д.

Полагают, что точное положениечастица неизвестно, но даётся вероятность его появления. Квантовое состояние считаетсязаданным, если задана функция от пространства переменных и времени, которая позволяетвычислить все характеристики системы, в том числе вероятность. Такая функция называетсяr rrволновой функцией. ψ = ψ ( r1 , r2 ,..., rN ; t ) - волновая функция, не зависящая от импульса искорости. Она удовлетворяет дифференциальному уравнению Шредингера.Для каждой наблюдаемой величины должен быть задан соответствующий оператор (правилопреобразования), переводящий функцию состоянияψ в новую функцию ϕ , которая вместе с ψпозволяет определить численное значение наблюдаемой функции.Постулаты:Постулат о волновой функции.

Любая система описывается некоторой функцией – волновойфункцией, описывающей состояние системы и любого из её параметров в любой момент времени.ψ (q1 ,..., qs , t ) , причём физический смысл имеет лишь квадрат модуля функции, задающийраспределение вероятностей координат системы: ψ ( x, t ) ⋅ dτ = dW , где τ - совокупность всех2пространственных переменных; ψ ( x, t ) – амплитуда вероятности. Она должна бытьинтегрируема с квадратом или нормирована, т.е. должна быть функцией из гильбертова∫пространства ( ψ dτ = 1 ).

Нельзя наблюдать траекторию, и событие определяется как сумма2амплитуд вероятностей. Это нам показывает:Принцип суперпозиции. Если для системы возможно состояние ψ 1 , а так же состояние ψ 2 , всякаяфункция ψ = ψ 1c1 + ψ 2 c2 описывает такое состояние, в котором измерение даёт либо результатψ 1 , либо ψ 2 ; c1 и c2 - произв. комплексные числа, удовл. нормировке.Принцип неопределённости. Наблюдатель не в состоянии определить состояние частицынезависимо от наблюдателя.1.Классические уравнения движения нужно перевести на квантовый язык, для этого любойфизической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор, потенциальнодействующий на функцию состояния:∫fˆψfˆψfˆψ ∗2dW = ∫⋅ ψ dτ = ∫⋅ψ ⋅ψ dτ = ∫ψ ∗ fˆψ dτψψψЕдинственно возможными величинами, которые может иметь физическая величина, являютсясобственные значения этого оператора, которые мы и получаем при измерении.∧∂ ∧∂В частности, операторы координаты, импульса и энергии: x$ = x , p x = −ih, E = −ih∂x2.Возможная волновая функция состояния системы получается при решении∂t∧∂ψ= H ψ .

Гамильтониан системы N частиц (с∂τ2Nµ = Tµ + Vµ = − h ∆ + U (rr, t ) .координатами xi , yi , zi ): H∑ii =1 2 mдифференциального уравнения Шредингера ih3.Единственно возможными значениями, которые могут быть получены при измерении4.Постулат о среднем. Среднее значение физической величины A, кот. сопоставлен µA, вдинамической переменной A, являются собственные значения оператора µA.состоянии ψ определяется: Aψ=ψ µAψ= ψ µA ψ (посл.- в случае нормировки на 1).ψ ψ2∧∫(или A = ψ ∗ Aψ dτ ). Akψ= ∑ ci ai , т.е.

состояние системы определяется суперпозицией2i =1неск-х состояний ψ i , и вероятность «выбора» i-го состояния определяется его «весом» ci . Т.о. в2результате N измерений мы обнаружим частицу N c12раз в состоянии ψ 1 и т.д.µСл. 1. Физ.величина в состоянии ψ им. точное значение, если функц. ψ явл. собств. ф-ей ψСл. 2. Если 2 опер.

им. общ. сау соб.ф-ций (комм), то отвеч-е им физ.вел. могут быть измерены сзаданной точностью, т.е. могут иметь определённые значения.Сл. 3. Если опер. не комм., то их физ.вел. могут быть измерены только с соотв. неопред., согл.Принципу неопределённости, произведение среднекв.откл. вел. A и B:( ∆A )2( ∆B )2µ = −i  µµ  ∆A, B = Aµ, Bµ− A , B .≥ 1 4 C2 , CA, BОсновные соотн. неопределённостей:µ , t$ ∆x∆px ≥ h 2; ∆E ∆t ≥ h 2, т.к.  x$ , ¶px  = ih =  E dµA dµA ∂µA i µµ µµ∂µA µ µДля оператора=+ H A − AH =+ H , A . - квантовые ск.Пуассона.:dtdtdt hdt(){ }Временное и стационарное уравнения Шредингера:Изменение функции состояния ψ во времени определяется уравнением Шредингера:∂ψ µµ - оператор Гамильтона. Это уравнение определяет волновую функцию ψ при= Hψ ; H∂trзаданной функции состояния в начальный момент времени t=0: ψ (r , t = 0) = ψ 0 .µ не зависит явно от времени (т.е.

сохраняется энергия системы). ПустьПусть Hih∂χ ( t ) µ rrr∂rr1  ∂χ ( t ) 1 µ rψ ( r , t ) = χ ( t ) ϕ ( r ) ; ih ψ ( r , t ) = ϕ ( r ) ih= Hϕ ( r ) χ ( t ) ;Hϕ ( r ) ih=∂t∂tχ (t ) ∂t  ϕ ( t )rТ.к. r и t независимы, то это равенство возможно лишь если обе части равны E, т.е.∂χ ( t )µϕ ( rr ) = Eϕ ( rr ) - стационарноеih= E χ ( t ) - временное уравнение Шредингера, H∂t −iE уравнение Шредингера.

Решение временного может быть в виде χ (t ) = A exp t  . Второе же h уравнение может иметь несколько решений; может быть так, что разным Ek соответствуют разныеϕk , а может, что одной Ek отвечает несколько ϕkl , l = 1, 2,..., n . Множество собственныхзначений оператора – спектр. Он бывает дискретным (множество конечно) и непрерывным(множество бесконечно).3Операторы квантовой механики. Линейные, эрмитовы, унитарные операторы. Собственныефункции и собственные значения операторов. Матричное представление операторов.Средние значения наблюдаемых величин.На векторном пространстве можно определить линейные преобразования – линейные операторы,переводящие векторы из этого пространства в векторы в общем случае другого пространства:rrrry=µAx ; они удовлетворяют требованиям: 1).

µA ( ax ) = a µAx , где а – любое число;r rrr2). µA( x + y) = µAx + µAy , x и y могут быть функциями. Эти свойства можно записать:rrrrµ , очевидно,µA ( c1 x + c2 y ) = c1 x µA + c2 y µA . Пусть у нас есть две функции ψ и ϕ . Оператор Hлинеен; уравнение Шредингера в этом случае тоже носит линейный характер, следовательно,можно ввести нормировку волновой функции (за счёт умножения на комплексное число α ). Еслиψ и ϕ - 2 решения временного уравнения Шредингера, то ∀ их линейная комбинация c1ϕ + c2ψ тоже будет решение этого уравнения.Принцип суперпозиции: 1) Если ψ и ϕ - волновые функции, описывающие состояния, в которыхможет находиться система, то она может находиться в состояниях, описывается волновойфункцией, образующейся из ψ и ϕ с помощью линейного преобразования:Ψ = c1ϕ + c2ψ ; c1 , c2 − ∀ комплексные числа, не зависящие от времени.

2). Если волновуюфункцию умножить на комплексное число, не равное нулю, то полученная волновая функциябудет соответствовать тому же состоянию системы.Эрмитовость операторов.a = ψ ∗ Aψ dτ = ψ A ψ (интеграл по всей области дельта пространства переменных). Это∫среднее значение должно быть вещественным: a∗= ∫ψ ( Aψ ) dτ = Aψ | ψ = a .∗Используемые в квантовой механике операторы, значения которых вещественны, называютсяэрмитовыми, или самосопряжёнными. Эрмитовость оператора можно определить:ψ A ψ = ψ Aψ = Aψ ψ = ψ A ψ∗- если это условие выполняется, то линейный операторA эрмитов. Произведение эрмитовых операторов является тоже эрмитовым оператором, если оникоммутируют.Операторы можно представить в виде матриц.

Если элементы матрицы A+ равны элементамматрицы A, где A+ - матрица с элементами, одновременно транспонированными и комплексносопряжёнными по отношению к A, то матрица называется эрмитовой. В вещественномпространстве эрмитова матрица симметрична: оператор, отвечающий такой матрице, эрмитов.Матрицы, преображающие векторы пространства ¡ без дельта длины, называются унитарными(ортогональными в вещественном пространстве). Оператор, отвечающий такой матрице,()µ x ,Uµ x = ( x, x ) , Uµ +Uµ = 1.унитарный, т.е. UСобственные функции и собственные значения операторов.A.Пусть есть величина A, характеризующая состояние квантовой системы, ей отвечает оператор µЕсли в состоянии, характеризующемся волновой функцией ψ , физическая величина A имеетзначение a, то говорят, что у µA ψ - собственная функция, а a – собственное значение оператора наψ: µAψ = aψ (функция считается нормированной).1).

Пусть у некоторого эрмитова оператора µA есть два собственных значения ϕ1 и ϕ2 исоответствующие им собственные значения a1 и a2. Рассмотрим:( )ϕ1 µA ϕ1 = ∫ ϕ1∗ µAϕ1dτ = a1 ∫ ϕ1∗ϕ1dτ ; ϕ1 µA ϕ1 = µAϕ1 ϕ1 = ∫ µAϕ1 ϕ1dτ = a1∗ ∫ ϕ 1∗ϕ1dτ , a1 = a1∗ ∗4∫вещественные значения; a1 ∈ ¡ , то, если ϕ1∗ϕ1dτ = 1 , т.е. ϕ1 нормирована на 1, тогда a1 – это исобственное значение оператора µA на ϕ1 , и его среднее значение (аналогично для ϕ2 ).Рассмотрим: ϕ1 µA ϕ 2 = ϕ1∗ µAϕ2 dτ = a2 ϕ1∗ϕ2 dτ = a1∗ ϕ1∗ϕ 2 dτ =∫∫∫∫ ( µAϕ ) ϕ dτ . Если a∗121≠ a2 ,∫∗равенство верно, если ϕ1 ϕ 2 dτ = 0 , т.е. функции ортогональны, но, т.к.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)