Михайлов Г.К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) (1124042), страница 4
Текст из файла (страница 4)
кинетической энергии), при внезапных увеличениях поперечного сечения потока, например, при поступлении жидкости через отверстия в большие сосуды, Взгляды Бернулли на потери живой силы при движении жидкости и возможность перехода части ее к субмакроскопическим движениям среды приближают нас к пониманию общего закона сохранения энергии. Далее в 'Тидродинамике" следует раздел, посвященный эффективности работы гидравлических машин, где Бернулли четко оперирует понятием механической работы и вычисляет коэффициент полезного действия ряда простейших гидравлических устройств. После этого он рассматривает движение упругих (сжимаемых) жидкостей, предлагает элементарную кинетическую теорию газов, рекомендует на ее основе определять температуру пропорционально внутренней энергии движения частиц газа (что соответствует по существу шкале Кельвина) и рассчитывает истечение газов в предположении его изотермичности".
Наконец, в разделе Х11 "Гидродинамики" изложен метод определения давления потока на стенки труб. Это открытие Бернулли внесло коренной переворот во все представления ученых о давлении в потоках жидкости. Своеобразный и трудный для з Исследование аднабатнческнх течений газа было начато лишь в первой половине Х!Х века после введения этого понятия П.С. Лапласом (1749-1827), а сам термин "аднабатнческнй" был введен еще нозясе У.Дж, Рэнкнном (1820 — 1872). 15 9 дг( В Фиг. 3 современного читателя вывод формулы Бернулли, лежащей в основе того, что . называется теперь интегралом Бернулли, заслуживает подробного рассмотрения.
Бернулли формулирует задачу о нахождении давления в б 5 раздела ХП следующим образом: "Пусгь имеется весьма обширный сосуд АСЕВ, снабженный цилиндрической и горизонтальной трубой ЕР (см. фиг, 3), который должен постоянно поддерживаться полным воды, и пусть в конце трубы имеется отверстие о, выбрасывающее воды с равномерной скоросгью. Требуется определить давление воды на стенки трубы ЕР". Решение поставленной задачи Бернулли сводит к отысканию начального ускорения жидкости в предположении мгновенного разрыва трубы.
Скорость истечения жидкости (воды) из отверстия (или, точнее, принятая у Бернулли мера ее) из = з/а, где а— высота уровня воды в сосуде над выходным отверстием'". Если отношение площади поперечного сечения трубы к площади выходного отверстия ь1з/ьзз = и, то скорость в трубе составляет" и, = з) а/и. В случае, если бы концевое сечение трубы ЕР было полностью открыто, скорость жидкости в трубе составляла бы, очевидно, также пз. Однако частичное перекрытие сечения ГР торцевой стенкой с отверстием о препятствует свободному истечению жидкости, обусловливает ее сжатие и создает тем самым давление в потоке и на стенки трубы.
"Ясно, — пишет Бернулли, — что давление стенок ззропорцнонально ускорению или приращению скорости, которую приобрела бы вода, если бы мгновенно исчезла всякая помеха для движения, так что она выбрасывалась бы прямо в воздух". Поэтому для определения давления на стенки трубы достаточно представить себе мгновенный разрыв трубы и определить начальное ускорение жидкости после разрыва. Бернулли предполагает, что в некоторый момент труба разрывается в сечении сИ (находящемся на определенном расстоянии с от входного сечения ЕС), и вычисляет ускорение движения жидкости в этом сечении. Для этого он использует свой принцип равенства "потенциального подъема" "действительному понижению" (т.е. по существу постоянства суммы кинетической и потенциальной энергии). Пусть скорость жидкости в трубе ЕИ составляет и = 'г/з/2д и за элементарный промежуток времени г/г через сечение разрыва сг/ вытекает цилиндрическая капля асс//з (длиной ас = дх и объемом ЙП/х) и равный ей объем жидкости входит в трубу через начальное сечение ЕС.
Тогда общее приращение живых сил за промежуток времени й складывается из двух частей: поступающий в трубу через сечение ЕС объем жидкости ь2,йх, покоившийся в широком сосуде А СЕВ, приобретает живую силу уй, /хцз (т.е. рйфхрп/2), где р и у — плотность н объемный вес жидкости, которые Бернулли не '" В нынешней терминологии скорость истечения г' = з~2яп, и На самом деле Бернулли полагает затем в 'Тидродинамнке", что плошадь отверстия п как бы равна единице, так что л выступает в роли площади поперечного сечения трубы. )б вводит в расчет в явном виде; масса жидкости в трубе Ег/ приобретает дополнительную живую силу 2уй1снг/и (т.е, рй1сЫ/г).
Итак, общее приращение живой силы за элемент времени /г («потенциальный подъем») составляет узг,(игг/х + 2спе/и). Происходящее за это же время «действительное понижение» соответствует опусканию поступившего в трубу объема 1212/х с уровня поверхности жидкости в сосуде до уровня трубы (на высоту а) и составляет уай12/х. Приравнивая "потенциальный подъем" "действительному понижению", получаем уравнение ыЬ а-и г (3.1) г/х 2с Но при любом движении действующая сила (давление) пропорциональна отношению приращения скорости к элементу времени. Таким образом, в рассматриваемом случае давление в трубе р, пропорционально отношению'г Ыи к 2// = г/х/и, т.е.
р~ —— апг/и/г/х, где а — некоторый постоянный коэффициент. Согласно предыдущему уравнению ге/и а — и 2 р,=а — =а Нх 2с (3.2) Но в начальный момент скорость в трубе и = '/и/л, так что л -1 2 Р1=а г 2л с (3.3) Остается найти величину коэффициента а. Поскольку Бернулли полагает этот коэффициент не зависящим от параметров задачи, ему достаточно рассмотреть прсктейший случай бесконечно малого выходного отверстия о, когда жидкость в трубе практически не движется и давления в системе "сосуд+ труба" распределяются гидросгатически. При этом давление в трубе измеряется высотой столба жидкости а (т.е, р, = уа), а л -э, откуда следует, что а = 2су.
В результате Бернулли получает окончательно для давления в трубе выражение'2 л — 1 2 Р1 =Уп — 2 (3.4) и Так появилось первоначально уравнение Бернулли для случая стационарного течения жидкости. Для того чтобы приблизить это выражение к тому, что теперь называется интегралом Бернулли, перепишем его, что л = 121/йг, скорость жидкости в трубе Р, = "/2да/и, скорость истечения Гг — - з/2уа, 'г',12, = )ггйг и давление на выходе рг = 0: Р1 ('2 Рг г 2 — + — = — +— у 2д у 2д (3.5) '2 Как было сказано выше, время у Бернулли имеет разность /.'/г, что никак не нарушает рассуждений, В подлинном тексте Бернулли эта формула не содержит объемного веса жидкости у н самого обозначения р для давления. 17 В заключительном разделе 'Тидродннамики" (ХИ1) Бернулли дал сначала первое правильное определение сильг давления вытекающих из отверстия струй, величина которой была до того предметом острых дискуссий.
Затем он выдвинул идею гидро- реактивного судоходства и развил теорию движения судов с водометным движителем, в которой впервые рассмотрел движенне системы с массой переменного состава (на основе закона сохранения количества движения). 4. Печатание 'Тидродинамики" сопровождалось различными техническими трудностями, о которых мы,знаем из частично сохранившейся переписки Д, Бернулли с Эйлером [25). В результате переданная издателю в 1734 г. рукопись была опубликована лишь весной 1738 г.
Немедленно после выхода книги в свет, в начале мая 1738 г., Бернулли направил ящик с 11 се экземплярами в Петербург, но посылка потерялась в пути и "Тидродинамнка" попала в Петербург только в самом конце весны 1739 г. Тем временем, ознакомившись с 'Тидродинамикой" Даниеля Бернулли, завистливый и честолюбивый Иоганн Бернулли начал срочно готовить — в тайне от своего сына— свой собственный вариант обоснования гидравлики". Первое известное нам упоминание об этой работе находится в письме Иоганна Бернулли Эйлеру от 11 октября 1738 г. [26, с. 247 — 254).
Начальный вариант своей 'Тидравлики", ставший впоследствии ее первой частью, старший Бернулли выслал в Петербургм однако лишь 17 марта 1739 г., скрыв это сознательно от своего сына. Недавно еще апологет принципа сохранения живых сил, Иоганн обвинял теперь своего сына в том, что последний основал свою "Тидродинамику" лишь на "косвенном" принципе, который не всеми признан.
Сам он претендовал на открытие "прямого" н истинного" принципа для изучения движения жидкостей. Центральной идеей первой части "Гидравлики" является представление о некоей весьма (бесконечно) короткой "горловине"(8пг8ез), которая образуется в потоке при течении по трубе в местах внезапного изменения ее сечения и на преодоление которой потоку требуется тем не менее конечная сила. Иоганн утверждал [27. 28, 8 8), что идея "горловины" появилась у него еще в 1729 г. н он якобы рассказывал о ней тогда некоторым своим друзьям. Появление такой идеи у старгпего Бернулли не исключено, но не в 1729, а в 1730 г., после ознакомления с откргитием его сыноги закона изменения давлений на стенки трубы при изменении ее сечения, полностью перевернувшим прежние представления Иоганна о давлениях в потоке жидкости. Но Бернулли-отец заведомо ие мог в те годы извлечь из этой идеи никаких математических выводов и едва ли мог делиться с кем-нибудь своими мыслями по этому поводу.
Только выход 'Тидродинамнки" дал ему импульс и контрольный материал для дальнейшего развития своих неясных представлений о "горловине". При этом Иоганн сначала почти вслепую подошел к попыткам применения к расчету Лвижения жидкости "закона ускорительных сил" (т.е. второго закона Ньютона), что он еще не вполне осознал при подготовке первой части своей "Гидравлики". Но уже в сопроводительном письме к первой части своей работы, восхищаясь ценностью своей идеи о 'горловине", он писал Эйлеру, что он приступил к написанию второй части своего труда, где представление о "горловине" уже не потребуется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
