Михайлов Г.К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) (1124042), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Как известно, сокращение числа основных физических единиц эквивалентно введению одной дополнительной безразмерной величины [16]. В рассматриваемом случае такой дополнительной безразмерной величиной является ускоренно. Вследствие безразмерности ускорения размерность массы [М] не отличается от размерности силы [г]. Из определения ускорения непосредственно следует также, что размерность времени [Т] = /. з. Поскольку же скорость определяется как отношение пройденного пути ко времени, то размерность скорости У также составляет /.
'. В работах первой половины ХЧ111 века скорость обычно оценивается величиной с размерностью длины — скоростным напором — и определяется как корень квадратный из скоростного напора з/Н (или как /2Н). Поскольку скоростной напор Н = Уз/(28) и скорость У = ч/28Н, то в рассматриваемой системе единиц ускорение силы тяжести составляет соответственно 8 = 0,5 (или 8 = 1).
Для перехода в формулах, записанных в системе единиц того времени, к современной форме надо, сохраняя величины сил и расстояний, заменять остальные величины по следующей схемеь: масса -ь Мя, скорость — ь У/„/28 (или У/з/8), 5 Труды Петербургской Академии наук печатались в ХЧ1В веке на латинском языке— международном языке ученых того времени. ь Для ясности: физические величины, рассматриваемые в нынешней системе единиц, обозначаются здесь н ниже, как правило, большими буквами (г", М, У и т.д.), а соответствующие величины в системах единиц ХЧШ века — строчными буквами (/, вь и и т.д.). время — > Тч/28 (или Тл/8).
Любопытно, что основное уравнение динамики г" = МАЕТ принимает в первой из указанных систем единиц (когда и = л//т ) форму 7"= 2тг/и/л/ц а во второй (когда и = /2//) сохраняет привычную нам форму /= лп/и/й, хотя размерности входящих сюда величин принципиально отличаются от нынешних. При этом величина кинетической энергии (живой силы) ]п2М1' в зависимости от выбранного 2 определения скорости принимала у старых авторов соответственно форму л2ьз или ]пзлли, что вводило в заблуждение многих последующих историков науки.
2 В случае истечения жидкости из цилиндрического сосуда уравнение движения принимает у Бернулли легко интегрируемый вид — гл22 = гл/у — (лл — 1)у Й где и — высота, при падении с которой тяжелое тело приобретает скорость, равную скорости опускания уровня воды в сосуде (т.е. и = Р/(2д), где 1' — сама скорость опус- кания уровня); ° — глубина воды в сосуде; л — отношение площадей поперечного сече- ния сосуда и отверстия. Интегрируя уравнение (1.1), Бернулли получает (при лз к 2) лп-2 пп-! с У 2 2) лл-2 (1.2) где с — начальная глубина воды в сосуде. Для получения истинной скорости (/ исте- чения воды из сосуда достаточно использовать соотношение и = Ьз/(2д) и учесть, что (/=л1' (/= 282 1 — (2/с)лл 1-2/л (1.3) 10 В заключение Бернулли заявляет, что с помощью предложенного им метода можно решать разнообразные задачи, в том числе, как он утверждает, и об истечении жидкости из двух отверстий, а также об истечении упругих жидкостей (газов).
Вернемся теперь к юному Эйлеру и предоставим сначала слово его "сопернику". Через несколько дней после своего и эйлерова докладов в Академии наук Бернулли писал своему падуанскому коллеге Дж. Полени (1б83 — 1761): ля, наконец, счастливо напал на истинную теорию движения вод, которая весьма обща и может быть приложена во всех возможных случаях. Вы знаете, с каким старанием она разыскивалась наиболее искусными математиками, но безрезультатно, ибо я могу сказать, что все те, кто хотел распространить свои исследования за пределы гипотезы бесконечно малого отверстия, о1пибались. Но что еще более замечательно. так это то, что в то же время эта теория была открыта другим методом г-ном Эйлером из Базеля, учеником моего отца, что создаст ему высокий авторитет.
Вот задача, наше решение которой подтверждено большим плевом экспериментов: определить скорость воды, вытекающей из сосуда произвольной формы через отверстие произвольной величины в каждый момент времеви" (17]. В письме говорится далее, что на основе полученных уравнений проведено дальнейшее исследование задачи. Стоит обратить внимание на выражения "наша теория" и "наше решение", которыми Бернулли характеризует эти результаты.
О докладе, прочтенном Эйлером в Академии наук летом 1727 г., можно судить по сохранившейся незавершенной рукописи Эйлера, которая озаглавлена пОб истечении воды из цилиндрических труб, произвольно наклоненных и изогнутых" (15]. Эйлер решает здесь задачу об истечении жидкости с помощью прямого приложения закона живых сил. Сначала он рассматривает течение по наклонным трубам, а затем истечение из вертикальных цилиндрических сосудов и, наконец, истечение из цилиндрических сосудов с коническими насадками, выходное сечение которых перекрыто диаф- рагмой (в отличие от Д. Бернулли для Эйлера всегда характерно рассмотрение задач в возможно более общей математической постановке). Для истечения из опорожняющегося вертикального цилиндра Эйлер, как и Бернулли, находит зависимость скорости истечения от высоты остающегося столба жидкости, а также максимальную скорость в процессе истечения и время полного опорожнения сосуда (последнее с использованием различных разложений в ряды выражения для элемента времени).
Рукопись Эйлера не содержит анализа общего случая истечения из сосудов произвольной формы, но рассмотрение цилиндрических сосудов с насадками он предваряет теоремой о приращении живой силы прн бесконечно малом снижении уровня воды в произвольном сосуде. При этом Эйлер добавляет [15 з 56]: "Как только эту теорему увидел славнейший г-н Бернулли, он подкрепил ее собственным доказательством, полученным из природы центра тяжести, и изложил это доказательство недавно перед высоким собранием [Академии наук — Г.М.]". Эта теорема Эйлера составляет Предложение 11 статьи Бернулли [14], н остается не вполне ясным, действительно ли Бернулли не знал вообще об этой теореме до того, как он услышал о ней от Эйлера.
Результаты обоих авторов совпали и в этой деликатной ситуации Эйлер уступил право публикации полученных результатов своему стари!ему товарищу [18]. Отказ Эйлера от публикации своих ранних работ по теоретической гидравлике в пользу Бернулли дал повод недругам Бернулли несправедливо обвинить последнего в плагиате. Так, в 1729 г. в Петербургской академии возникла скандальная ссора между профессором физики Г.Б. Бюльфингером (1693-1750) и числившимся тогда по физиологии Д. Бернулли. Причины ссоры носили скорее личный характер, но Бюльфингер в азарте попытался воспользоваться ею, чтобы дискредитировать Бернулли и как ученого. Так, в числе прочего Бюльфингер ядовито утверждал, что "принцип живых сил, насколько известно, был впервые приложен к движению вод из конечного отверстия г-ном Эйлером, а до того Бернулли в своих математических диссертацияхз использовал совсем другие принципы" [19, с.
572; 18, с. 234]. На это Бернулли отвечал категорически, хотя и несколько уклончиво: "Этот принцип я знал раньше и до того, как г-н Эйлер начал думать о математике, и прилагал его также к задачам: ...и эта задача правильно решена была сначала мною, каковое ре!пение после того нашел и г-н Эйлер. Кроме того, крайне смешно, что мне ставят в вину, что я использовал ранее в моих диссертациях другие принципы, которые к этим принципам не имеют вовсе никакого отношения" [там же], Само собой разумеется, все подобные официальные заявления следует рассматривать с соответствующими поправками на условия острого публичного скандала в Академии. В частности, Эйлер должен был в связи с этим письменно свидетельствовать; "Я не говорю и никогда не скажу с каким-либо основанием, что г-н профессор Бернулли взял у меня хотя бы малейшее из того, что он до сих пор докладывал в заседаниях" [20; 18, с.
234]. 2. Если вопрос о скорости истечения жидкости из сосудов широко дебатировался на протяжении первой четверти ХЧ111 века и был в принципе решен в 1727 г. Даниелем Бернулли и Эйлером, то вопрос о давлениях в потоке текущей жидкости не был тогда даже еще поставлен в повестку дня. В определенных кругах разделялось ошибочное мнение Иоганна Бернулли о том, что движение жидкости не меняет гидростатического распределения давлений в водоводах. К такому заключению пришел старший Бернулли, опираясь на неправильное понимание закона действия н противодействия (Ш закон Ньютона), и придерживался его до середины 20-х годов (1) [1Ц. Принципиальный прорыв в этом вопросе, создавший предпосылки для дальнейшего развития гидродинамики, суждено было совершить Даниелю Бернулли. Однако в отчете Петербургской Академии наук, составленном к осени 1727 г., сказано, что Эйлер частично уже доложил Академии, а частично еще доложит резуль- з Бюльфингер подразумевает здесь раннее сочиненве Бернулли "Математические упражнения" [10], в котором тот действительно придерживался ошибочных взглядов на природу движения жидкости [! 1].
11 о п~ 1У Фиг. 1 таты своих исследований, среди которых следующие: новая теория истечения воды из сосудов с приложением к цилиндрическим сосудам, в том числе и имеющим насадки; об истечении воды из постоянно наполненных сосудов с толкованием движения воды в фонтанах и водопроводах; о колебаниях воды в сосудах, частично погруженных в жидкость; о колебаниях воды в трубах произвольной формы .
В том же отчете ска- к зано, что Даниель Бернулли в числе прочего показал несостоятельность предшествующих учений о течении вод по трубам и решил эту проблему математически, подтвердив свою теорию проведенными в академическом собрании экспериментами; он указал также на пользу этой теории для физиологии и, в частности, для учения о кровообращении и собирается написать трактат по физиологии (здесь ничего не говорится о дальнейших гидравлических исследованиях Бернулли). На основании упомянутого академического отчета складывается впечатление, что Эйлер в отличие от Бернулли не считал летом 1727 г.
свои гидравлические исследования завершенными. Тем удивительнее, что Эйлер не опубликовал по этой тематике ни одной строки, прекратив занятия проблемами гидравлики на четверть века и уступив все права на продолжение этой работы Даниелю Бернулли. Тем не менее ни в 1728, ни в 1729 г. Д. Бернулли еще не представил Академии ни одного доклада по этой тематике. В связи с предстоящим через два года истечением срока контракта на его работу в Академии Бернулли даже обращался осенью 1728 г.
к президенту Академии с запросом о теме трактата, над которым он должен работать (написание обобщающих сочинений входило в обязанности академиков). И, вероятно, только зимой 1728/1729 гг. Бернулли приступил к написанию обширного сочинения о движении вод, отказавшись от сделанного ему предложения написать трактат о судовождении. Уже в июне 1729 г. Бернулли докладывал руководителю академической канцелярии для передачи президенту: "Я прошу вас, Милостивый государь, ...указать ему, что шесть месяцев тому назад я принялся за весьма полный трактат о законах движения вод, который составит около 40 листов; эта работа будет занимать меня день и но гь в течение всего оставшегося мне по контракту времени, поскольку я не нахожу никакой помощи у авторов, которые не смогли свести указанные законы к чистой математике без нового принципа сохранения живых сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
