Михайлов Г.К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) (1124042), страница 6
Текст из файла (страница 6)
нышеД 20 материальной точки была предложена в качестве самостоятельного "принципа" механики еще Маклореиом в 1742 г. [29, з 466]. В 40-х годах ХЧП! века такая запись уравнений движения уже использовалась рядом ученых и, в частности, Иоганном Бернулли, Клеро, Даламбером и самим Эйлером.
Однако никому до Эйлера не пришла в голову мысль о том, что эти дифференциальные уравнения, будучи выписаны для произвольного элемента среды (или тела), непосредственно приводят к математической формулировке всех задач механики. (Необходимость независимого привлечения также и закона момента количества движения была осознана Эйлером значительно позже.) Первые результаты Эйлера по общей теории движения жидкости относятся, повидимому, к 1752 г.
3! августа этого года он доложил в Берлинской академии свое сочинение на латинском языке о законах движения жидкостей, которое позже направил для публикации в Петербург'э, где оно, правда, увидело свет с большим запозданием [35]. Три его последующих фундаментальных сочинения по гидростатике и гидродинамике, относящихся к 1753-!755 гг., опубликованы на французском языке в 1757 г. и 11-м томе "Мемуаров" Берлинской академии"-". В первом из этих мемуаров — "Общие законы состояния равновесия" [2], — доложенном 11 октября 1753 г., Эйлер обобщил результаты Клеро и придал изложению гидро- и аэростатики ту форму, которая сохранилась в основном и до наших дней. Вначале он вводит понятие давления,р, указывает на зависимость давления по крайней мере от плотности н температуры и дает затем вывод общего уравнения равновесия жидкостей и газов с/Р = 9(Рг/г + Дс/г + /1г/х) (5.2) Величину р Эйлер называет иногда давлением (ргеээ]оп), но чаще упругостью (е!аэбс]ге), поскольку именно упругость определяет давление в сжимаемой жидкости.
Строго говоря, Эйлер определяет давление в жидкости через вес столба однородной жидкости [произвольной плотности ро), имеющего высоту р, Таким образом, давление у Эйлера измеряется величиной с размерностью длины — отношением действующего давления к некоторому постоянному объемному весу уп —— род. При этом под д понимается безразмерная плотность р/ро, а компоненты массовых сил Р, Д и Ь' также безразмерны, будучи отнесены к ускорению силы тяжести. Затем Эйлер вводит понятие потенциала сил 5 и, переписав общее уравнение равновесия в виде с/р = дс/5, указывает на постоянство давления, плотности и температуры на поверхностях уровня.
Потом он выводит общие зависимости применительно к случаю идеального газа, рассматривает действующие на погруженное тело силы и переходит к подробному рассмотрению различных случаев равновесия жидкостей и газов. Здесь он получает, в частности. известную барометрическую формулу для изотермической атмосферы и повторяет высказанное в "Гидродинамике" Бернулли предложение о целесообразности определения температуры пропорционально давлению газа при постоянном объеме. Второй свой мемуар — "Общие законы движения жидкостей" [3]з' — Эйлер доложил Берлинской академии 4 сентября 1755 г.
Он начинает его с общей постановки задач теории движения идеальной жидкости. Затем из обычного для нашего времени рас- 'э Находившийся а эти годы в Берлине, Эйлер писал сам в 1760 г. в Петербург: 7Я до сих пор работал для императорской Академии не как отсутствующий член, но наверное так же много, как бы я состоял там налицо" [34, ч.
1, с. !62]. Документальным свидетельством тесного сотрудничества Эйлера с Петербургской Академией наук в период его жизни в Берлине являются три тома его переписки с представителями Академии, изданные в 1959-1976 гг. [34]. За Труды Берлинской академии печатались в середине ХУД! века на французском языке— языке Прусского королевского двора. ~~ Сочинение это публикуется в этом выпуске журнала в переводе с французского на русский язык (см.
с, 26 — 54), в связи с чем его разбор здесь сведен к минимуму. смотрения элементарного жидкого параллелепипеда выводятся общие уравнения гндродинамики и уравнения неразрывности для сжимаемых жидкостей. Система уравнений гидродинамики получена Эйлером сразу в привычном нам виде [здесь она приводится в его обозначениях) Р- — — = — +ц — + п — +и Р- — — = — +и — + и — +>г— — — + — '+ — ' =О (5.3) аи1 г[р = >7[<5 — >7П вЂ” и>[и — Ыи — и >[и ) П =— д> (5.4) н соответствующие интегралы для случая несжимаемой жидкости, а также для баротропных процессов — интегралы, носящие сегодня обычно название интегралов Лагранжа — Коши.
Эйлер специально оговаривает здесь существование непотенциальных течений жидкости, приводя в качестве примера один случай вихревого вращения несжимаемой жидкости в отсутствие массовых сил. Заканчивается сочинение исследованием отдельных частных случаев движения жидкости и замечанием, что выведенные уравнения переводят задачи движения жидкости из области механики в область математического анализа [3, з 68). При чтении этого сочинения особенно поражают [свойственные и большинству других работ Эйлера) ясность и простота изложения мыслей.
Трудно порой поверить, что его отделяют от настоящего времени два с половиной века, В последнем из серии гидродииамических мемуаров, опубликованных в 1757 г. [4). Эйлер продолжает попытки построить решения общих уравнений движения жидкости, получает ряд результатов для сжимаемых жидкостей и, в частности, подробно рассматривает интеграл Бернулли для линии тока, получая отсюда некоторые важные следствия.
Вслед за первыми тремя работами Эйлера по механике жидкости и газа последовали многие другие его сочинения, посвященные гидродинамике и теории распростра- 22 Несмотря на внешнее сходство с современной записью уравнений гндродннамики, уравнения Эйлера записаны им в безразмерной форме. Давление р измеряется здесь, как и в предыдущем мемуаре, отношением действующего давления к объемному весу у> — — р»Е некоторой однородной жидкости, >) = р>>рв, а компоненты массовых сил отнесены к ускорению силы тяжести.
Незначительное внешнее отличие от сегодняшней записи уравнений заключается ли>пь в том, что Эйлер не пользуется еще введенными позже Лежандром [1752-1833) и Якоби [1804 — 1851) обозначениями для частных производных через д, помещая их в круглые скобки, и пишет >1.ди, >1.дц дА)и вместо г!(>)и), 4>)г), 4>ри). Эйлер добавляет тут же, что к этим четырем уравнениям следует добавить пятое, которое дает связь между давлением, плотностью и дополнительной физической величиной, которая влияет на давление и под которой подразумевается, вообще говоря, температура.
Полученные в результате пять уравнений, говорит Эйлер, — "заклю>а>от в себе всю теорию движения жидкости" [3, й 21]. Вслед за приведенным выводом основных уравнений гидродинамикн Эйлер вводит потенциалы сил 5 и скорости й' и получает Я 27 и 28) формулу пения звука. Завершением и обобщением их явилась большая работа (516 страниц), относящаяся уже к концу 60-х годов и опубликованная в четырех частях в 1769- 1772 гг, в "Новых комментариях" Петербургской Академии наук !36]. Первая ее часть включает рассмотрение общих свойств жидкостей н газов, вывод общих уравнений равновесия и исследования частных случаев равновесия н поле силы тяжести и центральных сил.
Во второй части выведена система общих уравнений гидродинамики идеальной жидкости и рассмотрены подробнее случаи движения несжимаемых жидкостей, в том числе потенциального течениягг. Последняя глава посвящена определению движения жидкости по заданному начальному состоянию. Здесь, в частности, выведены общие уравнения гидродинамики и в материальных переменных — так называемых переменных Лагранжагз. В третьей части работы Эйлер рассматривает течение в трубах постоянного и переменного сечения, подъем воды при помощи насосов и течения под действием разности температур. Последняя часть является обобщением многочисленных предыдущих исследований Эйлера по акустике и теории духовных музыкальных инструментов.
Таким образом, Эйлер заложил основы всей гидродинамики идеальной жидкости, за исключением сверхзвуковой аэродинамики н теории тспломассопереноса, зародившихся на столетие позже и развившейся уже в ХХ веке. Не обладая общим понятием нассряжениязс, Эйлер не смог, конечно,'перейти к изучению более сложных моделей механики сплошной среды — вязкой жидкости и упругого тела.
Однако им было подготовлено многос для дальнейшего развития механики сплошной среды. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. ВсспоиП! О. Нудгодупаппса, Ыте де ЫпЬнь ес шопЬпь ПнЫогнт сопппепсагй. АгяепсогабЯсгаьЬоигй, 1738. Рус. псревг Бернулли Д. Гидродннамика, или записки о силах или движениях жидкости. Лс Изд-во АН СССР, !959. 551 с, 2.
Еи)ег 1.. Рппс!реь йбпеганх де Гесас сГецш1сЬге с1еь бн!деь Мегп. Аеас!. ьсс. ес Ье11сь!епгеь. Вег!!п, 1757. Т. 11(1755). Р, 217 — 273 = Ореха огпп(а. 8ег. Н. Ч. 12. Р. 2 — 53. 3, Еиlег Д Рппс!реь 8бпеганх дн шоитешепс деь ЛиЫеь Л Мегп. Асад. ьс!. ес Ье1)сь 1епгеь. Вег1сп, !757. Т. 1!(!755). Р. 274 — 315 = Орега ошпш. 8ег. П. Ч, 12.
Р. 54 — 91. 4. Еи!гг 1.. Сопбпиасюп с!еь гесЬегсйес ьнг )а йеапе сЫ гпонтегпепс с(еь бн!деь Л Мепс. Асас1. 8с!. ес Ье|1еь 1епгеь. Вег)сп, 1757, Т. 1! (1755), Р. 316 — Зб! = Орега опсп)а, Еег. П. Ч. 12. Р. 92 — 132. 5. Гпгмггд! Е. Ое сноси йгатшпс пашгарнег с1еьсепс(епсшш ес ргосессогнпс 1лЬп' с(но. Г!огепссас, 1644 = Орете. Ч. 2. Раепга, ! 919.
См, раздел "Ое гпош ациагшп" (Орете. Р. 185-197). 6. )сссггссл 1. РЬйсворыае паснга1сь рппссрса псайешабса. 1 опс)оп, 1687 (2-е изд. СашЬгЫ8е, 1713; 3-с изд. Еопдоп, 1726). Критическое издание "Начал" Ньютона, с разночтениями по трем нх прижизненным изданиям и сохранившимся рукопвсям, подготовлено А.В.
Койре и И.Б, Коэном. СашЬпдде: Опас Ргеак 1972, 916 р. 7. 5сссГеь О.С. Оп йе йеопеь о( йс (псегпа) 1г)сбоп о( Г)сс!дь !и гпосюп, апс1 о( йе ецирдЬгшш апд гпоцоп о( е!аьбс ьо!Ыь Л Тгапь. СатЬпс18е РЫ1. 8ос. 1847. Ч. 8. РС. 3. Р. 287-319 = Май, апд Рпуь. Рарегь. Ч. 1. СашЬг(дйе, 1880. Р. 75 — 129. 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
