В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Иы рассматривали вертикальное давление, но совершенно тем же путем могли бы найти и горизонтальное давление нашего сосуда на опору. Динамическая часть этого давления будет, очевидно: а — (Ра В1п и, — ),ч(п и). Т тнм, что вопросы о величине давлений, произ- ВОДИМЫХ ВОДОЮ В СЛУ- чаях, которые изображены иа фиг. 116 †1, 'Г решаются буквально так Фнг. 121. же, как только что было сделано. Применяя закон количеств движения, мы сразу можем предсказать, что для трех случаев, представленных на фиг. 191, давление воды на лопатку в случае а будет наибольшее, а в случае Ь вЂ” наименьшее.
Эту задачу можно применять к различным практическим вопросам. Например, наш сосуд может представлять трубу, по которой ведут воду для водопровода или для водяного колеса. Такие трубы часто приходится проводить по уклону горы, они прикрепляются к опорам, расположенным на скате. Уравнения наши можно применять или ко асей трубе, илп к любой ее части. бу а В заключение заме- ДЕСЯТЛЯ БЕСЕДА ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 80. Доказательство закона моментов количеств движения.
Мы уже говорили 1э 72), что одним из приемов для получения етого закона может служить принцип отвердения. Нужно написать, что сумма моментов внешних сил и сил инерции для любой оси равна нулю. Выбирая за ось моментов поочередно каждую из трех координатных осей, мы получим три уравнения, разбор которых и приведет к закону„ состав- й лающему предмет этой беседы. Вместо этого мы предпочитаем нижеследующий прием вы- УФ вода в котором постепенно вг В переходим от простейших слу- 1 чаев к более сложным. ! Начнем с плоского дви- й жения одной матери- 1 альной точки. Возьмем ч (фиг. 122) два бесконечно близких положения этой точки М Фнг.
122. и М, т. е. путь, проходимый в течение бесконечно малого времени Ш, и отметим скорости У и У' в этих положениях. Скорость У' можно с геометрической точки зрения рассматривать как проистекшую из скорости У, которая получила некоторую прибавку. Для этого, проведя через М линии МА и МВ, равные и параллельные скоростям У и У', построим параллелограм МАВС, имеющий своей диагональю У'. Составленный таким образом чертеж показывает„ что скорость У' есть результат геометриче- 192 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ момснг У' =.моменту У+ момент К, мочент К= моменту У' — момент Г или В этот вывод входит момент лпагоналн 'ИВ = У', т. е.
скорости У', проведенной через точку М. Но здесь можно произвести замену и вместо момента отрезка МВ вставить отрезок М'У', т. е. скорость У', проведенную через точку М'. При такой замене плечо момента относительно О изменится на величину расстояния между МВ н М'У', т. е. На длину а, которзя есть величина второго порядка. Это следует из того, что как хорда ММ', так и угол м жлу этою хордой н М1., иредс~авляют бесконечно малые величины. Но бесконечно малую величину второго порядка мы можем отбросить прн самом начале вывода н сохранить только члены первого порндка. ского сложения скорости У н прибавки МС.
Величина МС называется изменением скорости; ееназовем буквою К, Известно, что величиной ускорения движения в точке М называется предел — получающийся с уменьшением пг до К Ь' нуля, т. е. с приближением М' к М. Направлением ускорения в точке М называется предел направления стороны МС нагпего параллелограма, Выберем в плоскости движения некоторую постоянную точку О и будем искать моменты различных отрезков относительно О.
Понятие о моменте силы всем известно, но это понятие можно распространить и на любые другие прямолинейные отрезки, например на скорости; момент их определяется и находится совершенно так же, как эго делается, когда отрезок изображает силу. Для параллелограма сил имеем, что момент равнодействующей (т. е, диагонали) равен сумме моментов составляющих (т. е. сторон параллелограчай Теорема эта, принадлежащая Вариньону, представляет чисто геометрическое соотношение, нисколько не связана с понятием о силе и справедлива для всякого параллелограма, что бы ни представляли его стороны. Поэтому мы можем применить ее н к нашему параллелограму скоростей МАЛС. Получим: 193 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНА Итак, в нашем последнем уравнении можно допустить, что при нахождении момента скорость У' считается приложенной в точке М', а скорость (г' — в точке М.
Умножим обе час|и последнего уравнения на массу лг двшкущейся точки; получим: момент (лгК) =моменту (гл(Г') — момент (лг1г). Произведения тУ' и глгг представляют количества движения массы гл в положениях М и М'. У нас входят во второй части моменты этих количеств движения. Разность их пред- ставляет приращение момента количсства движения, проис- ходящее при переходе движущейся точки из М в М'. Сам момент количества движения обозначим буквою р, а првращение его — знаком й)А.
Затем разделим обе части равенства на йги псрейдем к пределу. предел момента (глгс), аи деленного на йг, равен пределу частного — '. Но в пределе отношение К к йг обращается в ускорение, а произведение массы на ускор ьггге есть сила. Следовательно, левая часть уравнении будет мом~нт силы, действующей на массу и. Для обозначения его применим букву М. Находищийся в правой ар части предел — будет производная по времени от р, т.
е. от дг момента количесгва двиекения. Итзк, получаем для плоского движения одной точки уравнение: М= —, ~Ы ' (60) которое выражает теорему; Для каждого положения материальной точки момент силы равен производной по времены от момента количества движения. Тепсрь немного усложним вопрос: пусть движение не плоское. Тогда его можно проектировзть на координатные плоскости и рассматривать каждую нз проекций отдельно. Конечно, и сила такгке должна быть проекгирована на эти плоскости. На каждой координатной плоскосги получим плоское движение; будем брать моменты относительно начала координат, пли, другими словами, относительно оси, перпендикулярной к плоскости проектирования; наиример, если 13 в.
л. Кнрннеее 194 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЕ проектируем на плоскость ху, то моменты будем брать относительно оси е. Все предыдущие выводы можно применить к такой проекции движения, и мы попрежнему получим уравнение Затем делаем дальнейшее усложнение; от материальной точки переходим к системе, т. е. совокупности материальных точек. Введем силы связей, тогда каждую материальную точку можно считать свободной и применять к ней уравнение (60), если движения всех точек проектируются на одну и ту же неподвижную плоскость.
Напишем для всех точек системы такие уравнения и сложим их. По обыкновению, означая суммирование знаком ~,', получим: Хм= ~ф. Во второй части можно сумму производных заменить производной от суммы, следовательно, будет: ХМ = —" (Ч~Р)А). (61] Это уравнение выражает для любой системы следующую теорему, или закон моментов количеств движения: В каждое мгновение сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равна производной по времени от суммы моментов количеств движения, взятых для той же оси.
81. Разаяснение закона моментов коллчеств движения. Уравнение (61) содержит во второй своей части производные от скоростей по нремеии, следовательно, гю отношению к координатам зто будет дифференциальное уравнение второго порядка. Такого порядка всегда оказываются уравнения движения, получающиеся от применення начала Даламбера. А.ледовательио, наше уравнение (61) пока не есть интеграл уравнения движения; зто только новая комбинация уравнений движения.
Но оно но многих случаях может быть проинтегрировано, а именно, всегда, когда сумма моментов е,'М есть явная функция времени. Тогда мы получаем интеграл урав- исключении наизвастных пги составлении тглвнвния 195 пения движения, т. е, уравнение, солержащее в себе скорости. Интеграл получается также для двух простейших случаев: а) когда ~Р~М величина постоянная; б) когда ~Р~М=О. В последнем случае получится: †,(чР р) = О, откуда (62) ч , 'р = сопя), т. е. сумма момент он количеств движения для всей системы есть величина постоянная; она не изменяется и во все время движения сохраняет свою на- чальную величину.
В этом случае, т. е. когда ~ч , 'М= О, получаетсяз а кон сохранения моментов количеств д в и ж е н и я, аналогичный закону сохранения количеств дви- жения. 82. Какие неизвестные исключаются при составлении уравнения моментов количеств движения. Прежде всего видно, что внутренние силы систе-, мы, подчиненные закону равен- ', ства мех<ду действием и противодействием, все исключаются. В самом деле, две равные и противоположные силы Р, Р' (фиг.
123) для любой оси 0 дают моменты, ;иР' которые численно равны, а знаки имеют противоположные; следова- lг тельно, эти моменты сокращаются при составлении суммы моментов сил. Итак, в уравнении (61) остаф . 12З. ются только внешние силы.
Такое полное исключение внутренних сил составляет значительное упрощение. Но и некоторые внешние силы могут исключаться из уравнения (61), если их моменты будут нулями. Это полу- чится для всех сил, параллельных оси, а также для всех сил, пересекающих ось. Но выбор оси вполне зависит от нас; уравнение справедливо для всякой неподвижной оси. Во мно- гих случаях удачным выбором оси можно достигнуть исклю- 13 196 закон моментов количаств движхния чения значительного числа внешних сил, чем уравнение значительно упрощается. Для примера укажем на водиные турбины, Разбирая движение их с помощью закона моментов количеств движения, мы исключаем следукнцие силы: а) все внутренние силы, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
