В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Зная, как изменяется момент сил, имея картину этого изменения, мы буквально применяем ту же картину к движению полюса, предсказываем это движение. И обратно, зная движение полюса, найдя скорость этого движения, мы предсказываем величину и направление полного момента внешних снл. Следует обратить внимание на эту картину движения и вдуматься в полученную теорему. Возьмем для сравнения движеняе материальной точки, масса которой равна единице.

Оно зависит от силы, действующей на точку, а у нас движение полюса зависит о т м о м е н т а сил. Но особенное различие заключается в том, что при движении материальной точки цели шна силы и ее проекций дает величину ускорен ия движения (или его проекций). Между тем, при движении полюса величина момента дает не ускорение, а скоростьь полюса; моменты снл равны скоростям полюса. Когда ьюмент сил равен нулю, то и скорость полюса равна нулю. Когда момент сил постоянный, то и скорость полюса постоянная, т. е. мы имеем здесь движение без инерции; спрекращением сил сейчас же прекращается и движение полюса. Чтобы Поддерживать это двюкеьве, необходимо постоянное действие сил. В этом состоит глубокое отличае движения полюса от движения материальной точки.

Полюс не обладает способностью сохранять свою скорость после прекращения ряды. Можно сказать, что сила (или, точнее, момент сил) устОйчиВОсть движения пОлюсА 203 держит полюс в узде, не позволяет ему ни разбегаться, ни отставать. Полюс принужден в точности повторять изменения силы; его скорость точно Отражает, или копирует, эти изменения. Представим себе, что мы нарисовали чертеж или диаграмму, изображающую последовательные величины н направления момента сил: эта самая картина будет изображать последовательные величины и направления скорости полюса.

Положим, что мы разбираем, исследуем какой-нибудь сложный случай движения. Делаем некоторое предположение, догадку относительно этого движения, н желаем проверить правильность этой догадки. Для этого определим движение полюса; если оно не вполне согласуется с изменением момента сил, то наша догадка неверна. Наоборот, согласие момента сил со скоростями полюса есть успокоительный резулыат. Этим приемом молино пользоваться при разборе сложных явлений, например движения гироскопов и т. п, 'Гаков смысл теоремы Гейуорд-Резала. Не следует удивляться тому, что мы имеем здесь движение без инерции.

Полюс не есть материальная точка, снабженная массой; он изображает только отвлеченное представление, а теорема Гейуорд-Резала дает геометрическое описание явлений движения системы. Закон инерции не иллеет сюда никакого отноиления. 88. Устойчивость движения полюса. Скорость полюса появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением сил, и величина этой скорости пропорциональна этим силам (точнее, их момеиталл). Перемещения же определяклся скоростями и временем. Поэчоллу удары и другие тзк называемые ллгновенные силы, т. е. силы, действуилщие в течение очень короткого времени, могут только очень мало изменить движение полюса.

Другими словами, зто лвлокенпе обладает свойством устойчивости: оно мало изменяется от действия мгновенных сил ударов, сотрясений. НО эта устойчивость отличается от всем известной устойчивостя при равновесии. Когда тело, находящееся в устойчивом равновесии, получит удар нли толчок, то оно начинает колебаться взад и вперед около равновесного положения; колебания этн могут продоллкаться довольно долго после прекращения толчка. На движение же полюса толчок оказывает влияние только в течение короткого времени своего действия, и колебаний не получается; как го4 закон мОментОВ кОличестВ дВижения только прекратится толчок, сейчас же прекращается н его влияние; оста>оснихся явлений, колебанпй, представляющих как бы воспоминание о полученном толчке, полюс не показывает.

Нужно привыкнуть катим особенностям движения полюса, которые кажутся парадоксамн, потому что на движение полюса часто ошибочно смотрят как на движение материальной точки. От такого неправильного Взгляда происходит кажущаяся парадоксальность и движений волчка, гироскопа и тому подобных приборов; онн как будто бы нарушают все законы динамики. ОДИННАДЦАТАЯ БЕСЕДА ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ. ГИРОСКОПЪ| 89. Движение твердого тела, имеющего одну иеподвяжиую точку.

Мы рассмотрим здесь случай движения, представляющий поучительный пример приложения закона моментов количеств движения. Все сложные п разнообразные явления такого движеш>я хорошо уясняются а освещаются нашим законом. Предварительно напомним основную теорему о движении твердого тела, которое имеет неподвижную точку: Всякое бесконечно малое движение такого тела есть непременно вращение около мгнов е н ной о си. Эта ось непрерывно изменяет свое положение как в теле, так н в пространстве. Теорема эта может быть рассматриваема как обобщение теоремы ГНаг>я, относящейся к плоскому движению. Здесь мы имеем движсние не плоское; одна точка тела неподвижна, и всякая другая точка должна во все время двнженпя не измекять своего расстояния от неподвижной, следовательно, должна оставаться на поверхности п>ара, имеющего центром неподвижную точку.

Итак, здесь движение не плоское, а сферическое. Вообразим на поверхности указанного шара любую фигуру и применим к ней буквально все те рассуждения, которые мы налагали в 2 25 для плоского движения; получим то обобщение, которое мы только что высказали. Бесконечно малое вращение около мгновенной осн всегда можно разло>кать на три вращения около трех взаимно перпендикулярных осей. угловая скорость при етом заменяется тремя составляющими угловыми скоростями, совершенно также, как некоторая сила заменяетси тремя составляющими силами. 206 пгиложкнпя закона момзнтов количеств движения 90. Главные осн.

Мы уже объяснили (см. 9 49) понятие о главной осп твердого тела. Проведя в нем три координатные осн х, у, г„составим произведение из массы частицы тела лт на две ее координаты хг, уг; затем сложим такие выражения для всех частиц тела. Получатся суммы ~тлхг, ~э~ ~глуг. Если обе эти суммы равны нулю, то ось г называется главною осью тела для начала координат.

Таково определение. Главные оси обладают замечательными свойствами, из которых отметим следующее. Проведем через опору перпендикулярно к оси вращения Ог две координатные осп Ох, Оу. Тогда моменты касательных снл инерции относительно осей Ох, Оу равны пулю, если Ог— главная ось для точки О. Момент касательных спл инерции относительно оси вращения Ог, как мы внделц (Э Зб), равен произведению углои'м ного ускорения — на момент пнерщгп У относительно осн Ог. лс 91. Момент ко чичеетв двлжзнмя. Касательные силы инерции вращения около осп представляют векторы, приложенные к каэкдой частице тела и обладающие следующими свойствами: а) эги векторы перпендикулярны к радиусу г; б) величины эгих векторов пропорциональны массе частицы тл и радиусу г, т, е. равны произведению из тлг на некоторый лм множитель, о д и н а ко в ы й для всех частиц тела, а именно: — „.

Очевидно, здесь не важна величина или алгебраическое выражение этого множителя, а имеет значение только одинаковость его для всех частиц. Тэк же несущественно то, что здесь идет речь о си л а х, а не о каких-либо других векторах. Статическое выражение момента и условии равновесия моменгов представляют часто геометрические теоремы, в которых сила фвгурирует как геометрический линейный отрезок, т. е. как вектор, и сущность понятия о силе здесь не при чем. Поэтому все, чэо толью что было сказано о касательных силах инерции, можно приложить и к любому другому вектору, обладающему теми же свойствами, т. е.

перпендикулярному к радиусу и пропорциональному произведению массы на радиус. Это замечание позволяет нам приложить к моментам количеств движения то, что мы знаем о касательных силах помнит количеств движения 207 инерции. Прп вращении около осн Ог с угловой скоростью а количество движения частицы лг будет перпендикулярно к радиусу г и равно скорости этой частицы мг, умноженной на массу, т. е. втг. Поэтому, если ось Ог есть главная ось, то моменты количеств движения относительно перпендикулярных к ней осей Ох и Оу будут равны нулю, момент же количества движения относительно оси Ог будет равен произведению Ум из момента инерции .г для оси Ов на угловую скорость вращения м относительно этой осн.

Итак, для главных осей мы получаем очень простые выражения момента количеств движения. Вот почему, изучая движения твердого тела, прежде всего нужно определить его главные осн, чтобы получить наиболее простые выражения. Этим упрощением всегда можно воспользоваться, так как в каждой точке тела наверное имеются три гпа вн ые оси, взаимно перпендикулярные между собой (см. Э 50). Пусть координатные оси х, у, л, провеленные через неподвижную точку О нашего тела, будут главные оси.

Моменты инерции относительно этих осей обозначим через .~ю уу, Элементарное движение тела есть непременно вращение около некоторой мгновенной оси. Угловую скорость этого вращения разложим на три угловые скорости р, д, а по осям координат. Тогда полное количество движения любой частицы лг нашего тела представит равнодействующую пз трех количеств движении, соответствующих трем вращениям р, д, а. Момент количеств движения относительно одной из асей, например Ох, получим, складывая моменты трех отдельных слагающих вращений.

Но, так как ось Ох есть главная, то получим, что для нее момент того количества движения, которое происходит от вращения д около оси Оу, равен нулю. Также будет равен нулю момент того количества движения, которое происходит от вращения а около оси Ов. Наконец, момент того количества движения, которое вызывается вращением около оси Ох, будет равен У„р. Складывая этн моменты, получим, что полный момент количества движения для оси Ох равен /„р. Полобно этому получим для осей Оу, Ол моменты количеств движения е' д, 1га.

Характеристики

Список файлов учебной работы