В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 35
Текст из файла (страница 35)
взаимные давления внутри жидкости, а так ке лавления между жидкостью и вращающимся колесом; б) если за ось моментов возьмем ось турбины, то исключаем реакции опор этой оси; если она вертикальна, то исключается вес воды и самого колеса. Такое же исключение веса происходит обыкновенно вследствие симметрии располоа Ь жения и в турбинах, вращаю- а, щихсяокологоризонтальнойосп.
Из этого слелует, что за1 кон моментов количеств движения естыеорема, наиболее удобная для решения вопроса о двигч в~, женин турбин. Основная формула теории п2 е' турбин, данная уже Эйлером, может быть получена путем, аналогичным тому, каким в 9 79 была выведена величина давления на трубу протекающей по Фиг. 124. ней жилкости. Пусть колесо тур- бины, вращающейся около вертикальной оси Ол, имеет канал аЬсг1 между внешним ободом радиуса г, и внутренним радиуса га (фиг.
124). В канал все время поступает вола со скоростью п„под углом а, к внешнему ободу и выходит из канала со скоростью па под углом а, к внутреннему ободу. Пусть движение воды, установившееси в том смысле, что скорости и, и па н углы аг и ав не зависят от положения канала. Требуется определить момент сил давления воды на стенку канала относительно оси Ол вращения турбины. Для этого рассмотрим систему материальных точек, составленную водой, заполняющей канал арсп' в данный момент г.
Искомый момент равен по величине и противоположен по знаку моменту сил реакции стенок канала на эту массу воды. Этот последний момент н будем определять. 197 момвнт Снл ннегции Пусть через промежуток времени <1> канал занял положение аЪ'с'<(', а рассматриваемая масса жидкости переместилась в положение а>(>>с><(>, Так как движение воды установившееся, то момент количества дв>и<ения массы воды, заполнявшей в момент У объем а<>сл', равен моменту количества движения массы, заполняющей в момент 1+й> объем аЪ'с'<1'.
Следовательно, приращение Ь)< момента количеств движения рассматриваемой системы за промежуток времени йг равно разности моментов количеств движений масс воды, заключенных в объемах г'<т"с><1> и аЪ'а>(». Если вес воды, протекающей через канал в единицу времени, обозначим через О, то массы, закл>оченные в этих объемах с'<(Ъ><>> и аЪ'а>б„будут равны — дг, где — а' ускорение силы тяжести.
Пренебрегая измене- О К нием скорости ма>иду сечениями аЪ' и а>(», с одной стороны, и между сЪУ и с><т>, с другой, получим, что приращение момента количеств движения за время >)>г будет: ьц = — А((нага соз ца — н>Г> соз и>), О К так как плечи соответствующих моментов, очевидно, равны Г,СОзна Н Г, СОзп,. Внешними силами для рассматриваемой системы являются вес и реакции стенок канала.
Так как момент веса относительно вертикальной осн Оя равен нулю, то в теорему о моменте количеств движения войдет только искомый момент Л снл реакции стенок, я формула дает: Лт= — (па>г соз пг 0>Г> сов <т!). О К Это и есть формула Эйлера. 83. Момент сил инерции. По началу Даламбера внешние силы уравновешиваются с силами инерции. Посмотрим на уравнение (61) с этой точки зрения.
В левой час<и его имеется момент внешних сил для некоторой осн, следовательно, величина йг(Х р) 188 закон мОментОВ количзств движвния стоящая в правой части, взятая со знаком минус, представляет момент сил инерции относительно той же оси. 84. Сколько уравнений дает закон моментов количеств движения. Уравнение (61) можно применять для любой неподвижной оси, т.
е, переменяя эти оси, можно получить сколько угодно таких уравнений. Подобно этому н уравнения количеств движения можно применять к любому направлению, к проекции движения на всякую ось. Выберем три координатные оси и напишем для них как уравнение количеств движении, так и уравнении моментов количеств движения; получим шесть уравнений. Легко убедиться в том, что дальнейшей переменой осей мы получим уравнения, которые представляют следствия прежних шести уравнений, следовательно, не получим ничего нового. Для этого вспомним, что наши уравнения получаются из принципа отвердения - и представляют условии равновесия сил, приложенных к твердому телу.
А для равновесия твердого тела необходимо и достаточно выполнение ш ест н уравнений равновесия, Все остальные условия равновесия, как проекции на любую ось, так и моменты для любой оси, будут следствиями этих шести н не дадут ничего нового. Итак, наши законы †количес движения и моментов количеств движения в дают нам только шесть уравнений. Когда возможно интегрирование, т. е. если сумма проекций внешних сил и сумма их моментов заданы как функции времени, то мы с помощью этих двух законов можем получить не более шести интегралов уравнений движения.
85. Момент количеств движения дая твердого тела, вращавшегося около неподвижной осн. Чтобы дать более определенное представление о новом введенном нами понятии смомент количеств дви кения», вычислим этот момент для твердого тела, врагцающегося около неподвижной оси; эту ось и примем за ось моментов. Каждая частица тела движется в плоскости, перпендикулярной к этой оси О. Пусть угловая скорость вращения будет еь Возьмем некоторую частицу тела, находящуюся на расстоянии г от осн и имеющую массу лг.
Скорость ее будет мг, она направлена по перпендикуляру к радиусу г. Количество движения имеет величину (63) 199 ПРИМЕР а направление его совпадает с направлением скорости. Момент этого количества движения относительно оси О получится умножением величины (56) на радиус г, что даст: мглг'. Суммируя этн величины для всех частиц тела, получим момент количества движения всего тела ~ч;~„щцз нли, по вынесении за знак суммы множителя е, общего для всех членов суммы: р = м~ гига. Но сумма ~~~~~шг' есть не что иное, как момент инерции тела относительно оси О. Следовательно, в случае враРцения твердого тела около неподвижной оси момент количеств движения относительно оси вращения равен произведению из угловой скорости на момент инерции а тела для оси вращения.
86. Пример. Цилиндр, который может вращаться около вертикальной оси 00 (фпг. 125), имеет иа гп поверхности винтовой желобок; в него Ф вложен маленький шарик лн Найти движение этой системы под действием силы тяжести (н прп отсутствии вред- 0 ных сопротивлений). Фиг. 125. Эта система имеет две степени свободы. Движение ее состоит в том, что шарик опускается по желобку со скоростью )г, а цилиндр вращается около оси с угловой скоростью м. Имеем две неизвестные Г, м, которые нужно найти. Назовем угол наклона винтовой линии через р, радиуС цилиндра через а, его момент инерции относителено оси 00 через Л Применим закон моментов количеств движения относительно оси 00. Все внутренние силы, например давление между шариком и желобком, исключаются. Реакшш опор осд также 200 зАкОн моментОВ количестВ движения исключается.
Никакие внешние силы, кроме тяжести, не действует. Но тя»сесть исключается из наищго уравнения, потому что она параллельна той осн, для которой берутся моменты. Итак, все силы исключены. Следовательно. получается сохранение первоначальной величины момента количеств двикения. Пусть вначале наш прибор был в покос, т. е, начальная величина момента количес1в движения была равна нулю.
Такое же значение должен сохранить момент количеств движения и далее, во все время движения. Выразим это условие уравнением. Момент количеств движения цилиндра равен м./. Что же касается шарика, имеющего массу т, то он обладает скоростью И вдоль желобка и, кроме того, скоростью ам, так как участвует во вращении цилиндра. Горизонтальная скорость шарика будет по алгебраической величине ранна ма — Ь'соз р; на вертикальную скорость его не обращаем внимания, так как она параллельна оси 00 и дает момент, равный нулю.
Следовательно, моментом количества движения, соответствующего горизонтальной скорости, будет: алг (ма — Усов <р) . Складывая его с моментом количества движения цилиндра и приравнивая сумму их нулю, получим; м (1 + гла') — ат У соз р = О. (64) Вот одно из уравнений для нахождения неизвестных и, )г. Чтобы получить другое уравнение, нужно обратиться к закону живых сил.
Мы докончим этот пример в тринадцатой беседе (стр. 268). 8У. Другая форма закона моментов количеств двчжения. Эта форма прежде называлась теоремой Резали; но потом оказалось, что она была найдена значительно раньше Резала английским математиком Гейуорд. Во многих случаях очень удобно применять закон моментов количеств движения именно в этой форме, которая дает очвнь простую и поучительную картину движения.
дгггля эогмл закона момвнтов количвств движения 201 Для получения такой формы заметим, что момент количеств движения, как всякий момент, можно изобрюкать в виде вектора. Подобно тому как в статике, момент силы относительно некоторой оси л откладывается в виде отрезка по осн л, так же будем поступать п с моментами количеств движения. Величины этих моментов относительно трех координатных осей обозначим р„, р, р, и будем откладывать их по а осям л, у, я (фиг.
126). Результат геометрического сложсння этих трех величин представится на чертеже вектором ОА, имеющвм из- Ф вестное направление и величину; мы его будем называть полной величиной момента количеств движения системы, или, еще лучше, осью мо- Ь ментов количеств движения, О а также вектором моментов (ту количеств движения. Начало (ту этого вектора всегда совпадает с началом координат; у конец его, илн, иначе, конец оси, т. е.
точку А, будем Фнг. 126. называть полюсом. Прн движении системы вектор ОА, вообще говоря, изменяет с течением времени свое направление и величину, а поэтому полюс А движется, описывая некоторую кривую (фнг. 126). Рассмотрпм движение полюса. С этой целью напишем уравнения моментов количеств движения для трех координатных осей. Называя суммы моментов внешнвх сил относительно осей х, у, я через М„, М, Л1,, получим эти уравнения: тг)а — лг-' Мг — т' И вЂ” — г. (65) Говоря о движении полюса А, мы можем считать, что р„, р„, р, представляют к о о рди наты этой движущейся точки. Производные этих координат, т.
е. 4~а дну "аз нг ' йт ' лт ' 202 закон момкнтов количеств движкния иаображают с к о р о с т и движения полюса по направлению трех координатных осей. Уравнения (65) могут быть прочитаны следующим образом: Скорости полюса по координатным осям равны соответствующим моментам внешних сил. Если мы будем рассматривать не проекции моментов сил М, Лт, Лч, а полный момент снл, т.
е. геометрическую ю г1 л сумму этих проекций, то можем истолковать уравнения (65) в форме следующей теоремы: Сцорость полюса для каждого мгновения равна по величине и совпадает по направлению С полным моментом внешних снл. В этом и состоят теорема Гейуорд-Резали. Оказывается, что скорость полюса и полный момент внешних сил геометрически тождественны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
