В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 32
Текст из файла (страница 32)
76. Какие неизвестные исключаются при составлении уравнений количеств движения и живых сил, Легко видеть, что при сос~авлении уравнения количеств движения исключаются все внутренние силы. Это есть следствие третьего закона Ньютона, т. е. равенства между действием и противодействием, Внутренние силы в системе будут всегда встречаться по две равные и противоположные. Когда же составляем импульс силы, то берем прозкпшо силы на координатную ось и умножаем ее на элемент времени; эти выра кения для двух равных, но про~внеположных сил будут равны, но с образными зпакачи.
Следовательно, этн два импульса взаимно сократятся, и все внугренние силы исчезнут нз уравнения количеств движения. Такое исключение значительного числа неизвестных, притом таких, которые трудно определить, указывает на особое значение закона количеств движения и на важность его для приложений. Обрангаясь теперь к уравнению живых сил, видим, что в него будут входить работы внутренних сил, т.
е. проекции сил, умноженные на перемещении тех точек, к которым силы приложены. Действительно, хотя взаимодействия двух материальных точек равны н прямо противоположны, но перемещения этих точек могут быть неодинаковы. Тогда работы двух взаимных слл не будут по абсолютной величине равны между собою н, следовательно, не произоидет сокращения этих работ и исчезновения внутренних снл из уравнения. Итак, говоря вообще, внутренние силы не исчезают из исключение неизВестных ПРИ составлении УРлВнений 181 уравнения живых свл.
Но мы увидим в тринадцатой беседе, что в частных случаях такое исчезновение происходит, н тогда уравнение ~киных сил приобретает особое значение. Ич уравнения мсивых сил исчезают те внешние снльц которые приложены к неподвижным точкам; действительно, работа этих снл всегда равна нулю. Сюда относятся многие реакции опор и тому подобные силы. Применяя уразненис живых снл, мы их исключаем и можем совершенно игнорировать эти реакции. Так как работа силы Р для перемещения г 'равна произведению Рсоа м г, то эта работа обращается в нуль в случае, когда угол 1Р равен †, Следовательно, при составлении урав- 2 ' пения жввых сил исчезнут все те силы, которые перпендикулярны к перечешениям своих точск приложения.
Вот еще разряд спл, исчезающих нз этого уравнения, чем упрощается решение. Между тем, импульс силы, приложенной к неподвижной точке, не равен пулю. Также но обращается в нуль импульс той силы, которая перпендикулярна к перемещению. Следовательно, эти два разряда сил не исчезают нз уравнения количеств движения, Например, реакции неподвижных опор будут входить в этн уравнения явным образом. Поэтому уравнение количеств движения может быть прпменясмо для нахождения таких реакций, и в этом состоит сто значение для приложений. Уравнение живых сил для такой цели вовсе непригодно, так как реакцнп в него совсем не входят.
Вот, например, вопросы, для рсшс- Х ния которых следует применять урав- 6 нение количеств движения: а) В кинса ической теории г а з о в мы считаем, что давление газа на Фиг. 113, стенку сосуда получается Вследствие ряда ударов, производимых частицами газа на стенку.
Для апределення такого давлении отделим часть аб (фиг, 113) от остального сосуда и приложим к ней удерживающую силу Х; она н изчеряет искомое давление Система 'наша будет состоять из этой части стенки и ударяющих в нее часпщ газа; к этой спстече прикладываем эа«он количеств движения по 182 ВАКОИ количестВ ЛВижения и зАкои жиВых сил направлению перпендикуляра к ОЬ.
При этом силы, развивающиеся в местах удара частиц газа о стенку ОЬ, исключаются, так как это внутренние силы; нам не нужно знать нн величин, нп законов для этих сил. Это исключение очень упрощает вывод, Как известно, в результате получается комбинированный закон Мариотта и Гей-Люссака.
б) Скорость, с которой передается давление в твердом теле. Пусть на конце бруска 1фиг. 114) прилозгена сжимающая сила. Сжа- тие, производимое ею, передается по длине бруска постепенно, от одного конца к другому, с некоторою скоростью, которую желаем определить. Положим, что по прошествии времени У сжатие будет передано до сечения сА. Применим закон количеств движения по направлению сжатия части бруска ОЬсг~ и будем рассматривать движение этой системы в течение времени ~. Здесь мы имеем одну внешнюю силу Р. Все же силы упругости, появляющиеся в ОЬсц' вследствие сжатия, исключаются, так как это— внутренние силы. Действительно, в начальный момент скорости всех точек этой части равны нулю, а потому равно нулю и количество ее движения.
Для определения количества движения в момент 1 надо вычислить скорости точек в этот момент. Так как сжатая часть движется как одно целое, то достаточно определить скорости точек в сечении ас. Пусть за промежуток времени О1 сз<атие распространяется на часть бруска длины йх. Тогда по закону Гука сжатие этой части выразится формулой Р~ Еч где Š— коэффициент упругости, а а площадь поперечного сечения. Но это сжатие и есть тот отрезок, который сечение сп проходит в течение промежутка цг времени. Следовательно, скорость точек сечении с4 в момент 1 будет равна Р Их ЬВАУ ' нсключгннВ нензВестных пги состлВленнн уРлвненнй 183 При однороднои материале бруска скорость о распространения сжатия постоянна. Поэтому длина х сн<атой к моменту 1 части бруска будет: х=о1, откуда л'х лг =' Масса рассматриваемой части есть рхо, где р — плотность материала бруска.
Следовательно, количество движения рассматриваемой части в момент 1 будет Р лх хР рхо — — =р — о. Ет ах' Е Импульс внешней силы за этот промежуток 1 времени есть Р1= Р— О Следовательно, по закону количества движения имеем: хР Рх р — и= —, О откуда / Е т. е.
скорость распространения сжатия (или растяжения) равна корню квадратному из коэффнциента упругости материала, разделенного на плотность. в) Давление, производимое на сосуд жидкостью, протекающей через него (фиг, 115). Положим, что мы желаем определить величину этого давления по вертикальному направлению или, наоборот, д обратную искомому давлению вертикальную реакцию Х опоры, которая удерживает сосуд.
Фиг 115 Здесь нужно рассматривать количество движения по направлению реакции Х. Все давления между текущей жидкостью и стенками сосуда представляют внутренние силы, которые поэтому исключаются из уравнения. Следовательно, избрав для решения нашего вопроса закон количеств движе- 184 закон коаичвств движения и закон живых сил нпя, мы избавляемся от необходимости разбирать все эти даваення и искать пх значения.
Нужно принял во внимание, что давление жидкости во время двпжеппя не всегда следует гндростатическому закону =4 Фнг. 11б. Фнг. 117. фнг. ИВ. (см, 8 38), поэтому, если бы пришлось рассматривать давления, то это повлекло бы за собою очень значительные усложненш1, а вследствие сложности выводов нередко в этом вопросе делали ошибки и приходили к невер- ным результщам.
г) Применяя закон количеств движения, решают в гидравлике следующие вопросы: найти давление, производимое движущейся струей воды на прямую лопатку (рнг. 116, 117) нли на ковш колеса Пельтона (фиг. 118), нап найти реакцию вытекающей струи на сосуд, содержащий жидкость (фпг, 119), н т. д. И здесь достигается исключение давлений между водою и лопаткой, или ковшом, пли сосудом. 77. Векторный характер закона количеств движения. Выводя этот закон, мы разлохснли движение на три координатные осн и рассма~ривалн отдельно каждую из трех проекций; подученное уравнение (50) относлтся к одной из ннх. Такое же уравнение мы можем написать и для двух других координатных осей, и вообще для любого постоянного направления, причем в каждом из таких уравнений величины шЪ", шов будут представлять собой проекции количества движения точек системы на это направление, а Р— проекцию снаы на то же направление.
Иначе обстоит дело с живой силой. Из форяуд (51), (52), (53) н (54) видно, что живая сида,~~как ввктогный хлглктвг злконл колнчкств двпжхнзя 185 величина, равная работе силы, не имеет направления в пространстве (потому что работа нс обладает направлением), и в етом заключается еще одна чер~а различия между уравнением количеств данн<ения п уравнением живых спл. В первое входят величины, нме<ощне определенное направление; количества движения суть в е к г о р ы. Кем<ау тем, живая сила не есть вектор; она относится к разделу с к а л я р о в, величин, не имеющих направления. Для избежания недоразумений заметим, что можно было бы вывести уравнение количеств движения так же, как мы выводили уравнение живых сил, т.
е, ие разлагая криволинейное дни<кение па три прямолинейных, а рассматривая полную Величину скорости. Известно, что произведение массы на ускорение равно силе, т. е. глто =Р где чо есть ускорение. Но так как полное ускорение есть предел отпой<ения г е о м е т р и ч е с к о й разности скоростей к соответствующему промежутку времени, прн условии, что промежуток времени с<ремптся к нулю, т, е, э' — н <гн то= йт ы О м «г то можно иаписат<и т — =Р. ле лт умножая его иа «< н интегрируя в пределах от нуля до 1, получим для одной материальной <очкп: т Ь' — то„= ( РаУ, о (56) (57) причем в левой части (56) стоит ум<е геометрическая (векторная) разность количеств движешщ, а в правой — геометрическая сумма всех злемеитарных импульсов за промежуток времени от нуля до ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
