В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Написав такое уравнение для каждой точки системы и сложив зтп уравнения, получим: 186 ВАкои каличестВ ЛВижения н ВАкОЯ жиВых сил Геометрическая сумма количеств движения всех точек системы в данный момент называется количеством движения системы; что же касается выражения ~ Рг11, стоящего под знаком интеграла в правой части (57), то оно представляет собой геометрическую сумму элементарных импульсов всех сил, действующих на точки системы.
Но так как в сумму Ч~~Р вхолят все как внешние, так и внутренние силы, действующие на точки системы, причем внутренние силы попарно равны и противоположны, то внутренние силы из этой суммы исключаются н остаются только внешние; поэтому правая часть (57) есть сумма элементарных импульсов внешних сил. Уравнение (57) выражает собой теорему: к о л и ч е с т в о движения, приобретенное всей системой (в геометрическом смысле), равно геометрической сумме импульсов, сообщенных внешними силами.
78. Сохранение количеств движения. Важный частный случай получается, когда имеем систему, на которую не действуют внешние силы, Тогда, так как внутренние силы исключаются, уравнение (57) получает вид: ~~» л»к — ~~» глФЗ» 0» или ~ш$~=~ »ИФФ т. е. количество движения всей системы не изменяется с тече наем времени; оно сохраняет свою начальную величину. В этом состоит з а к о н с о х р анен ия количеств движения.
79. Пример приложения закона количеств движения. Разберем до конца вопрос о давлении, производимом на сосуд водой, которая протекает через него. Примем следующую постановку задачи: вода течет по трубе ЛЬс»з' (фиг. 120) непрерывной струей, заполняя сплошь всю трубу, притом движение у с т а н о в и в ш е е с я. Этим термином обозначают такое движение, при котором в каждой точке внутри трубы явления не переменяются с течением времени, а остаются постоянными, т. е. в каждой точке давление, а также величина и направление скорости остаются неизменными. Пусть через каждое сечение трубы протекает в секунду объем воды 1,». Труба сделана неподвижной посредством прикрепления ее к опоре. Требуется определить вертикальное пгимвг игиложвния закона количеств движяния 187 давление, производимое трубою на опору, или, наоборот, найти обратную этому давлению реакцию опоры Х.
Вода вступает в трубу в верхнем отверстии ее аЬ (площадь которого назовем г,) со скоростями Ую направленными перпендикулярно к аЬ и наклоненными к вертикали подуглом аа. Постоянное давление в этом сечении назовем ре; оно совпадает с направлением скорости 1см Вода вытекает из нижнего отверстия с4 площадь этого отверстия, скорость воды в нем, угол наклона ее и давление жидкости в отверстии назовем теми же буквами, что Рэ и 6 и для верхнего отверстия, но только с другим подстрочным индексом, а именно, ", примем обозначения: Г„ 1с„ а„ р,.
Здесь давление р, на воду, заключающуюся в трубе, прямо противоположно скорости Ь;. Ф Заметим, что давления ! ра и р, иногда представляют действие атмосферы, Но в некоторых случаях эти давления могут значительно отличаться от атмосферного. Это будет, например, в том слу- Фиг. 120. чае, когда вода втекает в отверстие аЬ из особого резервуара, наполненного жидкостью; истечение воды нз с~7 тоже может происходить не в атмосферу, а в особый резервуар, наполненный водою и находящийся под некоторым напором. Чтобы найти вертикальную реакцию Х, напишем для оси, направленной вниз„ уравнение количеств движения для совокупности сосуда абсс7 и жидкости, в данный момент с наполняющей его.
Так как движение установившееся, т. е. в каждой точке явления не изменяются с течением времени, то нет надобности брать в рассмотрение продолжительный период времени. Достаточно рассмотреть очень небольшой и даже бесконечно малый промежуток времени й; так мы и сделаем и напишем уравнение количеств движения для этого беско- 188 закон количеств движения и закон живых снл нечно малого времени.
Для этого нужно прежде всего вычислить количество движения, приобретенное ясидкостью аЬгл з течение времени ау по вертикальному направлению. Составим выражение д:ш этого количества движения. За время М жидкость, наполняющзя сосуд аЬсл, получит бесконечно малое перемещение; частипы, которые лежали в сечении аЬ, займут положение' аЪ'; частицы, которые занимали выходное сечение сИ, перейдут н положенке гфг Подобным же образом передвинутся н прочие частицы воды. Перейдя в другие точки трубы, эти частицы изменят свои скорости, так как в разных местах по длине трубы скорости, вообще говоря, неодинаковые. Совокупность всех этих изменений для всех частиц воды, наполняющей сосуд, и доставит полное изменение количества движения. Пользуясь тем обстоятельством, что днижение установившееся, мы можем очень просто определить это полное изменение копн:ества движения, происшедшее за время па.
Для этого заметим, что начальное колнчсство движения всей жидкости аз~ту можго рассматривать состоящим из двух частей: первую часть составляет количество движения объема воды аЬаЪ', а вторую часть — количество днинсення объема аЪЪз. По прошествии времени И наша жидкость занимает объем аЪ'сф,; ее количество движенпя можно рассматривать состоящим из двух частей: первую часть представляет количество движения части сЫсфо а вторую часть — количество движения чзсти аЪ'сЫ.
Из этого описания видно, что вторые части количеств движения одинаковы для начзла и конца промежутка пг. Следовательно, изменение количества движения, происшедшее за зто время, определяется разностью количеств движения объемов воды спс,Й, н аЬаЪ'. Эти объемы одинаковы, так как через каждое сечение трубы проходит одинаковое количество жидкости, а именно, Я в единицу времени, т. е. за время М пройдет объем СгсН.
Масса этой воды получается умножением ее объема, т. е. Я пг, на вес единицы объема у н делением на ускорение тяжести д. Чтобы получить изменение количества движения по вертикальному направлению, нужно массу умнозкнть на разность вертикальных проекций скоростей, т. е. на 1', соз а, — И, соз аа. пРимеР ЛРиложения закона кОличестВ ДВиження 189 Окончательно находим нужное нам изменение количества движения в таком виде: О Т вЂ” аг'(Ь" сова,— (Росова,).
1 (58) Перейдем теперь к составлению суммы импульсов внешних сил. Мы уже знаем, что взаимные давления между частями жидкости арсе', а также давления между текущей жидкостью и сосудом, представляют внутренние силы нашей системы и потому ве войдут в наше уравнение. В него необходимо ввести следующие внешние силы: а) вес жидкости и сосуда; их совокупность назовем Р; б) реакцию Х опоры на наш сосуд; эту реакци1о считаем направленной вверх; в) внешние давления на сечения ап и сп', ограничивающие нашу жидкость. Эти давления будут: роГо р1Г1 а пх вертикальные проекции: РоГо сов ао Р1Г1 сов а,.
Так как мы желаем найти изменение количества движении по вертикали, направленной вниз, то импульсы вертикальных сил, идущих вниз, должны считать положительными, а импульсы сил, направленных вверх, следует взять со знаком минус, Сумма всех импульсов будет: (роро соз а,— )11Г1 сов а, + Р— Х) П. Приравнивая ее выражению (58), найденному для приобретенного количества движения, и сокращая на Ф, найдеч, 9 — (У! соз а, — 1то сов ао) = р Го соз а,— р,Г1 сов а, + Р— Х.
Т Отсюда получаем искомую реакцию Х: Х =роро сов а, — р1Г1 соз а, + Р+ Я вЂ” "(Ъ'о сов а„— (Р1 соз а,). Это реакция опоры на сосуд; обратное ей давтепие сосуда на опору булет иметь то же численное аиаченне, но противоположное направление. В етом выражении первые три члена р,ро сов а„р,Г, сов а„Р представляют с т а т и ч е с к у ю часгь давления, т. е. то давление на опору, которое получилось бы, если бы жилкость, наполняющая сосуд, не двигалась.
190 закон количестВ дВижения и зАкОМ жнВых сил Последний член, т. е. 1;1 т ()l соза,— )г, соза,), о (59) изображает прибавочное давление, происходящее от движения жидкости в сосуде; это — динамическое давление. Оно может быть положительным или отрицательным, смотри по величине вертикальных проекций скоростей 1'В соя аа, )г1 с05 цы Если эти проекции одинаковы, то динамическое давление обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
