В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 27
Текст из файла (страница 27)
х!тобы внд,ть пример течения волы прп скорости меньшей, чем критическая, нужно ображьться к известным опытам Г1уазейля; он употреблял капиллярные трубки малого лиаметра, 1бЗ твогеыа Аппеля а так как из (44) при р — — 1 имеем: 1=т, то в 1Д )г 1 Но предположим, что мы желаем получить одинзковыс числа оборотов для обеих машин — большой и малой. Сл.довательно, отношение т соответственных времен равно единице. Тогда нз уравнения (И) получаем: и ),г т. с. в болшной машине нужно применять пар, упругость которого в ьа раз больше, чем упругость пара в малой машине. Такое соотношение никогда не применяется на практике, так как потребовало бы громадных дав~евай пара для крупных машин.
65. Теорема Анпеля. В общем соотношении для снл 1я ~= —, г установленном теоремой о подобии, сделаем следующие частные положения: к=1, р.=1, и= — 1, Тогда получим: т'= — 1; следовательно, т= )г" — 1=г, Отношение скоростей р= — будет равно величине 1 ! Условия ).=- 1, )г= 1 означают, что в обоих случаях мы имеем дело с одной и той же системой, а задание показывает, что силы сохранили свои величины, ио иаменнли направление на прямо противоположное. 154 теогемА О пОдоБии В динАмике Полученный нами результат: представляет собою следующую теорему Лппеля: Если в уравнениях любого движения все времена умножим на мнимый символ г, а скорости на — г, то получим уравнения движения для той же системы, но при Обратном направлении снл').
1) Аппель выводит свою теорему нна~е, чем сделано мною. Он пользуется для етого вывода лагранжевыми уравнениями движения в первой илн во второй форме. ВОСЬЧАЯ БЕСЕЛА ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 66. Внутренние и внешние силы. Когда система состоит из большого числа частсй, то полное изученве ее движения может оказаться очень сложным и даже невыполнимым. Б таких случаях полезно, ранее подробного исследования движения частей системы, получить некоторое понятие об общем движении всей системы в совокупности. Для этой цели имеет особое значеняе определение движения центра тяжести, т.
е. центра масс, составляющих систему. Движение этой замечательной точки под шнено простому и общему для всех случаев закону, который мы и рассмотрим. Воспользуемся здесь приемом, который мы уже неоднократно примсвялп. Разобьем систему на отдельные материальные точки и все связи замсним некоторыми силамп. Возмовгносзь такой замены легко себе уяаатгн всякая связь изменяет движение точки, к которой она приложена, другими словами, поопзводит некоторое ускорение; следовательно, каждая связь цропзьотпг такое же действие, как сила, а потому все связи мысленно ь огтт быть ааменецы силамп, Конечно, если мы не ограничиваемся такой заменой в принципе, а пожелаем и подробности найти направление и величину силы, замеояюпгей связь, то во многих случаях встретим затруднения.
По этой причине мы постоянно стараемся псклгочить силы связи. Пусть исе связи заменены мысленно силамп; тогда очень важно различение спл внспшпх от снл внутренних. Внутренними силами мы называем зс, которые происходят от действия одной части сост'чы на другую часть 1ой же системы. внешние же силы предсгавляют действие на нашу систему других тел, пе входящих в состав системы.
156 закон движения центРА тяжРсти Все силы, вооб це, происходят от действия олних тел на другие. Поэтому различение внутренних сил от внешних опре- деляется только гем, какие тела мы считаем входящими в состав'нашей системы. Изменяя задание состава системы, мы получим, что некоторые силы, бившие прежде внешними, сделаются внутреннимн, и обратно. Например, если рассмат- риваем движение системы, состоящей нз Юпитера с его спут- никамн, тогда притяжения между этими тсламн представляют внутренние силы; действии Солнца н других планет на Юпи- тер и его спутников будут внешними силами для этой системы. Но изменим состав системы; переходим к рассмотрению всей нашей планезной системы в совокупности: тогда все действия межлу планетамн и спутниками оказываются внутренними спламп, Или вообразим себе паровоз; если рассматриваем лвнженне поршня, то давление пара на него есть сила внешняя.
Но котла рассматриваем весь паровоз в целом, то давление пара везде в паровозе представляет внутреннюю силу для этой системы, Таким образом между внутреннимп и внешннмп силами нет разницы по существу. Тем не менее, весьма важно отделять внутренние силы от внешних, п нот почему: внутренние силы, как представляющие взаимные действия частей системы одной на другую, всегда имеются в системе по две вместе, равные и противоположные. Этот результат указывается нам третьим законом Ньютона — законом равенства между действием и про тиволействнем.
Поэтому, если А н  — две части системы, то мы получим в ней: во-перных, действие А на В, а во-вто. рых, обратное действне В на А, Б системе, состоящей из Юпитера со спутннкзми, мы встретим как притяжение Юпи- тером одного нз спутников, так и обратное притяжение Юпи- тера спутником. В паровозе, когда рассматриваем его в целом, имеем давление ползуна на параллели и обратное давление параллелей на ползун н т. д.
Третий закон Ньютона служит главным орудием для исклю- чения внутренних сил. Мы можем не знать нн величин, ни направлений этих сил; зная только, что они раним между собою и противоположны, мы часто можем достигнуть того, что в уравнениях этп две силы сокращают одна другую. 67. Доказательство закона движения центра тяжести. Переходим теперь к выводу общего закона движении центра доклзлтальс~ во злконл даижания цснтгл тяжгсти 157 отсюда ВС ги СА+ВС М вЂ” ~и+ти ' т. е.
ВС и~ ВА М (45) Эга пропорция определяет положение общего центра С по данным А и В. Если точка А затем переместится в А', а В останется на месте, то новое положение общего центра тяжести будет точка С', лежащая на прямой ВЛ' п делящая ВА' в, том жс отношении, как по условию (45), т, е. ВС' ~и ВА' М' Отсюда заключаем, что треугольники ВСС' н ВАА' подобны, т. е. СС' параллельна АЛ', и величины СС' и АЛ' будут в том же самом отношении, как и вслпчины ВС и ВЛ, т. е, СС' и1 АА' М' масс.
В следующем доказательсгве мы будем подражать Ньютону и Даламбсру. Рассмотрим, как перемещается общий цен|р нескольких масс вследствие перемещения одной из этих масс. Выберем, например, одну из материальных частиц ги нашей системы, находящуюся в точке А (риг. 104); пусть она перемещается, а все прочие части систсмы' неподвижны. Если полная масса, системы с' Я, то, выкая>чая подвижную массу лт, получим неподвижный осзаток, имеющий массу М вЂ” т; пусть центр В~., В А(иг) 1й1-иг) тяжести этого остатка есть точка В. Отме~им точкой С положение общего Фиг. 104. центра всей массы М; нз определения понятия центра тяжести, или центра масс, имеем, что точка С лежит на прямой АВ и делит расстояние ЛВ на части, обратно пропорциональные массам, сосредоточенным в А п В, т.
е. ВС ги СА М вЂ” т' 158 ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ Итак, сели перемещается только одна масса и, а прочие массы остаются в покое, то псремещение общего центра тяжести параллельно перемещению массы т п меньше его в отношении — . Это условие справедливо как для конечных перемсщсний, так и для бесконечно малых.
Отсюда получаем такие следствш1: а) Если масса и описывает кривую АА'А"... (фнг. 105), то центр С описывает кривую СС'С"..., обладающую тем свойством, что все хорды сс СС', СС", Ф" С'С",... параллельны и пропорциональ- ны соотвечствующим хордач пути точ- С" кп А АЛ', АА", А'А",... СлсдоватгльС' но, центр С описывает кривую, которая подобна пути то ки Л и подобным обра- 8 зом расположена.
)1ентром подобая слу- жит точка й. Фнг. !05. б) Скорости центра масс и отдель- ной массы гл в соотв тствующпх поло кениах параллельны одна другой, и между величинами их суще- >а ствуст то же отношеюш --, как и между перемещениями, Действительно, по опредсл ни о понятия о скорости имеем, например, для скорости в точке А. направление ее есть предел направления хорды АА', получающийся, когда точка А' постепенно приближается к А; величина же скорости в точке Л есчь предел частного, получающегося от деления хорды ЛА' на время, потребное для прохождения пути АЛ'.
!!Одобным же образом найдем н скорость центра масс для положения его в С, заменив только в прсдыдущем рассунсдеьнп хорду АА' хордой СС'. Ио так как точка С' копируст движения точки А, ль только уменьшив их в отношении —, то, несомненно, скорость центра масс в точке С окажется параллельной скорости массы гл в точке Л и уменьшенной в том же отношении в) Ускорения движения общего центра масс и о ~ дельной массы т для соответствующих положений будут параллельны одно другому и относятся между собой, как —, лт ' Действительно, обратимся к определению ускорения; пусть (фиг. 106) лнния Л1т изображает направление и величину ско- доклзлтвльство закона движения цен>их тяжести 159 рости массы >п для положения А; и пусть А'$"' означает на- правление и велпчииу скорости для положения А', бесконечно близкого к А.
Построив параллелограмм А1гК К, сгороиы ко- торого А!>, АК равны и параллельны скорое>ям массы лг в точках А, А', получаем вектор А К, называсьгый и з и е н е- нне и скорости; будем пос>епс>гно приближать точку А' к А, тогда предел направления АК называется направлшшем ускорения, Величина же ускорения есть предел отношения АК ко вре- 1> мели прохождения пути л, У' АЛ'. Подобное же расл суждение применимо ик й> 4 ускорению центра масс Фиг. 10б.
С, а так как эта точка копирует скорости точки А, уменьшив их в отношении †, то, разумеется, ускорение центра масс буде> параллельно уско- рению массы >и и м ньше его в точ же самом о>нош.нии. Ич я ускор нпе материальной точки >л, с~ йчас же получим силу, движущую шу точку, т. е. равгод,йстг>уюиту>г> всех внеш- инх н виутреннях сил, приложенных к массе >и Сила будет ипи параллельно ускорении> а н равняться произведению уско- рения на массу, т. с, сила будет равна р = >ла. Вслн бы эта сила была дана, то мы сейчас же нашли бы все обстоятельства движения материальной точки и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
