В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтому полезно уравновешивать силы инерции и в заводских машинах, если они быстроходные; теперь это обыкновенно н делают. л) Ш у б е р т, Теория уравновешивания сил инерции, 1902. СЕДЬМАЯ БЕСЕДА ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ 57. Вывод теоремы. Теорема о подобии выражает условия, прн которых две системы, геометрически подобные, будут получать геометрически подобные движении, т. е. одна система будет как бы копировать движение другой, но только изменив масштаб. Теорема эта была найдена Ньютоном и изложена в «Математических началах натуральной философииа в той главе этого сочинения, которая говорит о сопротивлении жидкостей движению '); закон этого сопро~ивлення выведен Ньютоном прн помощи теоремы о подобии.
Сама теорема получается у Ньютона, скорее, как гениальная ингуш)ия, чем как результат строгого вывода. Почти через двести лет после того Бертран показал, что эта теоремз есть непосредственное следствие начала Даламбера. Для вывода ее сначала покажем, в какой форме изображается начало Даламбера, если применить к выражению всех обстоятельств движения декартовы прямоугольные координаты и рассмагривать всякую систему как совокупность материальных точек.
Координаты любой из этих точек, имеющей массу лг, назовем х, у, я, а слагающие активной силы, приложенной к той же точке, обозначим через Х, )', 2. Прежде всего выразим условия равновесия этой материальной системы, Если для нашей точки и проекции возможных перемещений назовем через ах, еу, ел, то работа активной 1) П книга, 7-й отдел, русскин перевод А. Н. Крьыовз (Собрание трудов А, Н, Крылова, т.
Й), 1936), вывод тноввмы 137 силы для дозволяемого связями перемещения будет равна Хох+ У3у+ Лог, Составим такие же выражении работы для всех точек, образующих нашу систему, и сложим эти выражения; ~ч" (Хйх+ У'3у+ Ля). На основании начала возмохгных перемещений эта сумма работ должна быть равна нулю, следовательно: ~",(Хдх+ г'оу+23я) =О. (32) Это уравнение выражает начало возможных перемещений. Уравнения двюкепия получим, если в найденном условии равновесия активные силы заменим потерянными силами, т. е. равнодействуюнщми активных сил н снл инерции. Но, если х, у, я представляют переменные (текун~ие) координаты движущейся точки, то проекции ускорения ее на оси Удут к.
. . а пРошгцни снч инеРцни~ по опРеде нню, которое было дано в ~ 33, изобразятся отрицательными произведениями массы т на эгп ускоренна, т. е. нах лзу тх — гн — „- — т — — т —. тз лт Ги~ ' Потерянные силы будут иметь своиьш проекциями Фх ~~у Х вЂ” гн —, К вЂ” т — 2 — т —. о'та ' НР ' ФГо ' Их нужно подставить в уравнение равновесия (32) вмесго внешних сил Х, К„ Е; тогда получим уравнения движения: ~;[(Х вЂ” т,„)3х (-~У вЂ”,— „)3 + + (Š— т —,)оя1 =О. (33) Это и будет та форма начала Даламбера, которую получает это начало, если применить декартовы координаты и рассматривать систему как совокупность материальных точек. Вообразим себе теперь другую сншему, которая геометрически подобна первой системе, но от.шчается от нее разче- 138 твогвма о половин в динамики рамн, а также массами материальных точек.
Обозначим отношение линейных размеров новой системы к размерам прежней через '«, а отношение масс соответственных точек через р. Мы желаем, чтобы движения этих систем были геометрически подобны; следовательно, соответственные точки двух систем должны двигаться подобно. Определим более полно, что следует подразумевать под этим понятием «подобные движения». Мы сказали, что вторая система должна копировать движение первой, изменив масштаб; это изменение должно равняться отношению линейных размеров, т. е. Т.
Если текущие координаты частицы и« первой системы суть х, у, х, то координаты соответственной точки второй системы х', у', г' должны иметь значения х' ='«х, у' = «у, х' = )г, т, е. должно быть соотношение; — = У = — =1=сопз1. х у л Тогда перемещения второй системы будут параллельны перемещениям первой системы и в Т раз больше.
В этом и состоит подобие перемещений двух систем, Теперь нужно ввести условие относительно того, с какой скоростью вторая система будет копировать перемещения первой. Предположим, что соответственные части путей проходятся двумя системами не я одно и то же время; пусть вторая система употребляет для этого время в т раз большее, чем первая; т — число произвольное, но постоянное во все время движения н одинзковое для всех точек, составляющих систему. Итак, если в первой системе частица массы л« в момент времени 1 имеет координаты х, у, г, то во второй системе соответственная частица, имеющая массу тр, будет иметь в момент времени 1' =Й координаты «х, «у, «з. Теперь мы вполне определили, что называем подобными двюкениямп диух систем, Как следствие этого определения получаем соотношения скоростей и ускорений сходственных точек двух систем; при этом сравниваем скорости и ускоренна, получающиеся для соответственных времен, т.
е. для первой системы берем момент времени г, а для второй — момент врез«ез«м 1' =т1, Так как лдя этих моментов времени имеем: х'=ах, (зй ВЫВОД ТЕОРЕМЫ то, дифференцируя и помня, что т и ). не зависят от времени, получим: ж =м(, ггх' =), г(х, Следовательно, ах' т гГх (34) ггх' Мх т. е. отношение скоростей —, и — для сходственных времен Ж' равно постоянной и одинаковой для всех частиц величине — , .
Дифференцируя уравнение (34), получим; ('лх ) г ('ах~ а деля обе части этого уравнения на Ш', нли, что все равно, на тггг, найдем: т. е. Кгх 1,Ггх Лтг гг <да' (35) Следовательно, отношение ускорений соответственных точек двух систем для соответственных времен представляется постоянным и одинаковым для всех частиц мнохогтелегг —. «г Отношением сил инерции, т. е. произведений из массы ~й на ускорение будет: — , . Таковы соотношения в тех движениях, которые мы назвали подобными. Посмотрим, какие активные силы должны быть приложены к этим системам, чтобы они получили подобные движения. Если в первой системе на точку лг действуют силы Х, У, х, то какие силы Х', )", й' должны быгь прнложекы к соответствующей точке второй снстемыу Для ответа на этот вопрос обратимся к уравнению (33), изображающему движение первой системы, и посмотрим, как нужно преобразовать его, чтобы получить движение второй системы.
((о теОРБМА О пОдоБии В динАмика Заметим, что вторая система должна быть подобна первой во всех отношениях, т. с. не только части второй системы должны быть подобны частям первой системы, но должно соблаодаться также и подобие снязей. Следовательно, возможные перемещения второй системы могут отличаться от возможных перемещений Зх, еу, Зя первой системы только множителем, общим для всех частиц; его мо»<но отбросить.
аах Затеаа вместо снл инерции — ла — — во второй системе \ Лта а а« появятся те же величины, умноженные ва —,' . Вместо активных сил Х, У; Е во второй системе будут силы Л", Г, Е'. Таким образом, уравнением движения второй системы будет: а', тя аа» ~ + ( х' — — „—,) да 1 = О. (36) Нужно найти, какие силы Х', У', Р' удовлетворяют этому уравнению; это будут силы, сообщающие второй системе движение, подобное тому движению первой системы, которое определяется уравнением (33). Но, сравнивая уравнения (36) и (33) между собою, видим, что, если уравнение (33) удовлетворено, то можно удовлетворить уравнению (36), принимая Х'=ТХ, )"=Т); ~ =у~ и полагая при этом 1р Т:,а На самом деле, прн такой подстановке уравнение (36) делается вполне согласным с уравнением (33), за исключеав пнем лишь постоянного мно»опеля у =- — '„, на который можно сократить, так как этот множитель входит во все члены уравнения.
Итак, силы, которые сообщают второй системе движение, родобное движению первой системы, должны удовлетворять 141 вывод 'тяоеемы следующим условиям: х =ух, у'=(у, г=ук и )в В технике имеет особое значение величина работы, производимой машиной в единицу времени; она выра>кается обыкновенно в лошадиных силах. Отношение таких работ для днух подобных систем получится делением выраженн (37) на отношение времен т: >да ы (38) Эту совокупность отношений отношениями скоростей >. дополним вышеуказанными (39) п ускорений (40) ы Мы можем притти к тому же результату, подходя к вопросу с совершенно другой точки зрения, а именно, рассмат- т.
е. 1) активные силы второй системы должны быть параллельны п пропорциональны соответстнующим силам первой системы; 2) коэФфициент пропорциональности сил должен равняться произведению из отношения линейных размеров двух систем на отношение соответственных масс этих систем, рааделенному на квадрат отношения соответствующих времен. В этом и заключается теорема Ньютона о подобии. Для сил связи, конечно, получится такое же соотношение, как указанное для активных сил.
Работа получается как произведение силы па перемещение: поэтому отношение соответственных работ для двух подобных систем пзобразится величиной (3У) 142 теогемл о половин В динлмикв ривая размерность величин, входящих в уравненияя движения. В уравнение движения входят разнородные величины; из них трп величины основные, а именин: длина (Е1, масса (М1 и время (Тй прочие же величины — производные.
Ускорение имеет своей размерностью: а так как сила равна произведению массы на ускорение, то размерностью ее будет: МП'-'. Вообразим себе любой случай движения системы, определяемый одним или несколькими уравнениями. Изменим единицы, которызщ измеряются величины, вхотяигие в уравнения движения; тогда зти величины будут изображаться другими числами, чем прежде, сообразно с изменением единиц. Произведем следующее изменение еданпц: уменыинм единицу длины в Х раз, единицу массы в р. раз и единицу времени в т раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
