В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для изображения того, как изменяются моменты инерции для разных осей, проходящих через одну и туже точку, применим следующий прием (фиг. 86). На каждой нз осей ОА, ОВ, ОС, ... отложим отрезок (Оа, ОЬ, Ос,,), пред- 1 ставляющий величину =, т. е. величину обратную корню УУ ' Ф квадратному из момента инерции для этой оси. Концы а, Ь, с, ... этих отрезков образуют некоторую поверхность, которая будет служить наглядным указателем изменяемости моментов инерции. Определим вид этой поверхности, для чего составим ее уравнение.
Пусть ось ОА составляет с координатными осями х, у, я углы а, (), П координаты точки а, т. е. конца от- 1 резка Оа, равного =, назовем $, а), с„это будут коорди- гт' наты искомой поверхности, указывающей закон изменения моментов инерции. По известным формулам аналитической момвнты инагции 125 геометрии имеем. 1 с=Оа сова= — сова, 1 з) = Оа сов р == сов р, '~'3 г ь=Оа совт=-=спят. У" У Определим отсюда сова, совр, сову и вставим в уравнение (27). Получим по сокращении на 3: 1 =3 -.'+3,лз+3с" — 2О, й~ — 2йсвй — 2Ве,,йб (28) Эта зависимость между координатами Е, г), ь, представляет уравнение искомой поверхности.
Оказывается, что мы имеем поверхность второго порядка. К этому прибавим то соображение, что нн для одной нз осей момент инерции не может быть равен нулю, так как он есть сумма положительных членов. Поэтому ни одни из отрезков Оа, ОЬ, Ос не может быть бесконечностью. Итак, мы имеем дело с поверхностью второго порядка, не имеющей ни одной бесконечно удаленной точки, Следовательно, это наверное эллипсоид, Таким образом мы получаем замечательный общий вывод: изменение моментов инерции для осей, проходящих через одну точку, всегда представляется поверхностью эллипсоид а, каковы бы ни были форма тела и расположение масс его составляющих. Изменяя направление осей координат, мы всегда можем упростить уравнение эллипсоида и уничтожить в нем члены с произведениями координат. Делая это известное преобразование Эйлера, получим уравнение эллипсоида в форме: 1 =31С2+ 3ат1з+3ВЬв.
Новые координатные оси будут направлены по осям эллипсоида. Сравнивая это уравнение с (28), находим, что вследствие перемены координатных осей получились следующие изменения: 1) Величины 3„, 3, 3, превратились в 3,, 3а, 3а. Но 3„, 3, 3, были моменты инерции для прежних осей коорди- 126 угляновещивхл!ив сил инегцин нат. Теперь Ут, Уа, Уа будут моменты инерции для новых координатных осей. 2) Величины хт , (2,л, У;л„ обратились в нули. Но этн величины изображают суммы ~ !игу, ~ ьчхя, ~Р ~глух. Следовательно, прп новых осях такие суммы равны нулю.
Это! вывод показывает, что для всякого тела можно найти такое направление координатных осей, при котором выполнены условия: ~ илгу = О,,,"~ глхг = О, ~~'., ллух = О. (30) В $49 мы дали слсдулощее определение: ось, удовлетворяющая тому условию, что для нее равны нулю две суммы, которые содержат координату х, т. е. г,'лиха=0, ~глух=О, называется главною осью. Условия (80) показываюг, что у нас ве только ось х, но и две другие оси у, г суть главные осн. Итак, в каждой точке всякого тела имеются трн главные осп, взаимно перпендикулярные. Моменты инерции для ннх называются главными моментами инерции. Рассмогриллчастный' случай. Пусть пмеелл; У2 УЗ~ т.
е, два главных момента инерции равны между со. бою. Фиг. Вт. Тогда эллипсоид (уравнение (29)) будет эллнпсоидом вращения (фнг. 87). При этом получается равенство не только моментов инерции дли осей у, г, но и для всякой оси, лежащей в плоскости ух, момент инерции будет тоже равен Уа. Все эти оси будут главными осями тела. Этот случай получается, например, для однородных тел, имеющих геометрическую форму тела вращения. Главными осями такого тела будут: его ось фигуры н все оси, к ней перпендикулярные. В случае, когда все три гл а вны е момента инерцииии равны между собою: У! Ул Ул 127 МОМЕНТЫ ННЕРЦИП эллипсоид (29) превращается в шар. При этом моменты инерции для всех осей будут равны между собою, и все оси будут главные Чтобы вычислить момент инерции, нужно разделить тело на элементарные части, составить произведение из массы элемента на квадрат расстояния его до оси и затем суммировать произведения.
г(исло их бесконечно большое; следовате.чьно, мы будем иметь дело с суммою Г ~р бесконечно большого числа членов. р~ р Подобные суммы находятся по правилам интегрального исчисления. Для примера найдем момент инерции однородного кругового цилиндра ощшснтельно его осп. 77 Пусть радиус цилиндра будет тт, а высота его Н (фиг.
88). Разделим его на элементы такого вида: опишем из центра, взятого на оси пплпндра, два бесконечно близких 1 ( круга радиусов р и р-~-ар и на ннх построим бесконечно тонкую цилиндрическую трубку, простираюшуюся по всей длине цилиндра. Все точки такого элемента можно считать находящимися на одинако- Фнг 88. вом расстоянии р от оси цилиндра. Объем элемента равен 2тгр.ар Н. Если назовем массу единицы обьема через 8, то масса элемента будет: 82пр Тур Н; его момент инерции равен 82 яр .
др .Н. рз = 2п8Н. ра . ~ф (31) Весь цилиндр можно считать состоящим пз таких элементов. Просуммируем выражения (31); это сводится к нахождению определенного интеграла в пределах от радяуса, рав- ного нулю, до радиуса Й. !28 угхвноввшивхнне сил инагции Искомый момент инерции будет: н3Н ма 1= ) 2н3Н ра др=— Если имеем цилиндрическое кольцо, например обод махового колеса (фнг. 89), то момент инерции его получится как д разность моментов инерции двух цилиндров — наружного с радиусом Й, н внутреннего с радиусом гс, а' 51. уравновешивание касательчых снл инерцчи. Касательные силы инерции не могут уравиовсшнватъся силами давления в подшипниках, потому что моменты этих свл давления относительно оси вращения равны нулю, в то время как сумма моментов каса- Фнг. 89 тельных сил инерции относительно оси вращения, согласно 9 35, имеет величину Следовательно, если касательные силы инерции уравновешиваются сами собой, то йн лг т.
е. вращение происходит равномерно; но тогда касательные силы инерции вообще отсутствуют. В общем же случае можно потребовать, чтобы давления, возникающие в подшипниках вследствие наличия касательных сил инерции, уравновешивались этими силами. Для этого опять надо написать два уравнения равновесия для проекций по осям х и у и два уравнения моментов относительно осей х и у. Для этого надо найти проекции касательных сил инерции. Сравнивая эти силы с центробежными, видим, что те и другие приложены к каждой частице тела и пропорцио- выполнение ррлвиовашивания пл практике 129 нальны произведению лыч Различие же состонг в том, что это произведение з центробежных силах уш1ожается на одинаковый множитель и', а для касательных сил имеется общий лм множитель —.
Кроме того все касательные силы инерции лг повернуты относительно центроо жных сил на 90о в плоскостз вращения (фиг. 90). Итак, мы мо кем перейти от системы центробежных сил к системе касательных сил инерции, умножая первые иа некоторый постоянный множитель и поворачивая их на 90о в плоскости вращения, Вместе с таким поворачинаннем сил повернем на тот же угол в ту же сторону и ко- ят тшяг орлинатные оси л и у, которые лежат в плоскости вращения. Тогда проекции и моменты касательных спл инерции относительно новых координатных осей выразятся темп же формулами, как проекции и моменты цен- () У тробежных спл относительно старых Фнг.
90. осей с заменой множителя ма на дм — Так как уравновешизаиие центробежных сил без реакций йг опор было возможно на основании уравнений (21), (22), (23), (24)„если центр тямсести лежит на оси вращения и ось вращения есть главная ось инерции, то и касательные силы инерции в этом случае не вызовут дополнительных давлений на подшипники. 52. Выполнение уравновешивания на практике, Приблизительное уравновешиванио вращающихся частей машин достигается тем, что им придают форму тел вращения; для этого их обтачивают на токарном станке.
Но такое уравновешиваинс было бы вполне совершенным только в случае полной однородности материала, чего в действительности никогда не бывает. Поэтому, несмотря на форму тела вращения, в обточенных частях машин центр тяжести не лемгит на оси зращения, и эта ось ие есть глазная ось. Для окончательного выполнения условий уравновешивания делают дополнительные поправки прп помощи ряда попыток, руководствуясь следующими приемами. й и. л. кирпичев 130 угавнонвшиваииз снл инеРции Если тело может свободно вращаться около оси 0 и центр тяжести его 0 не совпадает с осью вращения, то положением устойчивого равновесия будет такое, при котором центр тямсести занимает самое низкое из возможных для него положений; тело будет всегда стремиться установиться в этом положении, Нужно спиливать часть матеряала со стороны центра тяжести до тех пор, пока не исчезнет положение устойчивого равновесия и все положения будут одинаково безразличны; если достигнем этого, то имеем совпадение центра тяжести с осью вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
