Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Линейное (одномернОе) движение осуществляется нрн движении газа в прямой трубе постояняого сечения;мы пренебрегаем при его рассмотреяии потерячи, зависящими от взавмодействия газа с боковыми стенками трубан. Крюссар [118) в 1913 г. первый установил предельный закон такого движения. ~ Точнее, в состояние, отличающееся от исходного лишь иа величиям, пропорйиональные при малой амплитуде кубу амплитуды вследствие изменения внтропив при сжатии в волне.
169 Раеемотрвм„следуя Крюесару, волну треугольвой Формы, показанную .яа рнс. 60, С течением времена раестояяие между каждой парой точек в, 6, отвечающях различным даелаввям, увеличивается, так как скорость распространения (равная сумме скорости двяжевяя газа к скорости звука) растет с ростом давления: в целом волна представляет собой совокупность ударной волны У, в которой происходят бметрое сжатие, в следующей за ней волам разреженвя УП, в которой давление газа падаег. Рис.
60. Навяжем уравнение раепростраяеняя состояняв с ха — «ао + (са '+ па) й (ХХ1Ч-6) По закояам акустики 16,! 1др, с = со ! 1 -+- — — ! ' и = со — — ' (ХХ!Ч-7) обозначив — = к, найдем йр ро й+. 1 ха=хао < сот'+ 26 сова 6 (ХХ!Ч-6) Еслв в начальвмй момент имело место линейное раскределеннс давления в зазисямоств от коордяваты, то оно останется линейным и познай 1 !=О, х) хоо, .— — — (х — хоо);х(хоо,я=0; (ХХ1Ч-9) /с гь1 й-+-1 х(п, 1) = хо(п) -~- со!-~- — со во = хоа.+-а и-+- соо-а- — аовй (ХХ! Ч-10) 26 26 х — хоо — со! и— й-ь1 с -+- со! 2й (ХХ1Ч«11) Задввювеь начальным линейным распределеяяем (ХХ1Ч-9) в момент г =- О, мы получки в проввволькый момент т также линейное распредельяне давлвяиз (ХХ!Ч-11), Скорость движения ударной волам В, амплитуду которой обозначим ка равна среднему арнфметнческому со и скороетн распространеняя с-+-и соетововя, получающегося после сжатия до давлеяня к».
Л Лагко убедятьсв, что любое начальное распределение е костояяным зяаком Ыр/Ых ) 0 монотонно приближается к линейному е течеяием времеви, так как возрастает ляяейвмй в давлении член пропорцяовальный со к 6 110 й -с-1 1- 1-с- —,.* /7 " сс = „/1 ~ 1;). (ХХ!Ч-12) Составим выражение нзмененвя амплчтуды ударной волны по мере раепроетраяеннн — = — .с- Д— с/пс дп дп с/г дс с/х (ХХ1Ч-13) Выражение вто отлично от яуля за счет того, что /) отлично от с-+-и.
Воспользовавшись вмраженнем и (х, Г), (ХХ!Ч-11), найдем ссжс й -+- 1 ссе с (ХХ1Ч-14) — — — — со с/г 4й /с -+- 1 а -+- — — ссг 2/с и~с! !и же = — — !п (" + — сс/) -с-сове!, (ХХ!у-15) А с» = с /с-с-1 ф~ с-+- — — сф 2д (ХХ1Ч-1б) с1х = х (пс) — х (0) = А 1/' с -+- — се/ (ХХ!Ч-!7) й-с-1 2/с Таким способом Крюссар установил, что в одномерном случае амплятуда ударной волны падает по мере распространенна, как 1/Ч/, ширина волны растет пропорционально !//3 В оригинальной работе Крюссара, выполкеняой в 1912 — 1913 ст., содержатся также сваляв, покавмвающпй, что найдеввмй заков относятся к случаю малой амплитуды, т, ж являетея предельным заковом пря болыпом времснн распростравеяня.
В 1938 г. Шмушкевкч!115) вывел тот же закон следующяя образом. Заданшвсь тем, что раепределеяве давления в волне остаетсн яодобвым по мере раепространеяня — по крайней мере в пределе, пря болыном б после того как волна проделала болыной путь,— Шмушкеввч составляет уравнение скорости изменения юирияы волны Лх в сопоставляет его с ураввсввем постоянстве колнчества движения волям сИх й -+- 1 — =- /) — сс = — оса", с/г 4/с (ХХ!Ч-18) сс» ° р ° и = с)х ° сс ° сопзФ = сове!. (ХХ!У-19) /с +-1 т Мы упроетилв вависямоеть считая — сс/ большим по сравнению 2й с т влн соответствующим образом изменяя момент начала отсчета времена. 171 где А — постовняая интегрирования, зависит от начальных условий. Зная связь между щ х, й найдем ширину волны бх, т.
е. расстояние от точки. в которой в даввыв момент к= О, до точкн, в которой доепсгаетея давлевне ударной волны ве При составлении второго уравнения (яоличества движения) мы аспольауем яввестную ив аауетиии лняейную евяль между саоростью движения и давлением и далее используем предположение о том, что распределение остается подобнмм самому себе, тах что ж = сопв1 пе. Выписанные выше ава ураанеаиа легко решаются >Их >> ">- 1 1 — = — ° сс .>" =  — г Вг 4й ' Ж (ХХ1Ч-20) (Лх)х =. 2В> .+- сспм, — В Лх =- Вгтг->- Вь па= > г>> -+.
Вг (ХХ! Ч-21) »л г>' — = "- (сосет и» >)х) =- — сосет ° и'л (ХХ1Ч-221 >> Ь соалФ и" >3х =- соса>, (ХХ1Ч-1 9) (ХХ1Ч-23) откуда находим Ивтегрироваяие (ХХ1Ч-23) дает результат, тождсственвмй Формулам (ХХ1Ч-21). Итак, при исяольловаапи раалпчных свойств ударной аолнм, того, что скорость л> ( с -+- и (Крюссар), того, что лг ) сс (Шмушаевич), и роста аятропвв в волне, мы получили одяяаховмй предельный ванов; этот реаультат ааеисит от внутренней свали аеречаслеивмх свойств волям (см.
5 Х(). Эясвернмевтальное исследование олвомервого распространения ударной аолнм бмло проиаведеао Вьейеи (861 и поаже Вотье (123), опыты которых вкратце описанм в з ХЧ. Значительно сложнее вопрос о предельных (для больших расстояний) законах распространения сферических волн, который особенно интересен для теории фугасного действия взрывчатых веществ.
Рассмотрение сферических ударных волн мы начнем с напоминания о свойствах сферических акустических волн. Основная особенность последних в уменьшение амплитуды обратно пропорционально расстоянию от центра симметрии. Это уменьшение амплитуды не связано с уменьшением общего запаса звуковой энергии; уменьшение амплитуды зависит 172 где В, Ви Ва, Вл — константы. Кеа Крюссар, тах н Шиушаевич используют предположение о том, что после прохождения солим вещество воавращается ь всхсдное состояние, с начальной схоростью ввуаа сс в начальным давлением р=рс, и = О.
При этом мы отбрасываем аавссащие от нвменення ентропии еффехтм, которые пропорцнональям кубу ажплитулья вреиебрсжеиие сто допустимо, посаольау'мы рассматриваем уравнения, содержащие большие члены. В предположеаиах Шмушяевича и>а можаи, вместо ввмененпа мириам волям, рассматривать неменевяе ее свободной энергии е, зависящее от превращения анерпш в тепловую, т. с.
от роста ентропии, пропорционального лел, от того, что по мере распространения сферической волны растет пропорционально объему сферического слоя количество вещества, вовлеченное в движение. Вторая особенность сферических волн заключается в том, что за волной сжатия с необходимостью следует волна разрежения. Если в начальный момент вокруг центра находилось сжатое вещество (рис. 61а), расширение его дает начало волне сжатия, за которой следует волна разрежения (рис.
616, АВС н СОЕ); при этом мы имеем две области нарастания давления (АВ и ОЕ) и одну область понижения давления (ВСЮ). А+- ! Рнс. о1. Зависимость скорости распространения от амплитуды вызовет уменьшение расстонний АВ и лгЕ и увеличение расстояния ВО; Ландау [1281 отмечает, что в пределе, по истечении достаточного времени (и после прохождения достаточно длинного пути) волна примет форму, показанную на нижнем рисунке 61а с дв мя ударными волнами АВ и ЙЕ. момента образования ударной волны дальнейшее распространение сопровождается диссипацией звуковой энергии, превращением ее в тепловую; амплитуда максимального давле- 1 ния падает быстрее, чем раньше, быстрее, чем по закону —.
р (г — со г) г (ХХ%-24) в качестве нулевого криблимемня. В следующем приблямевкн, вместо со, мм подставим скорость распространения с-+ и. соответствующую данному состоянию. Найдем, яак меняется раестояяке мемду парой точек, напри- 173 Подойдем к нвкомдеиию количеетвеннмт ваКояомерностей, сотраияя акустическую Формулу 5 1И мер т и я, которым отвечают определевиые звачеиия р и р„по мере распростраиеввя волям Вг й -г-1 рм ! 7 й-+.1 р„1 — = (с -+- и) — (с -г- и) — — со ~1 -г- ги й -г- 1,им — р„ 2й = со— (ХХЧ1-25) ггггз 1 гггтс й-+ 1 !гзг !ге г(г ос г(! 2/с г. (ХХ(Ч-26) (ХХ!Ч-27) кг.1 г г г е = ггзсь + ° Ьт Ии) )и— 2к гс г газе 2й !и — =— ге Ив !ьл й.+ 1 (ХХ!У-28) длина стрезва гля обращаетея в нуль, т.
е. образуется ударная волив. То ме относится и к 77Е. Напротив, длина участка ВСО, вакг,тором происходят падение давления, растягивается по мере распространения, так что произзодвая ди(дг умевьпгаетея с ростом ! и с ростам г, бр Ис — рм 1 д г й +-1 а -г- — )п г 21 (ХХ! Ч-29) г)7г! — г й т-1 с=! — ! — —,!пгс. Й~ lз 2Л где Рассмотрвм теперь захоя измеяевия амплитуды ударяой возим. Вели" чина рь во фронте ударной волны ведает потому, что скорость распростраиеиия ударной волны меиьюе скорости распростравеввя состояния с поегоявиым зизчсиием р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
