Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Вх На основании первого уравнения (10.1) можно ввести функцию тока осесимметричного движения жидкости, полагая 1 дФ и А~~!па дз' дф )гми Вд~Р ' (10.2) Используя обозначение оператора Стокса последние два уравнения (10.1) можно представить в виде 1 дзФ ! дл ч д)зФ йчз!зВ дедВ р ддЗ+ Щз!вв дв 1 д'Ф ! др ° д!!Ф з!я Вд)Рдс р дВ + мп В д!В Исключая из уравнения (!О 4) давление, получим для функции тока следующее дифференциальное уравнение с частными производными четвйртого порялка: д)зФ вЂ” =-00Ф. дг (10.5) (10.4) Полученное дифференциальное уравнение (10.5) применим к задаче о неустаиовившемся движении шара в неограниченной вязкой жилкости.
Пусть шар радиуса а движется с постоянной скоростью !го параллельно положительному направлению оси л в неограниченной вязкой несжиРис. 89. маемой жидкости (рис. 89). Граничные условия прилипании частиц жидкости к поверхности шара будут представляться в лиле при )с=а о = — — — = (ге соз В, ~ дф и Язв!пВ дз 1 дФ (10.6) К граничным условиям (10.6) необходимо присоединить условие отсутствия движения частиц жидкости на бесконечности: (10.7) при !с=со пл — — О, па=О. Что касается начального условия в рассматриваемой задаче, то его пока формулировать не будем. Вид граничных условий (10,6) даат некоторое основание к тому, чтобы искать функцию тока в виде произведения квадрата синуса $10! движение шага в неогглннчкнной вязкой жидкости 343 на неизвестную функцию от радкуса и времени, т.
е. ф = з!п !!Р(гс, Г). (!0.8) При таком предположении дифференциальное уравнение (10,5) и граничные условия (!0.6) н (10.7) представятся в виде (10.9) 1 др — — '= — !г,, 1г дР 1 дР 1г д1г — — = О. 2г" = !е дн = при Я=а (10.10) при )с = со е-гнг" я, Г) =— г* Р е (10.11) и проводя преобразование Лапласа над уравнением (10.9) и гранич- ными условиями (10.10), получим: 1 МЕ' !о о цлт= !о ! Нг' ггИ при )с= а (! 0.13) при )с = со Пользуясь неопределенностью начальных условий, потребуем, чтобы первое слагаемое (10.12) обращалось в нуль, тогда дифференциальное уравнение (10.12) запишется ( —" — 2) ф — р-(~'+ — ')~ = О. (10.14) Если ввести обозначение (10.15) то дифференциальное уравнение (10.14) представится в виде азу 2Г' — — — = О. нде уг Общее решение этого последнего уравнения будет иметь внд у= — '+СУ.
К данной задаче применим метод преобразовании Лапласа. Вводя обозначение нвкстлновившвася движвнив вязкой жидкости (гл. гх Таким образом, для изображения В* будем иметь следующее неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: „(р+ й) с, (10. 16) Проверкой можно убедиться, что частным решением уравнения (10.!6) с правой частью будет выражение " (с!+с о~) (10.17) С помощью подстановки Г = !/Я~ Л/!х(В)1/ ~)+ ВК.;, (В 1/ — )1+ — '+ СЯ'-. (1ОА6) Чтобы удовлетворить условию (10.13) на бесконечности, необходимо постоянные А и С, приравнять нулю. Функция К (х) представляется в виде Кд(х) =-.
1/ — "(!+ — ). Следовательно, решение (10.18) будет теперь: В* = В,е ' (1+ =--)+ —. я) /г Используя граничные условия (10.13) на самой поверхности шара, получим уравнения для определения постоянных Вт и С, В,е ' (1+ — )+ — = — - — усох, У г— ч а ал 1/р) аа ~" =у1/й однородное уравнение для В' можно привести к уравнению Бесселя леу 1 лу (р 9 Ига ВЛВ (» 4Кн) — + — — — у (-+ —,1= О. Решение етого уравнения представляется через функции Бесселя дробного порядка от мнимого аргумента у =- А!т, ()г 1/ Р ) + ВКт, (й 1/ Р ) .
Таким образом, полное решение дифференциального уравнения (10.!6) будет: 9 10) движвнив шлел в нвогеаннчвнной вязкой жидкости 345 откуда получим: вз — — -аУО )г — ' е 2 З р Ь'зи ( з+ за )Гб+3~) Таким образом, решение уравнения (10.16), удовлетворяющее всем граничным условиям, будет иметь вид 2 ! )Гр рА' l й l! у'р йр1 Проводя обращение преобразования Лапласа (10.1!), получим; р()з Г) Ьеи ! ~ ел~Зе ! " (~/ — + — )— аз за Ги зи1ар — — — а; — — — ~ —, (! 0.20) Л !3г' р Лр! р' В теории операнионного исчисления ') доказывается, что асимптотическое значение оригинала прн бесконечно больших значениях независимого переменного Г можно получить с помощью разложения самого изображения в окрестности той особой точки на плоскости комплексного параметра преобразования р, для которой действительная часть этого параметра имеет наибольшее значение.
В рассматриваемом нами случае такой особой точкой изображения (10.19) служит точка, для которой р = О. Если показательный множитель (1О,!9) представить в виде ° Гр — ~н — и!и — Гр ! зр е р "=! — я — а)у — + — я — а)з— У ° то нз (10.19) будем иметь: (Р')„~, — — — аЪ'з !!Зй — — ). 1 г аз (10.21) Учитывая (!0.8), получим для функпин тока при бесконечно больших значениях времени слелующее выражение; (9) ьь о = — (3)х — — ) 5!пз !д (10.22) Правая часть (10.22) совпадает с правой частью (6.12) главы Ч. Таким образом, полученное решение (10.20) при возрастании времени г) Л у р ь е Л.
И., Операционное исчисление н его приложения к задачам механики, Гостехиздат, !951. нктстлновившввся движанив вязкой жидкости (гл. !х до бесконечности вырождается в решение задачи Стокса об установившемся движении шара в неограниченной вязкой жидкости. При проведении решения задачи о движении шара мы не сформулировали точно начальное условие. Начальное распределение скоростей мы можем получить из самого решения (10.20).
Для этого достаточно найти выражение для изображения при стремлении параметра преобразования к бесконечности. Полагая в (1О 21) р = со и учитывая (10,8), получим следующее выражение функции тока для начального момента времени: (ф)8-ьо = — э!и 0, и" Ь е 2!г (10,28» Правая часть (10.23) представляет собой выражение для функции тока прн движении шара в идеальной жидкости. Следовательно, установленное выше решение (10,20) имеет место при том начальном условии, что распределение скоростей в момент начала движения совпадает с распределением скоростей при движении шара в неограниченной идеальной жидкости.
Заметим, что дифференциальное уравнение (10.5) можно представить в двух эквивалентных формулах: в Д',-' —. вф) = о, (,— ',—.В)ВФ=О. Поэтому решение уравнения (10.5) можно в ряде случаев искать в виде суммы двух функций: Ф ='а+фа (10.24) из которых первая является решением дифференциального уравнения параболического типа — ' = чР)ы (10.25) а вторая представляет собой решение уравнения эллиптического типа !)Фз = О. (10.25) Построенное нами решение (!0,18) как раз и представляет сумму двух иэображений: Р' = Р;+ Р".
Для первого из этих иэображений оригиналом будет функция Р„()с, !), с которой решение уравнения (10.25) связано зависимостью ф, = ыпзйР ()с, Г). а для второго — оригиналом будет функция Рз®, Г), через которую решение уравнения (10.26) представляется в виде 4з — — э!пзбРяЯ, 1). Учитывая (10.24), (10.26) и (10.26), для оператора Стокса от функпии тока 5, будем иметь: 1 дрч з1еза дрч дг ч дг' (10.27) Обратимся теперь к вычислению давления в произвольной точке и к определению результирующего воздействия вязкой жидкости на шар. Подставляя выражения (!0.24) и (10.27) во второе равенство (10.4), получим: 1 / дейч дзйз Х 1 др „ ! дзд, з1п Н 1д17 д1 + дА дз ] р дз ' з1п Н д/7 де ' или др г дзр,, дар, — = — — — = — е з!п Н вЂ”. да з1п Н д17 де ' д1731' После интегрирования обеих частей этого равенства по углу Н будем иметь: р=рсозН вЂ” '+С, дчг дГ (10.28) Подстановной выражения (10.28) в первое равенство (10.4) можно убедиться в том, что С может представлять собой лишь произвольную функцию от времени.
На основании (10.19) можно заключить, что изображение функпии Ре()3, г) имеет вид Р, = — — ~ (а + За 1/ — + — ) . (10.29) По виду правой части (10.29) легко установить выражение самого оригинала Р ()з т) а е/аэ+ба1// ч— + 3 1). (1О 30) Подставляя (10.30) в (10.28), получим следующее выражение для давления в произвольной точке вязкой жидкости: р г о (За 1/ — +Зч)+С, (10.31) Лля сопротивления шара мы можем использовать общую интегральную формулу (4.16) главы !И, которая в нашем случае принимает вид (10.32) 9 10! движвнив шлтз в нвогтаничанной вязкой жидкости 347 348 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ )ГЛ.
!К где та — составляющая вектора скорости, параллельная оси симметрии. Используя выражения (10.2) и граничные условия (10.6), получим: ш= о сОЕ6 — юзз!и 6, ) На основании уравнений (10,25) и (10.26) будем иметь: дЧ дзе, дед, . 72Р, ! дг, 27У,, е 72Р „! др,1 (10.34) Используя первое граничное условие (10.10), получим: [2 (Р~ + Лз) ~ (10.35) Так как это равенство справедливо для любого момента времени, то его можно дифференцировать по времени, т.
е. (10,36) Подставляя (!0.35) и (10.36) в (10.34) и (10.33), найдем: Используя теперь выражение (10.30), будем иметь'. (дм) 31е ге ( / ) (10.37) С помощью равенства (10.31) и (10.37) подинтегральное выражение в (!0.32) будет представляться в виде ( дшт 3 Г)го l — l — р соз 6+ о — .)! =- — — — (а ат — + ) — С соз 9. Г1~ Р = — бкраЪ'е(1 + а Яг г 1' (10. 38) При возрастании времени до бесконечности правая часть (10,38) будет совпадать с правой частью формулы сопротивления шара при установившемся лвижении вязкой несжимаемой жидкости, установленной в главе Ч. Подставляя это выражение в (10.32) и выполняя интегрирование, получим следующее выражение для результирующего воздействия неограниченной вязкой жидкости на шар, движущийся прямолинейно и равномерно: 10) движзниз шага в нвогтлничвннои вязкой жидкости 319 Вели шар будет перемещаться не с постоянной скоростью, а с переменной, то решение задачи можно получить с помощью применения формулы Дюгаиеля (1.12) к правой части (10.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
