Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 53
Текст из файла (страница 53)
и' — +— Р ро — = Л4 о н 1 34)г; )гр (2. 30) Рассмотрим тот случай, когда внешняя сила Г отсутствует и когда стенка после получения некоторой начальной скорости и(0) Таким образом, соотношение (2.27) представится в виде р,а '~' р р )~'ор Отсюда для преобразования Лапласа от ускорения будем иметь; Р" ни(О) — — (2.
28) Р и М .~-— Р, Применяя равенство (2.6), получим: е Раи'Ш.=- = и' — и(0), (2,29) Р о сг йр Р с. ВО. нс. где — — преобразование Лапласа от ско- Р рости. Приравнивая правые части (2.28) и (2.29), получим следующее выражение для преобразования Лапласа от переменной скорости движущейся стенки: Ф 3) 315 ДИФФУЭИЯ ВИХРЕВОГО СЛОЙ (/(Г) — (У(0) еич [1 2 ~ е Рг(Р~, )г (2.31) где (2. 32) М Тгт В правой части (2.31) находится функция, которая широно используется в теории вероятностей. Вводя для этой функции обозначение () (х) = = ) ' е-рг13, 2 (2.33) будем иметь и(г) .Еч В (0) О,— — 1 В(в. У'г) Полагая, например, Д).'Г =- 0,01, (2,34) по таблицам, приводимым в курсе теории вероятностей, получим: (4(Д )г Г) = 0,01128, 2 е "" = 1,1283, г е то) = 0,9888 Таким образом, скорость движущейся плоскости уменьшается примеРно на 1е)е по пРошествии пРомежУтка вРемени, опРеделЯемого нз соотношенйя й 3.
Диффузия вихревого слои Если плоская стенка начнат перемещаться с постоянной скоростью (т', то скорость прямолинейного движения частиц вязкой несжимаемои жидкости будет определяться по формуле(2.20). А теперь изменим постановку задачи. Пусть до момента времени г = 0 часгицы жидкости и стенка имели постоянную скорость с( в отрицательном движется только под действием тормозящей силы вязкости.
Для определения по изображению (2.30) оригинала мы можем воспользоваться, как указывалось выше, справочными таблицами или провести те же рассуждения и вычисления, которые были проведены выше при введении в рассмотрение замкнутого контура АВСЕ)ЕГА.
В ревультате для оригинала скорости движения стенки можно получить выражение нзхстлнозиешзяся движение вязкои жидкости !гл. > *>и и .—.= () (1 — = ) е> ш з!и —; — - ! — (>' == — — „) с. "" з)п = †. (!!. 1) о Выражение з правой части (3.1) будет обращаться в нуль при у = О, ! ) 0 и при ! = О, у= 0 и будет равно — (> при у = сю. Лля всех промежуточных значений у от нуля !р до бесконечности скорость и будет отрицательной, т. е. при 0(у(со и(у, !)(О. Распространим это решение (3.1) и для отрицательных значений у.
Тогда будем иметь: при 0)у) — -сю и(у, г)>0, Рис. 8! и при этом для значения у = — сю скорость и (у, !) будет раана (/. Следовательно, выражение (3.1) для всего пространства будет означать то, что для начального момента времени частицы жидкости, расположенные выше оси х(у ) О), имели скорость — (/, а частицы, расположенные ниже осн л, имели скорость + (>', и сама ось к представляла собой скачок скоростей (рис. 31). Таким образом, функиия (3.1) выражает собой рассасыаание начального скачка скоростей благодаря вязкости жидкости. Найдем теперь по скорости (3.1) значение вихря.
В рассматриваемом случае вихрь будет представляться в виде ч> = — -=- ~ е-'*'соя =ля. 1> ! ' ау я)гч ТГ> (3.2) Для вычисления интеграла (3,2) поступаем следующим образом. Положим — б. =(> и обозначим интеграл через Л т. е, р ч l= ~ е-"н соя(>иг(а, е (3.3) направлении оси х. В момент ! = 0 стенка у = 0 была внезапно остановлена, Требуется установить, как будет происходить торно>кение дан>кения всей жидкости, Легко проверить, что решение этой новой задачи мы получим, если из правой части (2.20) вычтем скорость (), т, е.
если положим: ;11 2 ЛНФФУЗНЯ ВИХРКВОГО СЛОЯ Дифференцируя этот интеграл по параметру Ь, получим: лу — — е "' яп Ьв а4и. лв = ч Выполняя интегрирование по частям, будем иметь: lе е -"и я(ЙЬа аФа = ~ з(п Ья с((— (:2Г~ 1 ь 21 = — — е — "" з1п Ьа + — е-"ч соя Ьа г(я. 21 Й Первое слагаемое в правой части при подстановке верхнего и нижнего предела обращается в нуль, а второе слагаемое представляет в собой первоначальный интеграл с множителем —. Таким образом, 2г получим следующее дифференциальное уравнение для ./: Л2 Ь вЂ” = — — у.
ЛЬ 21 После разделения переменных и интегрирования будем иметь: (п У = — — ЬЯ+ (п С, я 41 Отсюда ь У= Се (3.4) Полагая параметр Ь равным нулю и используя значение интеграла Пуассона, получим: (3.5) Подставляя значение С из (3.5) в (3.4) и значение интеграла (3.4) в (3.2), наплел~ конечное выражение для вихря скорости м(у, г)=, е 2 )',чу Полученное выражение (З.б) показывает, что для начального момента вихрь всюду был равен нулю, кроме оси х. На оси же х (у=О) вихрь в начальный момент был равен бесконечности.
На этом основании функцию (З.б) мовкно называть функцией источники вихревого слон, расположенного на прямой у = О и начавщего свой действие с момента с = О. Волн же источник вихревого слоя будет расположен не на прямой у=-О, а на прямой уГ О и начнат свой 3!8 нягстьновнвшввся лвиженив вязкой жидкости (гл, (2 действие не с момента Г = О, а с момента Г ="., то функция источника вихревого слоя будет представляться в виде се — ч(* е«(у, Г; т(, т) = е 4 (4-«( (3.7) 2 )Г«в(г — «) Правая часть (3.6) обращается в нуль при значении у, отличном от нуля, дважды: при Г=О и при с=сю. Следовательно, по твои« реме Ролла в проме(кутке от с=О до с=сю на каждой прямой у = с интенсивность ( вихря будет достигать своего экстремального значения и гра! фик изменения вихря на этой (~-- прямой со временем будет прис( е мерно представляться в виде Рнс.
82. кривой, показанной на рис. 82. Положение точки максимума на этой кривой мы определим, если вайдам проивводную от (3.6) по времени дг 2У«в 2 4 и приравпяем ес нулю. В результате получим следующее выражение для времени Гж наступления максимума завихрения на ланной прямой, параллельной оси х: — (3.8) Если мы зафиксируем момент времени г и будем рассматривать интенсивность вихря (3.6) как функцию только от переменного у, то получим график этой функции, изображенный на рис. 83. Этот график показывает, что на прямой Рпс. %. у = 0 интенсивность вихря будет максимальной для любого момента времени, но на основании (3.7) можно видеть, что с течением времени этот максимум будет убывать. Рассмотренное нами явление рассасывания вихревого слоя, имеющего место на оси х, и связанное с ним явление передачи вихря от одного слоя к другому называются диффузией вихревого слоя.
На множитель (/ в выражении (3.7) можно смотреть как на .мощность исглочнина вихревого слоя. Если вихревые слои будут заполнять целую полосу от у=а до у=о, то, вводя в рассмотрение 9 4) движвиия между нвогглниченными плйлллельными станками 319 мощность вихРЯ 4(г)), пРиходЯщУюсЯ на единицУ длины ть мы можем получить функцию источника от злемента длины полосы вихря в виде 4 2 )Тгвг Проводя интегрирование, получим функцию от непрерывного распре- деления источников вихревых слова г ге- гг м(у, Г)= — г7(г))е г" дг).
2угггг Е О (3.9) Можно ввести также в рассмотрение и непрерывную последовательность источников вихревого слон во времени от момента ". = 0 до момента ". = Т. Для етого случая функция вихря равна т Р* м(у, Г) = ~ гу(г) е г'" 2угве г По функции источника вихревого слоя (3.7) можно образовать функцию диполя вихревого слоя с помощью дифференцирования (3.7) либо по параметру ;, либо по параметру г) г!г-чР (у, Г) =- (7 е чзэс-ч)г1 — (У В)г-1, (3.11) 4 У гв (г — г)г ~ 2г(г — г)1 ге-ая м(у, Г) = — „— — — — — е ' гг — ч.
и у — ч -,— „"," 4» г гп(г — г) Выражении (3.7), (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12) — частные решения дифференциально~о уравнения вихря одномерного поля скоростей, которое мы получим иа (2.1) с помощью дифференцирования по у: д„, дгг дт дуг ' (3. 13) Уравнение (3.!3) совпадает с уравнением одномерной задачи теории теплопроводности, а введеннгге выше функции источника (3.7) и диполей (3,11) и (3.!2) совпадают с соответственными функциями теплового источника и тепловых диполей. (3.1 2) $4.
Движение между неограниченными параллельными стенками Допустим, что неограниченная стеяка, совпадающая с плоскостью хОя, является неподвижной, а параллельная стенка, расположенная на расстоянии Л от первой, начала переиещаться с момента г = 0 с постоянной скоростью (7 в положительную сторону оси х 320 нвястлновившввся движение вязкой жидкости (гл, ~к (рис. 84). Предполагая движение частиц вязкой несжимаемой жидкости строго прямолинейным и используя условия прилипания для рассматриваемой задачи, будем иметь: (4.1) Рнс. 84.
Выполняя преобразование Лапласа над дифференциальным уравнением и граничными условиями, получим; (4. 2) где (4.3) Решение задачи (4.2) для изображения будет представляться в виде (4.4) Используя формулу (2.14) для обращения преобразования Лапласа, получилг для скорости движения частиц след)чощее интегральное выражение: "р р гз а(у, Г) = —, ~ егк 2щ — гьл (4.5) Для вычисления интеграла (4.5) по комплексному переменному надо установить вычеты подиптегрального выражения. Приравнивая знаменатель нулю и учитывая, что корни гиперболического синуса являются чисто мнимыми и численно равными целому числу я, ггайдзм: (4.6) да дга дг дуг ' при у)0 и 1=0 при Г)О и у=О при т) 0 и у=8 лги" р — — — и*= О, ауг при у=О и*=0, при у=8 и'= К .,)/ ру а" (у, р) = У- зла .р р' р„ Й )/ — =- Ик, рг —..= — —,', )г = 1, 2, г -- угг и =- О, и=О, а=К 8 41 движение между няогеьничянными плтллляльными стенками 321 Все полюсы будут простыми, поэтому мы можем воспользоваться разложением мероморфной функции на простые дроби в виде Ь=а Ра(р) ад + у сь (4.7) ра(Р) Р лм Р Рь 1=1 йля определения вычета сю мы должны умножить обе части равенства (4.7) на Р н затем устремить Р к нулю, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
