Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Таким образом, формула Дюгамеля представляет собой математическое выражение своего рода «принципа наследственности» в механике неустановившегося лвижения вязкой жидкости. й 2. Движение неограниченной плоскости в вязкой жидкости В качестве первого примера иеустановиашегося пряыолннейиопараллельного движения вязкой несжимаемой жидкости рассмотрим то движение жидкости, которое обусловлено перемещением неограниченной плоской стенка. Пусть стенка представляет собой горизонтальную плоскость хОг, а жидкость располагается по олпу сторону Г7 от этой плоскости (рис.
78). Ло момента Г = 0 жидкость н стенка находились з покое. С момента Ряс. 78. Г = 0 стенка приходит в движение с постоянной скоростью У вдоль положительного направления оси х. Благодаря неограниченности стенки з направлении осн г иожно полагать, что скорость частиц жидкости не будет зависеть от переменного г: йи лг — — О. Складывая (1.13) с суммой (1.1«), (1.!5) и (1.18), получим выражение для всей скорости в точке (у, г) к концу интервала времени Ф в виде движвнив няогглничвнной плоскости в вязкой жидкости 307 Кроме того, можно считать, что перепад давления будет равен нулю: а др При этих предположениях рассматриваемая задача будет сводиться к решению дифференциального уравнения ди дги — =т— дг ауз (2.1) условиях: и=О, и=сг, ~ (2,2) и у=оо Для решения поставленной задачи применим метод фунниионального преобразования Лапласа.
Умножим обе части уравнения (2,1) на в-вс,й, где р — параметр преобразования, и проинтегрируем от нуля до бесконечности: в вс — ай = т ~ в вс — сй, ди 1 дзи дг д дуз е е (2.3) Выполнян в левой части уравнения (2.3) интегрирование по частям, получим: О О» ОР в-т — бг= в гпи ~ +р ~ в всибг. ди дс (2,4) а о е Будем полагать, что действительная часть параметра преобразования р положительна, тогда первое слагаемое в правой части (2.4) при подстановке в него верхнего предела обратится в нуль. ВведЕм следующее обозначение.
е-вся с(с = * у'р). р = "*' (2.5) и» Функцию — принято называть изображением по Лапласу фуняиии р и(у, С), а функпию и(у, С) — оригиналом, Учитывая (2.5), получим из (2.4): в-. с — й = — (и), е+ и'. - сд" (2.6) при следующих начальных и при С=О при с)» 0 прн с)» О, граничных и у)0 и у=-0 898 нтястлновившаеся движение вязкой жидкости (гл, ~х Таким образом, дифферекцироеание оригинала по времени приводит к умножению изображения по Лапласу на параметр преобразования и вычитанию значения дифференцируемод функции для начального момента времени.
В рассматриваемом нами случае начальное значение искомой скорости и равно нулю, т. е. (и) „ = О. Используя (2.5) и (2.6), получии из (2.3) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для изображения: иги р * — — — и =О. дуг ч Таким образом, метод преобразования Лапласа позволяет уменьшить число независимых переменных на единицу. дифференциальное уравнение (2.1) для оригинала в частных производных с помощью преобразования Лапласа преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение (2.7) для изображения. Теперь преобразуем граничные условия для оригинала в граничные условия для изображения. В рассматриваемом нами случае в силу постоянства скорости У будем иметь: при у=о и"=и, при у=- ся и'= О. (2.8) Общее решевие уравнения (2,7) представляется в виде и*= Ае~ " +Ве г Подставляя значение и' в (2,5), получим для оригинала интегральное уравнение ° /е --' "' ° е — уса ос = — е (2.10) р о Таким образом, при применении метода преобразования Лапласа основная трудность решения той или иной задачи переносится на определение оригинала по найденному изображению.
Но благодаря наличию лостато рю подробных таблиц для определения оригинала по изображению метод преобразования Лапласа находит всв большее и большее применение при решениях задач механики и физики. Используя граничные условия (2.8), получим следующее выражение для изображения: и'(у, р) = Уе (2.9) ! 2! движения нвогглничвнной плоскости в вязкой ясидкостн 309 Решение интегрального уравнения (2.5) по отношению к оригигалу представляется формулой обращения преобразования Лапласа. 'Хля установления этой формулы проведам следующие рассуждения, Пусть и(г) представляет собой функцию только от переменного зремени Л причвм 1) функция и(Г) непрерывна и ограничена и ?) интеграл ~е"и й( абсолютно сходится, где о — некоторое пологкия тельное число.
Тогда для функции у (г) = е-"и (г) (2.11) )удут выполняться достаточные условия для представления ее инте- .ралом Фурье в комплексной форме, т. е. -. 'ь +ь .((г)= — ~ йя ~ у(Х)е "ы'-нйс. ! 2я (о !2) Подсчавляя значение т(Г) из (2.11), получим; и(г) =,— ~ еи" !' йа ~ и(2)е-ы"ы! йл. 1 Г 2г 2' Вместо переменного я введем новое переменное, полагая о+!я = р; гогда получим: и (г) ==,— ~ ещ г!р ~ и (3) е гя й)„ 1 2я! (2.13) Положим, что функция и(л) обращается в нуяь для всех отрицательных значений х, При этом условии нижний предел во втором интеграле (2.13) можно положить равным нулю, а поэтол~у весь интеграл можно заменить его значением (2.5).
В результате получим следующую формулу обращения преобразования Лапласа: и = — ~ ея'а" —. р (2.14) Таким образом, если не пользоваться готовыми таблицами, то для определения оригинала по изображению необходимо выполнить квадратуру по комплексному переменному р вдоль бесконечной прямой, параллельной минной оси и отстоящей от ней на расстоянии Прямая 1)е (р) =а называется осью сходимости интеграла Лапласа (2.5), так как, по предположению, этот интеграл сходится, если лгн нвястлновившееся движения вязкоя жидкости !гл.
гх )!е(р) > ш Интеграл в правой части (2.14) понимается в смысле своего главного значения. Для вычисления интеграла (2.14) можно пользоваться некоторыми теоремами, доказанными для интегралов такого вида. В частности, если й представляет собой регулярную функцию в любой конечной части плоскости комплексного переменного р, за исключением множества точек, представляющих собой полюсы этой функции, то значение всей правой части (2.14) представляется в виде сунны вычетов, т. е. «ее — ерги — = г г„(Г), г-гш я=е (2.!5) и.
где г„(Г) — вычет функции еяе — в точке р=р„. В других случаях Е при наличии точек ветвления функции й приходится контур интегрирования деформировать и использовать, например, лемму Жордана, согласно которой 1!ш ) Ф(л)е" г(л= О при Г > О, (2.16) Я -+ и з. гле ф— дуга окружности !л!= 77„, — (агйе ( — и Игл)7ч = оэ; гг-+ при этом предполагается, что сама функция Ф(л) на дугах С„равномерно стремится к нулю относительно агяе при и-+со, Возвращаясь к рассматриваемому нами случаю (2.10), получим из (2.!4) выражение для оригинала в зиле 27 Е е и(у Г)= — ~ е " — -. (. ~'-У вЂ”, ""Е 2 17) 2яГ,! р г-г Подинтегральное выражение (2,!7) имеет особую точку в начале координат, представляющую собой точку ветвления. Проведем на плоскости комплексного переменного р Рис.
79. контур АЕСРЕггА, состоящий из отрезка прямой е †à и е + ! со при малом значении а, из полуокружности радиуса )г, двух разрезов СР и ЕЕ и малой окружности РЕ вокруг начала координат (рис. 79). В области, ограниченной замкнутым контуром АВСРЕЕА, функция, стоящая под знаком интеграла (2.17), не имеет никаких особенностей, а поэтому по теореме Коши ш-е р — „ир г/ р Е ли ОРАВА $21 дан>кение иеогглничвнной плоскости в вязкой жидкости 31! Отсюда получим; ~е ' Р= — ~( ) Р— ~( ) Р ~( ) — — (( ) — — 1( ) —, (2.18) ДХ ДУ РЗ РС ВР -.,— ЛР 1 ~ РС ЯГ, ЛР з/« ° ГР е — — — ~ е 2хг р 2гг , р сю 1 ! Рс-з)' с аср — — л! е ' —.
(2.19) 2зс Р Преобразуем переменные интегрирования в правой части (2.19). Зля разреаа СЕ> положим: — « р=аве" = — аз, )Гр=- аез =!а, с)раа — 2а«2а, тогда для разреза ЕР будем иметь; р = азе '« = — ая )Гр = ае ' = — !а, сср = — 2а с)а. Испольауя новые переменные, из (2.!9) получим: и — -и— з з е '" — е РС-З'и †„ Фр ° ГР е 2пс Р ~ е-ыс о ! — — ) е>м з)п= —. 2 1 „,с, «у >та у-., « о где в скобках под знаками интегралов в правой части должна находиться та же функция, которая стоит в левой части под знаком интеграла.
Будем теперь увеличивать радиус полуокружностей до бесконечности. Тогда интеграл в левой части (2.18) будет стремиться к интегралу (2.17). Интегралы в правых частях по дугам окружностей ВС и РА согласно лемме (2.16) будут обращаться в нуль. Интеграл по окружаости ВЕ будет представлять собой вычет рассматриваемой функции в точке р = 0 с обратным знаком, умноженный на 2пс. Таким образом, из (2.18) будем иметь: 312 нетсглновившввсн авигкгщис вязкой жидкости (гл. ~л Таким образом, окончательное решение рассматриваемой задачи представляется в виде и(ль Г) .= (Г(1 †.
— ) е-" з1п = — ~ 6 (2.20) Подсчитаем ~еперь значение силы вязкости на движущейся стенке: Интеграл в правой части можно представить через интеграл Пуас. сова Ю 1 " =--т~ е "ч г(я == — = 1 е Ф'г(х = —, 1/ е о Следовательно, сила вязкости на движущейся с постоянной скоростью стенке равна нгг (2.21) Тхг г В момент начала внезапного перемещения плоскости с конечной скоростью сила вязкости -. обращается в бесконечность, что естественно ожидать по аналогии с явлением удара.
Однако, если подсчитать импульс силы вязкости (г' =- У(Г), то решение задачи о передаче движения от стенки к слоям гкидкости можно представить на основании формулы Люгамеля (1.12) в виде и(у, 1) =(/(0) иг(у, Г)-Г ~ Е/'(т)и,(у, à — т)г)т, (2.22) е и устремить промежуток времени его действия е к нулю, то получим для импульса значение нуль. Таким образом, импульс, потребный для внезапного приведения плоскости в движение с конечной скоростью, будет зависеть только от массы самой плоскости и не будет совершенно зависеть от плотности и вязкости соприкасающейся со стенкой жидкости.
Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью, зависящей явно от вреиени: Ь 2) движение неогглниченной плоскости в вязкой жидкости 3!3 где и (у, Г)=-1: ! егм э)п —— 2 (,, ьт Па (2.23) В частности, сила вязкости на стенке при переменной скорости дви- жения самон стенки будет представляться э виде Правая часть (2.2ч) указывает на то, что сила вязкости на стенке в момент Г зависит от всего предшествующего состояния движения этой стенки. Обоаначим через г)1 массу единицы площади, а через В(Г) внешнюю силу, приходящуюся также на единицу площади стенки и зависящую только от времени, Составляя дифференциальное уравнение движения стенки с учетом силы Р и силы вязкости (2.24), найдем: Таким образом, для определения ускоренна движущейся стенки мы получили интегральное уравнение Вольтерра с ядром, зависящим от разности à — -,. Такого вида интегральные уравнения решаются с помощью того же преобразования Лапласа.
Умножая левую и правую части (2,25) на до бесконечности и вводя обозна. проводя интегрирование от нуля чения [/т е- г(7)г(Г = —, Р ' о получим: е-РгР(Г) г(Г =- — —, (2.26) Р о 3 Предположим, что функция (7'(Г) такова, что в последнем слагаемом (2.27) возможна перемена порядка интегрирования.
Областью интегрирования (2.27) служит бесконечный треугольник выше биссектрисы (рис. 80). При первом интегрировании по переменному -. в (2.27) мы должны идти вдоль отрезка Ог, при втором интегрировании 314 нввстлновившиеся движвнив вязкой жидкости (гл. ~х отрезок ОГ должен перемещаться вверх от начала координат до бесконечности. После перемены порядка интегрирования мы должны при первом интегрировании по переменному Г перемещаться по прямой, параллельной оси Л от т до бесконечности, а при втором интегрировании эту прямую необходимо перемещать вправо от начала координат до бесконечности. Следовательно, будем иметь: а е я'пг ~ =а(т= ~ и'(х)тт ~ е-ш= о о а Полагая затем г — с =х, о((.=г(х и учитывая (2.26), получим: е-Рог(Г ! ' = ~ с-Рои'(т)г(т ( е ™л= = — В/ ! г й(о)ла г, г л и" — .! й о о о и(о) р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
