Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 56
Текст из файла (страница 56)
— . ~зла). о Полагая в этой формуле 1 2 и учитывая, что 1 Л „(х) = — ==. (е — е л), уо2гл получим; о Таким образом, решение задачи о диффузии прямолинейной вихре- вой нити будет предстзвляться следующей конечной формудой: 1о (1, оо) 2ог (8. 13) о а,.г е '" (8.14) Непосредственной подстановкой можно убедиться, что выражение (8.14) для вихря удовлетворяет дифференпиальному уравнению (8.6). Если подставить выражение (8.13) в (8.6), то получим следующее выражение для циркуляции: (8.15) В =1'о(1 — о "'). Таким образом, циркуляция заданной в начальный момент прямолинейной вихревой нити будет убывать до нуля. Из выражения (8.14) следует, что наибольшее вначение вихря имеет место там, где в начальный момент находилась вихревая нить, т, е.
при г=.О. При удалении от этого места вихрь будет резко ') К у з ь м ив, Бесселевы функции, ОНТИ, 1935, стр. 146. Легко усмотреть, что полученное решение (8.13) начальному условию (8.3) удовлетворяет. Подставляя выражение (8,!3) для скорости в (8.4), получим следующее конечное выражение для вихря. $9) ВРАщение сэегы~ ИАполненной жидкостью ззт уменьшаться. В каждом данном месте вихрь будет возрастать от нуля до максимума, наступающего в момент времени ю После этого момента вихрь снова будет уменьшаться до нуля. Картина рдсплывания вихревой нити со временем аналогична той, которую мы получили в 6 3 для диффузии вихревого слоя.
В 9. Вращение сферы, наполненной жидкостью В предшествующих параграфах данной главы рассматривались те случаи неустановившихся движений вязкой несжимаемой жидкости, лля которых дифференциальные уравнения движения использовались в их точном виде. Для этих случаев квадратичные члены инерции выпадали из левых частей уравнений автоматически благодаря тому, что лвижение частиц прелполагалось либо прямолинейно-параллельным, либо круговым. При всяком лругом характере лвижений частиц вязкой жидкости решение задач о неустановившемся движении благодаря наличию в уравнениях нелинейных слагаемых становится весьма затрулни.
тельным. Но если пренебрегать квадратичными членамн инерции так же, как это было сделано в методе Стокса для задач об установившемся движении в главе Ч, то задачи о неустановившемся движении частиц вязкой жилкости во всех случаях становятся линейными, и к решению этих задач можно применять тот же метод преобрааования Лапласа, с помощью которого решались ззлачи в предшествующих параграфах, Если 1) пренебрегать квадратичными членами инерции, 2) не учитывать массовых снл и 3) считать, что давление и все компоненты вектора скорости не зависят от угла р цилиндрических координат, то дифференциальное уравнение (6.7) главы В для поперечной компоненты скорости о принимает следу1ощий вид: дэ О„1 *=,~б.
— ~). дт ( Р га1 (9.!) Таким образом, для поперечной компоненты о скорости при указанных выше предположениях имеет место самостоятельное линейное уравнение, не содержащее давления и других компонент вектора скорости. Следовательно, если лля какой-либо задачи граничные условия будут включать только поперечную скорость и, быть может, ей производные по координатам, то такую задачу можно решат~ с помощью уравнения (9.1) независимо как от вида границ, так и от тех или иных предположений по отношению к другим компонентам вектора скорости частиц жидкости.
В качестве примера рассмотрим с помощью дефференциального уравнения (9.1) ивгстлновившквся движкнив вязкой жидКости (гл, ~х где 0 — угол между осью л и радиусом, проведенным нз центра сферы к рассматриваемой точке на еа поверхности. Для решения данной задачи применим метод преобразования Лапласа. Вводя обозначение О Рис. 88. Р— т= ~ е "' отсИ (9,3) о и проволд преобразование Лапласа над уравнением (9.1) и граничным условием (9.2), мы приходим к следующей вадаче для изо- бражения Ьо" — о'( —,, + — )=О, при г=аз1п0 о'=маз1п0, Перейдем теперь к сферическим координатам Л и 0. Оператор Лапласа от скорости о в предположении, что зта скорость не зависит от угла 9, представляется в виде даве 2 дог 1 дает сьй 0 Ле бо; = — '+ — — '+ —,— '+ — — ' в дй~ А' дЛ Дч даз Дя дз ' (9.6) Полагая и; = ащ 0о(Л), (9.6) получим из (9.4) и (9.5) для множителя о обыкновенное дифферен- циальное уравнение и простое граничное условие при гг= а о=ми, (9.У) С помощью подстановки в== У у"У (9.8) задачу о вращении сферы, наполненной вязкой несжимаемой жидкостью.
Пусть сфера радиуса а (рис. 88), наполненная вязкой несжимаемой жидкостью, с момента Г = О начала вращаться вокруг оси л с постоянной угловой скоростью и. В атом случае для поперечной скорости о будут иметь место следующие граничные условия прилипаиия и начальное условие; прь г=аап0 от=маз1пй, ~ при Г=О от — — О, (9.2) $ '9! ввлщвнив светы, наполненной жидкостью 339 Общее решение уравнения (9.8) представляетса через функции Бесселя дробного порядка от мнимого аргумента в виде у =А)ч,()7 ~/ ~)+В(г'ч,()г ~У Р). Так как функция К,, ~й аг — ) обращается при й = О, т, е.
Г Р'ч ч) в центре сферы, в бесконечность, то постоянную В необходимо положить равной нулю. Определяя постоянную А из граничного условия (9.7), получим; А= у уу (аУ7 Х) ' Таким образом, решение задачи (9.4) для изображения поперечной скорости о' будет: —.' М'-;) о', =мал(п 9~/ уу! аУУ д) (9.10) Переходя от изобраягення (9.10) к оригиналу, получим поперечную скорость Особенности подинтегральной функции (9.11) будут совпадать с корнями функции Бесселя от мнимого аргумента )ц ~п ~/ Р ) Корни этой функции будут чисто мнимыми. Они будут связаны с действительными корнями функции Бесселя Ь,,(Л,) =0 (9.12) соотношением а варе=(Ль, г ч (9.1З) дифференциальное уравнение (9.7) приводится к уравнению Бесселя (9.9) 840 нввстьновнвшззся двнжнник вязкой жидкости 1гл. ~х функция Бесселя .Ь~,(х) выражается череа элементарные тригонометрические функции в виде Г 2 lз!пх /т (х)= згг — „( — — созх). (9.14) Поэтому корни уравнения (9.12) будут совпадать с корнями простого трансцендентного уравнения 18).=>,.
(9.16) Используя разложение мероморфной функции, будем иметь: (9. 16) где коэффициенты се и с„представляютси в виде (9.17) .гэт('~ ль) рлУ., (а у' — ) о = ай з)п 0 (1+2( — ) ~з е а' *, ]. (9.18) «=1 ь~,у,г (ьщ Из полученной формулы (9.18) следует, что с возрастанием, времени скорость частиц жидкости приближается к предельному своему значению, равному скорости частиц твердого шара при его вращении вокруг неподвижной оси. Определим по формулам (6.9) главы П ту часть силы вязкости на поверхности самой сферы, которая отвечает одной лишь поперечной скорости о .
Имеем: ;до о ч гдов~ (Л ),= р( — ' — --) = р( — ) — риз)п 6. (9.19) Подставляя разложение (9,16) в (9.11) и используя соответственные значения интегралов и выражения для коэффициентов (9.17), получим для поперечной скорости частиц жидкости внутри вращающейся сферы окончательное выражение 6 10) движения шатл в неогеаничвнной вязкой жидкости 341 Вычисляя на основании (9.18) производную от скорости и по ради. усу и используя граничное значение этой скорости, получйм: ,"а (д ,; — .=-шип 0+2шыпб ~ е ( д02,~е а=в Следовательно, сила вязкости на поверхности сферы будет представляться в виде вв а= 'а (рк )„= 2рш з!п 0 ~ е (9.20) а=! Умножая левую и правую части (9.20) на элемент поверхности сферы аэа!пйдшд!! и на расстояние до оси вращения аз!п0 и интегрируя по всей поверхности сферы, получим следующее выражение для момента сил вязкости относительно оси вращении: т-, а= » гав 1О 1., = а" ~ ~ (рл ) з!пэ0дь~дй = — тошев т е "', (9 21) в а а=! Чтобы осуществить вращение сферы, наполненной вязкой несжимземой жидкостью, с постоянной угловой скоростью, необходимо приложить переменный момент.
равный правой части (9.21). Сопоставляя выражение (9.21) для момента сил вязкости частиц жидкости, наполняющей сферу, с выражением (6.16) для момента сил вязкости частиц жидкости, наполняющей круглый цилиндр, мы видим много общего в этих выражениях. Для случая цилиндра радиус входит во второй степени, но в качестве третьего линейного измерения входит длина цилиндра, которая в формуле (6.16) равна единице. Различие имеется только в отношении числовых множителей и в значениях корней соответственных функций Бесселя. 9 1О, Движение шара в неограниченной вязкой жидкости Вели пренебрегать квадратичными членами инерции, не учитывать лействие массовых сил и считать движение частиц осесимметрнчным, то дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (6.10) и (6.11) главы П в сферических координатах предста- вятся в виде д д — ()сз з!п 6 ад)+ — Я жп вбяв) = 0 дел ! др г 2ел 2ев 2 дпвт — = — — — +в~до — — — — С!Кб — — =), 1 (101) дг Е дР 1 л А'в А2 ЛЧ дз,)' дев 1 др пв 2 дола — = — — — +в(цпв — + — — ) ° дг рдтда (, Ив!пвв Ф дз,)' 342 нвкстлновившввся лвижзниз вязкой жидкости [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
