Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Рассмотрим теперь задачу о развитии плоско-параллельного движения в плоском лиффузоре с учвтом распрелеления скоростей но входном сечении, но не на основании точных нелинейных лифференциальных уравнений, м а с помощью приближенных линейных уравнений, зналогичных уравнениям (2.1).
Пусть две прямолинейные стенки, простирающиеся в направлении оси г до бесконеч- Рнс. 96 ности, наклонены лруг к пруту под углом 2я (рнс. 94). Прелполагая жидкость несжимаемой, а ев движение — установившимся и плоско-параллельным, будем иметь из (6.6) и (6.7) главы И слелующие дифференциальные уравнения в полярных координатах: 364 развитие ллминлрного движения жидкости (гл. х в качестве множителя или под знаком производной по г. В-третьих, радиальную скорость, входящую в качестве множителя в первое слагаемое в левой части первого уравнения (3.1), заменим ей средним значением, определяемылр из выражения расхода источника на плоскости для идеальной жидкости 1) 2«г' (3 лй) где сз' -- полнын расход жидкости через сечение лиффузора.
Прн этих трех допущениях получилр из (3.!) слеаующие приближЕнные уравнения: !3 до„1 до . дэог 2«г дг р дг гэ дтт ' ! до 2~ до„ 0= — — — +--,", рдт г от' до„о, 1 доч ".+ "+ — — =о. дг г г дт (3.4) Иэ второго уравнения (3.4) после интегрирования по углу й получим: (3.5) (,') до„ « деон 1 дУ 2«г дг гэ др' р дг' д дог дг " дт — (го )+ — =-.
О. (3.7) Задачу о развитии движения жиакости в плоскол~ диффуэоре будем решать с помощью приближенных уравнений (3.7). Сформулируем теперь граничные условия. Условия прилипания жидкости к стенкам будут представляться в виде: при ~7= — «о„=О, о„=О. (3.3) Условие постоянства расхода жидкости через каждое сечение будет давать следующее равенство: ~ о„г д р = 12. (3,9) где 7(г)- — неизвестная функция от г. Продифферснцируем (3.5) по г: др д lо,л дУ (3.6) дг ' дг(г г' дг' Если подставить выражение (3.6) з правую часть первого уравнения (3.4), то первые слагаемые (3.6) согласно указанным выше допущедго„ ниям должны считаться малыми по сравнению с — "- и мы их можем дт (но только после подстановки в (3.4)) отбросить.
В' таком случае из (3.4) получим: $ 31 елзвитиа ллминлгного тячания жидкости в плоском диесхзоге 365 Примем, что по входному дуговому сечению диффузора радиальная скорость распределена равномерно, т, е. при г = гз пт ее () (3.10) 2яге ' Проволя интегрирование второго уравнения (3.7) по углу еч получим слелующее выражение для поперечной скорости: д г дг,) (3.! 1) В силу постоянства правой части (3.9) условия обращения поперечной скорости в нуль на стенках будут выполнены. При интегрировании первого уравнения (3.7) по углу ф получим: (3. 12) Определяя из равенства (3.12) —.
и полставляя в первое уравнение Фу и'г (3.?), получим для радиальной скорости следующее уравнение: В силу симметричного распределения скоростей по входному сечению можно полагать, что и в кажлом другом сечении радиальная скорость будет распределяться симметрично относительно средней линии р = О. При этом предположении булем иметь следующие равенства: (3.14) Вводя обозначения — -=Д, )п — =Е го и используя равенства (3.14), получим из (3.13) лля рости лифференцизльное уравнение дв„дав„г а где„1 (3.13) радиальной ско- (3.10) На основании (3.9) интеграл в левой части данного равенства можно заменить отношением расхода к поаярному радиусу 368 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ЛВИЖЕНИЯ ЖИЛКОС1И (гл.
х Подставляя рааложение (3.24) и равенства (3.27) в (3.23) и вычисляя простейшие интегралы, получим для радиальной скорости выражение а а ( соа = — соя =) у'л ул~ с г+ — а а )гд а!и —, — а сов =— у'л р"л ° =1 л — т'а (3.28) Если от переменного $ перейти к переменному г, то радиальная ско- рость иа (3.28) будет представляться в виде т а а (соа = — соа = р'л у'л,) — а а г ! ЙА1п —, — а соя = )лл )г л СОА Уж— а Р)'" А- 2 ~ (3.29) соя т„, аа а — — т, А Подставляя (3.29) в (3,)2), получим: а мя -=- )'Ла + л/ р~')1 Р (догА р1зв нпага дг 4авга аг1 'Адт!„4аага АГЛ А . — а а !' ЛА1я — — а СОА = у'д тж (З.ЗО) СОА = =р +"""+Я г ЗА1.1 а а )га я!я —, — а соа— р'л (3.3!) где р — постоянная интегрирования правой части (3.30).
Выполняя интегрирование в (3.30) и подставляя в (3,5), будем иметь для давления: 6 3) талвитие ллмннлююго течения жидкости в плоском лиеекзоте 369 )«а лт йиео Ра=р + ге Найдем конечное выражение суммы (3.32). Раскладывая функцию Р(х) = —. Р (х) х! Р (х) Р— хе!йх на простые дроби '), будем иметь; „,, Р,(т„,) х — (м та, 1:,( — ! л) («+т„т„,Г1 где ( — корни уравнения (3,25). Выполняя вычисления, получим: хз =3+2х У, сгт 1 — «с!йх а ~ ха — т;"ь л=! или с~ 1 . за к~ь 2 г — '= — —;+! + —.— — —. а.а ьз а па и зь=! — ты !й а )Гл ул (3.33) Заменяя а через га, будем иметь: 2 у~~ » =! — +"'„, у% (3.34) !и = — = )% )га !) С м ир нов В.
И., Курс высшей матеиатнки, т, Щ Гостехиздат, 1939, стр. 443. Из вида правой части (3.29) заключаем, что радиальная скорость на бесконечном удалении от входа в днффузор обращается в нуль, как и должно быть в силу конечной величины расхода. Вследствие этого постоянная интегрирования р должна представлять собой давление на бесконечности в диффузоре. Полагая в (3.31) г= ге, получим следующее выражение для давления на входном сечении рассматриваемого диффузора: ь 2 —, Т'в а а Я !а — —— )д вл Такии образом, разность давления на входном сечении диффузора и на бесконечности будет представляться в виде 1 а 2 )ГЛ йч ле л гео (3.35) Я ге — ш= во !% )гл При исследовании функции шх у=-1 —— можно обнаружить, что ее значение меньше 0.5 при х< 1,92 и больше 0,5 при х > 1,92. Следовательно, при выполнении неравенства =< 1,92 (3.
36) давление в начальном сечении будет превышать то давление, которое имеет место на бесконечном удалении от входа в диффузор. Если ввести число Рейнольдса так же, как оно вволилось при рассмотрении движения в плоском лиффузоре в 5 1О главы !Ч, т. е. в виде отношения полного расхода к кинематическому коэффициенту ввзкости (3.37) то на основании обозначений (3,15) будем иметь: (З.ЗВ) Подставляя (3.33) в (3.36), получим следующее неравенство для числа Рейнольлса: !с< — ',—.
(3.39) Таким образом, при сравнительно небольших значениях чисел Рейнольдса, не превышающих значение правой части неравенства (3.39), лавление у вхола будет больше давления на бесконечности, и позтому течение жидкости будет происходить в сторону падения давления. 370 Развития ллмннлгного лвижвния жидкости !гл. х Составляя равность левых и правых частей (З.ЗЗ) и (3.34), получим: й 3) глзвитив ллминленого течения жидкости в плоском дивекзогв 371 При использовании равенства (3.38) выражение (3,35) для перепала давлений можно представить в виде р~ — ро вее Если рассматривать случай малых углов раствора диффузора, то последним слагаемым можно пренебречь.
В этом случае при выполнении неравенства Р) — '„ 7,38 (3.41) течение жидкости будет происхолить в сторону возрастания лзвлеиия. Обратимся теперь к вычислению силы ввзкости, Согласно равенствам (6.5) главы П будем иметь следующее общее выражение для касательной компоненты напряжения: Г 1 двя дет е„) =«~ — — -+ — — — / ° 'т (г де+де г! ной формуле (3.42) Подставляя выражение длв радиальной скорости (3.29) в (3.42), получим выражение для силы вязкости на стенке диффузора вз з 77я (~о)в —. ~я — — — =-, = т;„—— )а уХ "= "' а (3.43) В 9 1 главы ЧШ при рассмотрении вопроса об отрыве пограничного слоя от стенки указывалось, что условие отрыва слоя от стенки представляет собой условие обращения силы вязкости на стенке в нуль. Распространим это условие отрыва пограничного слоя на отрыв всего потока вязкой жидкости от стенок диффузора, т.
е. место отрыва потока от стенок диффузора булем определять из условия (т), = О. (3 44) Слагаемые, содержащие поперечную компоненту скорости, на основании принвтых выше попущений должны считаться малыми по сравнению с производной от о„по углу р. Следовательно, силу вязкости на стенке диффузора р.— -я можно подсчитывать по приближеи- 372 елзвнтив ллминлгного движвния жидкости [гл. х Полагая левую часть (3.43) равной нулю и обозначая отношение радиуса начального сечения к радиусу сечения места отрыва через з, т.
е. гч — = Я, гв (3.45) получи~ уравнение лля определения л аз а (м «,т л Зл „е ' — 2 а — — 1д л )ха )гд (3,46) Проведвл1 небольшое исследование уравнения (3.46). Наименьший корень уравнении (3.25) имеет значение 3, == 4,49. Следовательно, при ив|полнении неравенства 9« — =я<449 ~/л левая часть уравнения (3.46) при положительных значениях у булет всегда положительной.
С другой стороны, известно, что при г 0<к<в 2 (3. 47) будет иметь место неравенство (йх)х, а в интервале 2 <л<Я зна ~ение тангенса будет отрицательным; (дх< О. Таким образом, при выполнении неравенства (3.47) правая часть уравнения (3.46) будет всегда отрицательной. А это значит, что при выполнении неравенства (3.47) уравнение (3.46) не может иметь действительного и положительного решения, т. е. отрыва потока от стенок диффузора произойти пе мозкет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
