Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(2.20) Для случая плоского поля возму>ценил будем иметь: ь„э — '( — ) = р Ч вЂ” 4йв' -à — ~и'(р' -1--,; э(г' )-4 21>п'в'~+. г> ~ при этом из (2.19) получим: ,э ди> с ди... Гди> ди,т) М = — (и'э — + о' — -(- иги ( — + — )(. дх ду )ду дх ) (2.21) (2.22) Если >ке основное течение будет плоским прямолинейно-параллельным, т.
е. д»> ю,—= . О, д — '=О, и, =- и,(у), то вь>ражение для М примет вид , ии> М =- — и'о —. ду (2.23) Допустим, что мо>хно выбрать такой конечный прямоугольник с площалью 5, на границах которого у = с, у = с( проекции вектора скорости поля возмущений обращаются в нуль, а на других границах х = а, х = д распределение скоростей, давлений и вихрей будет олинаковым. При этих условиях при интегрировании по >лощади рассматриваемого прямоугольника будем нметгн ~ — (и'(р'+ — р)>' )+ 2ро'в'~ г(хг(у = ~ ~и (Р + -2 р"" ) г-2ро™~ >(у = О, з=е ш'=— О, в'= — О, в' =О, в'=.в' х ' и и, следовательно, энергетическое соотношение (2,20) будет предсгавляться в виде й 2) озщиа уиляиання для аозмущйнного даижаиия 397 ~ ~ д [о' (р'+ — 71' ) — 2 и' '~дхду = и:.ь ~о'(р'+ —, р)l' ) — 2ри'м'~ дх =- О, и=а — — рР' с(х ду = р ~ ) М Нх игу — 4)ь ~ ) м' с(х игу.
(2.24) Полученное интегральное соотношение (2.24) представляет собой энергетическое соотношение для частиц жидкости внутри указанного прямоугольника в поле возмущений. Это соотношение показывает, что возрастание кинетической энергии поля возмущений может происходить только тогда, когда величина М будет заведомо положительной и прн этом такой, чтобы значение первого интеграла в правой части (2.24) превосходило значение второго интеграла. г4ля случая плоского прямолинейного течения, для которого Щ)О, дй величина М из (2.23) может быть полозкительной, если проекции вектора скорости поля возмущений будуг иметь разные знаки, т. е и'о'( О. (2.25) В указанных в предшествующем параграфе статьях, в которых исследование устойчивости ламинарныл течений проводилось с помощью энергетического метода, в качестве допущения принималось, что возрастание со временем кинетической энергии поля возмущений может служить вполне достаточным признаком возникновения неустойчивости исследуемого ламинарного течения.
Если принять это допущение, то дальнейшая задача исследования устойчивости прямолинейно-параллельного течения между параллельными стенками будет сводиться к подбору соответственного поля возмущений, удовлетворяющего неравенству (2,25), при котором правая часть равенства (2.24) обращалась бы в нуль и при этом число Рейнольдса исследуемого ламинарного течения принимало бы наименьшее значение. Приравнивая правую часть (2.24) к нулю и подставляя значение М из (2.23) н значение угловой скорости вихря, получим: ~и'и' — 'дхг(у+ ~ ~ ~ — — — ) улду=О.
(2.26) .!'. '' — ' диг ( Р Гди' ди'1г 6'у .),( (дх ду ) Если теперь перейти в равенстве (2.25) к безразмерн~м величинам, полагая х =- '— , у =- — "', и„= — (/((т), и' =. Ыр(Е г), о' = (/ф(Е ч)), Й = — „ устойчивость ллминлтных > знаний (гл. х> то для числа Рейнольлса получим следующее равенство: ) (ф — — ) А'дч К— (2.27) >" (ч] и (; —, ч) ф (-, ч) д( дч Таким образом, задача определения минимально~о значения числа Рейнольдса будет сводиться к опрелелению минимума отношения(2.27) лвух двойных интегралов. ф 3.
Исследование устойчивости ламииарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей Пусть мы имеем дяе параллельные стенки на расстоянии Ь лруг от друга. Если нижняя стенка будет неподвижной, а верхняя будет перемещаться параллельно самой себе со скоростью (У и если перепада давлений в направлении течения не будет, то для основного поля ламинарпого течения межлу параллельными стенками булем иметь прямолинейный профиль распределения скоростей по сечению, т. е. (г и,= ау, о>=0. (34) Вводя безразмерные независимые величины х у (У 0й — — — (х =- —, (3.3) представим дифференциальное уравнение (3.2) в зиле да(у дар — — + т> —.— = — Ь дб'. дт д! и (3.4) Далее, как уже указано в Я 1, функцию тока представим в виде >У = (Уйеын "'>у(г>). (3.5) Тогла Ь)' = (>Лет>) -"П( — я-'У+ — 1= Еде'>1 -"Пр(т>), дт>л ) (3.6) Для исследования устойчивости данного ламинарного течения по л>етоду чалых колебаний мы должны обратиться к приближенному дифференциальному уравнению (2.9) для функции тока поля возмущений.
Подставляя в зто уравнение выражение (3.1) для продольной скорости, получим с.чедующее дифференциальное уравнение с частными производными четззртого порядка: д а>)' (У д лр' де Л- дл ь 31 тзчяниз с пгямолинейным пгоеилам глспгадалания скогоствй 399 и дифференциальное уравнение (3.4) запишется: — я+ф Яг(ат> — >3) — Я") =. О. ввт дг;-' (3.7) Таким образом, задача свелась к решению однородного дифференциального уравнения с обыкновенными производными второго порядка (3.7) и последующего решсння неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка — — — яву=у ггзэ' лф (3.8) Если ввести новое независимое комплексное переменное чз+ я(з — ач] (ч>1) Ь то дифференциальное уравнение (3.7) преобразуется: члч — +ау = О.
вчт (3.9) (3.10) Независимыми решениями этого уравнения будут ') цилиндрические функции с ннлексом '/з, т. е. ',= " 1,.~-3"'), *'Л„( —, а ') ° (3.11) Неоднородное дифференциальное уравнение (3,8) можно решить методом вариации произвольного постоянного. Почучим два независимых решения: ь= — ': ~ячэ ч*' — ч~*' ~ Гя — —., ~ е. (а ) 51п х (а — а)г)з, (3.12) где (3 Пз) т) Р ы ж н к, Г р а л ш т е й н, Таблицы интегралов, Гостехнзлат, 1951, стр 363, а нижний предел ао представляет собой пока неопределенную комплексную постоянную, Умножая (3.12) на произвольную постоянную и складывая с общим решением однородного > равнения (3.8), 4ОО тстойчивость ллминлвных тячвний (гл. х~ получим общее решение полного уравнения для У: У(т) == АУ, + ВУя+ Се"'+ )Эе-" .
(3.14) На основании (3.5) проекции вектора скорости поля возмущений будут представляться в виде дф' и' = — т- = (меч ьп "пу'(т), деу о' = — — '-- =-(и(Уеыач-"НУ(т)). дк (3.15) Граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам в поле возмущений будут тогда иметь вид — у'(О)=О, у(1).=О, у'(1)=О. (3.1о) В качестве гз в (3.12) возьмем значение г из (3.9), отвечающее нижней стенке (ч) = О), т. е, (3,1?) (и)ч)" Тогда прн значении г = ге функции У, и Ув из (3.12), а также и их первые производные будут обращаться в нуль. Поэтому первые два условия (3.16) прн подстановке выражения (3.14) дадут: С+О= О, и(С вЂ” О) = — О.
Отсюда С=- О, АУ, (г,) + ВУз(г,) =-= О, АУг(г,)+Вуз(г,) = О. Так как постоянные А и В не могут обращаться в нуль, то мы должны приравнять нулю определитель системы, т. е. У,(~,)Уз(~,) — У,(~,)У (г,) =- О. (3.19) Подученное уравненне (3.19) является трансцендентным карактеригтичегним уравнением поля возмущении, наложенного на поле скоростей основного потока вязкой несжимаемая жидкости.
Это Обозначим через г, значение г, отвечающее верхней стенке, т. е. „з+;р (з ать (ий) Удовлетворяя условиям прилипания к верхней стенке, получим из (3.14) следующие уравнения: й 3) течения с пгямолииайным пгоэилям гаспгядвлвния скогостяй 401 уравнение связывает значение числа )2 основного потока с кинематическнми характеристиками а и )) поля возмущений.
При этом значения гс н з считаются действительными и заранее заданиымн, а для величины )) допускаются комплексные и подлежащие определению иэ уравнения (3.19) значения. Как уже было указано в 9 1, для исследования вопроса об устойчивости рассматриваемого основного течения достаточно только установить знак мнимой части множителя р из уравнения (3.19). Но и эта ограниченная задача исследования знака мнимой части р по характеристическому уравнению (3.19) представляет весьма сложную по своим вычислениям задачу. Мы ограничимся случаем, когда произведение а)2 считается малым и когда представляется возможным цилиндрические функции в (3.11) заменить их асимптотическнмн выражениями в своей простейшей форме, На основании (3.17) и (3.13) будем иметь: яо лг =1(в)ч) '.
(3.20) Следовательно, интегралы в (3.12) могут быть взяты по прямой, параллельной мнимой оси, Но концы отрезка, этой прямой ге н л могут располагаться на плоскости комплексного переменного я в различных местах. От того, в каких четвертях плоскости х будут располагаться точки яз и я„ будет зависеть зид асимптотических выражений цилиндрических функций. Возьмйм в качестве цилиндрических функций (3.!1) функции Ханкеля, для которых имеют место следующие асимптотические выражения: НЯ(х)- $/ — е ~ (3.21) Если положить; к.= гг'г, го асимптотическне представления (3.21) будут справедливы только для значений аргумента р в пределах Х~Р~ 2' В рассматриваемом нами случае (3.1!) мы имеем: х = — я'1 .
2 Следовательно, иа плоскости комплексного переменного л = г е'г асимптотические формулы (3.21) могут быть использованы для УстОйчиВОсть ллминАРных твчвкий (тл. х! начений аргумента в пределах — е <у(-. 3 3 (3.22) о, г о (3.23) В силу детермннантного характера уравнения (3.19) постоянные множители В (3.23) будут сокращаться, поэтому в дальнейьпем мы эти постоянные выписывать не будем. Положим г=го —- и, считая ".
малым, примем: При этих предположениях будем иметь из (3.23): А=готы ' о) е з(пх(го — г1 — '.)Ы:= о о - о ~п-оп о' ' ч г ! е о о о го — ол — — ТВ1п я(го — г,)+ соя х(го — г,)), (3. 24) -о, О ~о„- оа оа ' ч. =г'Р ', [ — е " ' + го — оо го + — ю' з1п я(го — г )+ соз я(го — гт)1.
Будем теперь предполагать, что точки го и г, выбраны в области указанных значений аргумента. Подставляя (3.21) в (3.11), а затем и в (3.12), получим: $ 9) тячвния с поямолинвйным птооилям таспгкдяляния скотостяй 403 После лифференцирования (3.24) получим; + г,' ! сов х (го — г,) + х з!и х (г, — г,)), ) (3.25) о Хо — Π— гун соя х(г,— г„)+хв!их(г,— г,)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
