Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Г=— лог 1 - Иг, Ло'х Согласно (3.13) и (3.20) будем иметь: юп х(го — го) = а!и сх(а(х)Л = ! ай а, ~ соз «(го — г,) = сн а, Подставляя (3.24), (3.25) и (3.26) в левую часть (3.!9), получим характеристическое уравнение в виде (3.26) — хо + г 'зн о+ась о 'о 'о — хо — е " он о + х с!1 а о о ( н!'о'* «о После приведения к общему знаменателю харзктеристическое уравнение примет вид гу 2 — 2 сй а сй гол(а ох)'+( —,+ — ) зп а зк го'(ай)О'" = О. (3.2?) о Введам новое переменное, полагая !гол(агх) *= х, тогда будем иметь: (3,28) Х Х о а з|! г„"(аК) '" вй а =- — 4Е з!и — соз — яй — сй —, 2 2 2 2' о . х х 2 — 2 сй хо ей го'(аЯ) '=.
4 (я!по — сй — — соа — ай — ), 2 2 2 2)' и характеристическое уравнение прелставится в виде созз — с)оз —" Ьйз — — г)га — "+ ! — — — ) гд —, Вй — "1 = 0 (3,29) Таким образом, лля случая малых значений агс и при использовании асимптотических выражений (3.2!) решение вопроса об устойчивости прямолинейно-параллельного течения с прямолинейным профилем распрелеления скоростей сводится к исследованию корней характеристического уравнения (3.29). (ГЛ. Хг кстодчивость ллминлгных твчвниб 404 Первый множитель в левов части уравнения (3.29) нельзя приравнять нулю, так как при значении х = и квадратная скобка будет обращаться в бесконечность, Выражение в квадратноп скобке (3,29) в свою очередь состоит нэ двух отдельных множителей; приравнивая нулю эти множители, получим уравнения х х а а — 1п — + —,1Ь вЂ”,-0, ~ 2 2 2 2 2 х 2 а — 19 — — —,1Ь вЂ” =0.
~ 2 а 2 (3.30) Оба уравнения (3.30) имеют один общий корень (3.3!) для которого гь'= — х, 3=0, 11413 = (а гс) "гз — ая = — хэ — аэ, (3.32) то каждому депствктельному корню х будет отвечать чисто минное значение 11 с положительным коэффициентом прн 1. Следовательно, амплитуда волн поля возмущений, отвечающих действительным корням уравнений (3.30), будет со временем уменьшаться, а поэтому основное поле ламинарного течения с прялголинеяным профилем распределения скоростей будет устойчивым по отношению к возмущениям вида (3.5). Таким образом, методом малых колебаний не удойтся обнаружить неуспьойчиеость ломинорного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей.
Выше было проведено исследование харзктеристического уравнения (3.19) для случая малых значений ага при использовании (3,21). В работе Хопфа г) проведено исследование этого уравнения при произвольных значениях агс н при использовании зснмптотических формул для других расположений точек го и г,. Результат этих исследования сводится к тому же заключению о невозможности обнаружения неустойчивости рассматриваемого течения методом малых колебаний. г) но р1 е., Рег 4гег1аа1 ие1пег 8сьш1пяаэяеп ач1 е1пег 51гошап8 гегьепйег г1взз18аеи, Алла1еп лег Риуьщ, т. 44, 1914.
Таким образам, корню х = ьа будет отвечать стационарное поле возмущении, амплитуды волн которого со временем не будут изменяться, н, следовательно, вопрос об устоячггвости основного течения не может быть решен. Известным графическим методом можно убедиться в том, что оба уравнения (3.30) для каждого фиксированного значения а будут иметь бесчисленное множество действительных корней. Так как из (3.17) и (3,28) будем нметш а 3) твчвнив с пгямолинвйнын пгоэнлвм глспгвдвлзния скогоствй 405 Обратимся теперь к прннененню энергетического метода к исследованию устойчивости ламннарного течення с прямолинейным профидем распределения скоростей. Как уже было указано в й 2, прн прнмененении энергетического метода исследования устойчивости ламннарного течения вопрос сводятся к исследованию интегрального соотношения Ц (М вЂ” 4 ле") по .= О, з (3.33) где для случая плоско-параллельного течения дх ду ' Интегрнрование в (3.33) проводится по плошали, на границе которой проекции вектора скорости поля возмущений обращаются в нуль.
)(ля случая прямолинейного профиля распределения скоростей имеем и = — „, п,—.--О иу (3.35) ,, г' г'(де' ди')э ул (чгр— ч (3.36) э Так как левая часть (3.36) и числитель в правой частн всегда положительны, то знаменатель довжен нметь отрицательное значение, а это значит, что проекции и' н о' должны в большннстве точек внутри площади о' иметь противоположные знаки. Такой именно случай будем иметь, например, тогда, коглз траектории частнц л в поле возмущений будут представлять собой подобные эллипсы, малые осн которых наклонены к положительному направлению оси х под некоторым углом (рис. 98).
Итак, будем предполагать, что поле вовмугценнй обусловлено наличием эллиптического вихря с центром на средней линия между параллельнымн стенками, малая ось которого составляет с направлением и для критического значения числа Рейнольдса получим из (3.33) следующее выражение: 406 (гл, хл тстойчивость ллминлвных тячяний скорости основного течения угол а.
Введйм новые оси координат, совпадающие с осями эллиптического вихря, В этих новых осях К н Г проекции вектора скорости основного течения на основании (3.35) и формул преобразования координат будут равны и = — соз а1Хз(п а+ 1'соз а+ — ), и, в 2)' (з.зу) и = — — злп а Хмп а+ 1'соз а+ —,~. — И 2) ) Используя выражения (3.37), будем иметь: да, С дХ 2в жп 2а, дел У вЂ” - = — — з(п 2а дУ 2Ь вЂ” + — = — соз 2а, ди,, дгч У ду 1 дХ а М = — —,1(и'л — и') з!и 2а+2и'и'соз 2а). (3.33) 2Л где и' и о' обозначают проекции вектора скорости поля возмущения на новые оси координат. Очевидно, что рассматриваемый эллиптический вихрь можно образовать нз кругового с помощью равномерного сжатия в направлении оси Х. Пусть этот круговой вихрь находится на некоторой вспомогательной плоскости с осями координат хо и уе, совпадающими с выбранными осями Х н у.
На этой вспомогательной плоскости проекции вектора скорости от вихря будут представляться в виде (3.39) "о = — ыуо по = ыхо где е представляет собой положительную постоянную величину. Буделл теперь принимать, что в рассматриваемой точке на основной плоскости проекции вектора скорости поля возмущений равны == еао = еы.уо о = пе — — мхе. (3. 41) При таком предположении (3.41) уравнение неразрывности будет удовлетворяться, а движение частиц в поле возмулцений будет происходит~ по эллиптическим траекториям. гле ы считается непрерывной функцией расстояния ге от начала координат. При этом на границе кругового вихря го = д угловая да скорость ы обращается в нуль, а в центре вихря ы н — остаются л1гл конечными.
Точке с координатами хе и уе на вспомогательной плоскости будет отвечать точка на основной плоскости с коорлннатамн Х = а хе, У = уо, (3. 40) $ 3) твчяник с пгямолиняйным пгофнлзм глспгвдвлвния скоеоствй 407 Подставляя значения и' и о' из (3.41) в выражение (3.38) для М, получим: М = — — ав(хз — езуа) з)п 2е+ — еавхеуе соз 2а. (3.42) л Для вихря поля возмущений будем иметь: '-( — '+ =-)'+ 2а ~ — '+ е) ~ — '"+ еу;) — '„— '"- —, +( — а+ ау'"') —,( — „) .
(3.43) 2а' = 4а' = (3.44) При интегрировании по полярному углу у найдем: х',еда= ~ г-',соззаьйз=-иг-,', ~ у';ьйь= ( г';з)п' аНу=яг', е е е о хеуз Ну =- го ~ з)п у соз а оу = О, (3.45) 4 — 3 рь ь)а = — гге, — 3 ге хеУО ФР = 4 Используя (3.42), (3.43), (3.44) и (3.45), получим: ь МНБ= — е ~ ~ МгьгЬй'з'= — '(1 — ез) з!п 2а ~ маг~Иге, (3 46) ь — )Й' ') ~ 4а' ь(5=-4е ~ ~ а' гзй~лге=2ве( — +е~ ~ ~аегь+аг,— )ь(ге+ Я о ь + — '(3+2ез+Зеь) ~ гз ( — ) ь(го. (3.47) е Элемент площади 45 на основной плоскости будет связан с элементом площали ь)5а на вспомогательной плоскости соотношением 408 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМННАРНЫХ ТЯЧЯНнй (ГЛ.
Х1 обращается в нуль, а в центре а (а го+~РЛг "'о о Следовательно, равенство (3.47) примет вид ь ~ 4а 113= — (3+2оо+Зоо) ~ ( — ) гоФ, (3.48) я о Вводя безразмерную независимую переменную го Ь получим: 1 ~ М1!о = —" Ьо — о(1 — оз) ап 2а ~ аяза с(5, 2 а я о 1 ~4а 1го= 4 — (3+2оз+31')Ья ~ ( — ) Рс15. (3.49) (3.30) Иа основании (3.49) можно заключить, что указанное выше требование о положительности интеграла от М будет выполнено, если коэффициент преобразования е будет меньше единицы, Обозначая отношение интегралов череа л, т. е. 1 55( — ) лз — =д ) нагано о (3,31) и используя интегральное соотношение (3.33), получим следующее равенство для критического числа Рейнольдса: Шк аао 3+ 2Ф+ Зо' 2Ь1 оо(! — 15) 51о 2о' Такии образом, значение (ч,р поставлено в зависимость от размеров вихря Ь, от вида вихря о, от положения большой оси в и от распределения величины угловой скорости вихря по радиусу а (5).
Исследуемое ламинарное течение с прямолинейным распределением скоростей будет заведомо устойчивым, если )ч,г, определяемое Так как на границе кругового вихря а остаатся конечной, то 15а наго+ г';а — = лто — — (ааф, ! л 2 1!го ь — ",! =0. яо о 9 3) твчвния с прямолинейным проеилвм рлспрвдвлзния скоростей 409 Рнс. 99. этом малая ось должна быть наклонена к стенкам под углом « (рис. 99), Используя уравнение верхней стенки У = — 19 «Х+ л 2 сов а н уравнение эллипса хз ув ззв+ Ьз можно получить следующее равенство для квадрата наибольшего значения радиуса вихря на вспомогательной плоскости: (У сов з а + Ф в1па а Подставляя (3.53) в правую часть (3.52), получим: сова а+ зв в1пз а 3+ 2Н+ Ззз Ып 2« зз (1 — зз) (3.53) (3.54) Заметим, что при фиксированном значении в первый множитель в правой части (3.54) принимает наименьшее значение при 1 19а = —.
(3.55) Таким образом, положение малой оси вихря ставится в зависимость от значения коэффициента в сжатия кругового вихря. Подставляя равенством (3.52), будет иметь наименьшее вначение. Следовательно, теперь необходимо установить те значения параметров вихря Ь, в, « и е (з), для которых правая часть равенства (3.52) приобретает наименьшее значение. Как видно из (3.52), с увеличением радиуса вихря Ь (чзр будет уменьшаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
