Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Если же эта мнимая часть оказывалась положительной прн всех значениях множитешг п н числа Рейнольдса, то делалось заключение о том, что исследуемое течение устойчиво по отношению к возмущениям частного вида (1.3). Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался преимущественно энергетический жешод. При использовании этого метода на ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, ио оно выбиралось не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума некоторого выра>кения, содержащего интегралы от кинетической энергии и квадрата вихря, В частности, это выражение прелставляло собой отношение того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в ноле скоростей возмущений, к тону количеству кинетической энергии, которое рассеивается благодаря вязкости.
При некотором видоизменении постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле возмущений задача приводится к задача>г ва. риационного исчисления. Этот метод бь>л использован в работах Решюльдса, Лоренца, Орра'), Кармана я), Сайнджаа) н др. й 2. Общие уравнения для возмущенного движения Прежде чем переходить к исследованию устойчивости отдельных лалгинарных течений, установим общие уравнения для возмущенного дан>кения вязкой несжииаемой жидкости и некоторы интегральные соотношения идя этого движеяня. >) О г г, Ргос.
йоу 1гц>ь Асад., ХХЧ11, 1903 — 1907. з) К аг ш д и, АШ>апд1. Аегод. >пз>„Аасйеп, № 5, !925. >) б У. и Хе, Зопгп, о1 ЫАШ. зпд РЬУМВ, т. ХЧ, 1936. Овщив гглиньним и и и»»* Если действием массовых сил пренебрегать, то дифференциальные уравнения лвижения вязкой несжимаемой жидкости булут представляться в виде ди ди ди ди 1 др дг дх ду дг Г дх +и.— +о..— +»о — = — — — +»1и, до д»» до до 1 др д! дх ду дг р ду --+и — + — + — = — — — +чд д»о дж ди», дм 1 др — +и — +о — +»о — = — — — +чош, д! дх ду дг а д" ди до дш — + — +--"=О, ! дх ду дг (2.1) Частные решения системы уравнений (2.1), отвечающие определенному аснолно.иу течению жидкости, обозначим через (2.2) и» о» »о» Р, Для этик частных решений (2.2) лифференциальиые уравнения (2.!) удовлетворяются либо точно, либо приближенно.
Следовательно, можно написать; (2,3) ди» д»»,, дш» дх ду ' дг Составим разность соответствеш<ых уравнений (2.1) и (2.3) и введем обозначения = и', — ! = о', (2.4) Если величины и, о, »и и р будем рассматривать как проекции вектора скорости и давление результирующего возжушдннага движения жидкости, то и', о', ш' н р' будут прелставлять собой проекции вектора скорости и давление далолнитгльнага движения жидкости, которое в дальнейшем будем именовать пален возму»лений.
Для изучения изменений характеристик поля возмущений получим из (2.1) и дп, ди, ди, ди, — +и — + о —.+»о — ' д!»дх»ду» дг до, до, до,, до, -+и,— -+о -' ' »о '— д! дх 'ду ' »дг дш», дш» дж, дш» — + и — +и --+то д! 'дх»ду»дг и- — и » о — о ш — »и р р» др! ! др, рш = О. ! (2.3) слелующие дифференциальные уравнения; дие ди' ди' ди', ди!, ди, ди — + и — + и — + еп — + и' — + о' — + щ' — '+ д! гдх !ду ! дг дх ду дг 1 д!"з 1 др' + 2 (а' ю' — а'и') + — — = — — — + ч Ли', и = 2 дх р дх до' дп' дп' дп', дп„, дп,, дп, +и =+о — +то — +и — +о — '+о — + дг !дх еду ! дг дх ду дг 1 д1l'Я 1 др' +2 (а'и' — а( м') + — — = — — — + т Ьп', 2 ду я ду да' да' двн да', даь,д!а,, да~ — + и — + Π— + со †.+ и — + и — + ю — - + дт 'дх 'ду ! дг дх ду дг 1 д1'"- 1 др' +2(а о — а и')+ — — — = — — — +чЬю', и 2 ду у дг ди' дп' да' (2.5) дх+ду+ дг ! В этих уравнениях и,, и,, ю, и р, представляяп собой известные функции координат и времени для основного ьчечекил, )г' — модуль вектора скорости поля возмущений, а а', а', и а' — проекции век.о ч г тора вихри поля возмущений, т.
е. ° да' д1п' 2а.. = — — —, ду дг' ди' дтп' 2а, дг дх ' дп' ди' 2а = — — —. дх ду' Если считать проекции вектора скорости поля возмущений малыми и пренебрегать квадратичными членами инерции этого поля, то по- лучим следующие дифференциальные уравнения: диг ди' ди' ди' — +и — +о — +а — + дс гдх еду тдг ,ди!,ди!,ди! 1 др' + и — + и' — + ы' †.== — — — + Ли', дх ду дг я дх дп' г!пг до' дп' — +и — + — + — + дг тдх еду е дг ,до,,дп,,дп, 1 др' + и — + о' — — + щ' — = — — - — + Ьо', дх ду дг у ду да' да' да' да' — +и — +о — +м — + д! 'дх !ду где ,да~,,да,,дев, 1 др' + и' — + и' — + щ' — = — — †.+ ч йщ', дх ду дг у дг ди' до' дяи — + — + — =о.
дх ду дг (2.6) 9 2! овщнв ттлвнения длв возмтщвнного движения Умно>язв первые три уравнения соответственно на елиничнь>е векторы осей координат и складывая, получим приближенное лифференциальное уравнение поля возмущений в векторной форме дУ' дУ' дУ' дУ>,,дУ> — +и - -+о — +ю - — +и' — '+ дт >дх >ду >дх дх +о' — +ж> — =- — — и>ад р + ЬФ".
,дУ> >дУ> ! дт дх (2.7) Если основное течение считать прямолинейно-параллельным, т. е. ю =О, ~~ — — О, — =О, дх то дифференциальные уравнения (2.6) поля возмущений будут пред- ставляться в вилс "1 дх (2,8) дх Для случая плоско-пара;щельного поля возмущений булем иметь; ди' дгх др' дх ' дх ' дв Исключая из первых двух уравнений (2.8) лавление, получим следующее приближенное уравнение лля функции тока поля возмущений: д ЬВ6> д Ьф> дф'двп> — — '.
+и — - — — — = ьь)'. (2.9) дг ' дх дх ду' Хотя дифференциальное уравнение (2.9) установлено для случая плоского прямолинейно-параллельно>.о основного течения, все же его можно с некоторой степенью приближения использовать и в случае, когда основное течение и не будет в точности прямолинейно-параллельным и вектор скорости течения будет иметь две проекции, но тогла одна проекция должна быть малой по сравнению с вру>ой, а основная проекция лолжна мало изиеняться вдоль течения.
Иначе говоря, уравнение (2.9) можно использовать и для плоского пограничного слоя. Чтобы получить приближенные дифференциальные уравнения поля возиущепий в цилиндрических координатах, проще всего поступить дл> дк> — + и — + о' — -(- дг >дх ду де' > де' — +и— д! 'дх дж' дю' — +и,— дт д.к ди' дв' — +— дт дв ! др'„ — - — +чЛи', в дх ! др' — — + ч г>ю', г дт — — + >Ьщ', дх ! следующим образом. Взять уравнения (6.6) и (6.7) главы П без учета массовых сил, подставить в них о,= вы+и„, о =и„+ о„ о» = и„+о», Р=Р»+Р учесть уравнения лля проекций вектора скорости основного течения о,„, о, и о„ и пренебречь произвехениямн производных от проекций вектора скорости поля возмущений.
В результате получим следующие лифференцнальиые уравнения поля возмущений: до,. де,. е, „дог — '+ — 6+- — — г+ дг "" дг г де + = — "+о.— + — ' — "+: — — -~ч-6=-= оде "дг г д» 'дг г дрг / ~ »:,. аде х де де е,» де' +о — + — —,+ д/ ы дг г дт "дя ' дг г дт "' дг (2. 10) агдт+ (, » гя )6 да)' до,, е,. 1 де„де„ вЂ” '+ — г+ — —" »- — '= О.
дг г г де ' дз Лля случая прямолинейно-параллельного основного течения в круглой цилиндрической трубе будем иметьс и жО, о ~0, — О, — = — О, с'»'»» до»» дя ' дт до» де» е»» де — *+ — '+ — '-' — »+ д/ ыдг г де де» де +»» + ' д е деы,дсы г дт+»д.
1 дР' р дз = — — — -+»»»е, Ъ к! оящиа ттявняния лля возмтщянного лвнженин и поэтому дифференциальные уравнения поля возмущений булут прел- ставляться в виде (2,11) Если полагать поле яозмущсннй осесимметричным, т. е. — "=О, — '= — О, — =О, дт ' дч ' дч о„— О, то на основании послелнего уравнения (2.11) можно внести функцию тока д(г д", (2.! 2) Первые лва уравкения (2.!!) прелставятся тогда я виде ! т даф , дг~~! 1 дп ,,)()Ы г~,дтдл ыдл"-) З дг+ г д" ' 1 1 (дтд» дезы дф'дом') ! д)г' ~ дВУ (2.!3) 1' ' г !дед» ' яь дгдл ддл дг / а де г д где 0 — оператор Стокса: дз ! д , дт дгз г дг ' длз' Исключая из уравнений (2.!3) лавленне, получим следующее диффе- ренциальное уравнение лля функции тока симметричного поля возму- щений.
наложенного на прямолинейно-параллельное течение в круглой цилиндрической трубе: д Оф' дар», 1 дф»доы дзф» дпы дф»дтиы д! ы дл ! г дл дг дгда дг дл дгт Для случая основного кругового течения вязкой несжимаемой жидкости в уравнениях (2.10) необходимо положить: де,, диет о жО, о ямО, — вяб, — — О, дф * дл до, — '+ дг до дп', — 1+ дг о "дг;г дт ' ( т ге+ге дт)' де„.доы 1 д)г „ ыдл ' "дг р да+ д (го„) д (го,') ди, + — — '+ — ' =- О. дг де дт >стойчивость ллминленых течении — г+ -г+ — -"-"-+ --.- = О. дг г г дт дг Гели в рассматриваемом случае дополнительно предположить, что проекции вектора скорости поля возмущений и давление не будут зависеть от поляркото угла о до,. до до, др дч ' дт ' дт ' де — '=О, — — ==О, — -'==О, — =О, то из (2.!5) получим следу>ошие дифференциальные уравнения симметричного поля возмущений, наложенного на основное круговое движение вязкой несжимаемой жидкости: д> г В д>' (, > ' гт! до, 1др дт рдд (го,.) д (го„) дг д" + — =".= О, ('2.
16) тдс д'-' ! д дз дгз ' гдг ' д'' Приближш>ные дифференциальные уравнении (2.9), (2.14) и (2.16) соответственных полей возмущений использовались отдельными автора>>и для исследования устойчивости основных ламннарных течений вязкой несжимаемой жидкости. Теперь перейдзм к установлению некоторых энергетических соотношений для поля возмущений. Обратимся к полным уравнениям поля возму>ценив (2.5). Умножая первые три уравнения на и', о' н ш' соответственно и складывая, При этих предположениях дифференциальные уравнения поля возмущений представятся в ниле > > дт„о, до, до,„огт>,ч —,, ~бо' т ( '.) (2.15) де+ г дт яда а 21 овщие телвнзиня для возмюценного движения 395 получим: Используя уравнение несжимаемости и выражения компонент вектора вихря, будем иметгн г г и' ди'+ о' ао'+ щ' Лщ' = г .— 2 — (о в' —. юа',) + — (ю а' -- и'в') + + — (и'а' — о'а' )1 — 4 в', =-Й" (';: — ~- ")1+АИ'-а+ ~ ")1+Й-'6+1 "М Первые четыре слагаемых в левой части (2.17) в своеп совокупности представляют собой ииднвидуальнухз произ~годную по времени от кинетической энергии единицы массы в поле возмущений при условии, что переход частиц из одного положения в другое происходит со скоростью основного движения.
Для этой производиои введем отдельное обозначение д д д д де дь ' 'дх 'ду 'дх ' — '= — + и — +о — +щ —. (2.18) Для всех последующих слагаемых левой части (2.17) также введем отдельное обозначение ,а диг, ду,,а да,, удиг де 'г г)4 = — 1и' — +о' — — + щ' — '+ и о ~ — + — )+ дх ду д- )ду дх 7 ' и'.-"'(й'-.'+'д — ')+"'о'(' — "+'— ")) (2 ") Г/г (э д- — д —,— д — д —— 2 2 2 2, мдиг,едег,гдвг — + и, = + о — + тп — + и — + ед" — .+ щ' — + дг дх г ду г дх дх ду дх + (а'Ьи'+о'Ло'+щ'Ьщ'), (2,17) уСТоичньоь~~ вви Используя обозначения (2.18) и (2.19) и предшествующие формулы преобразования, получим из (2,17) следующее энергетическое соотношение для единицы объЕма частиц жидкости в поле возмущений: — '(Р—,) = рМ вЂ” 4рв'+ — (и'(р'+ —, р(>' )+29(о'в' — -ш'в,')~+ + — (о'(р'+-,— р)г' )+2р(ш'в' — и'в'„))+ + — ~ш'(р'+ — р)г' )+ 29(и'в,' — и'в',)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
