Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 48
Текст из файла (страница 48)
чп! будут зависеть от координаты х, т. е. толщина пограничного слои вблизи критической точки будет постоянной. Из этих же формул при учете (5.1) будет следовать, что при т(! толщина пограничного слоя будет расти по течению, как и в случае пограничного слоя на пластинке. Наибольший рост толгцины пограничного слоя по течению будет иметь место в замедленных потоках при лг ( О, тогда как при ускоренном течении при ю,.ь 1 толщина пограничного слоя будет даже убывать по течению. На основании таблицы 1 получается, что при р = — 0,1988, т.
е. при Гл = — 0,0904, при убывании скорости внешнего потока по закону и — сх - 0.0000 величина Фь(0) обращается в нуль, и поэтому согласно (5.!8) сила трения будет обращаться в нуль на всей стенке соответствующего канала. Этот случай можно рассматривать как предельный случай того безотрывного движения в пограничном слое, который может быть изучен этим методом, так как при р ( — 0,1988 пограничный слой либо вообще не может существовать, либо развитый выше метод становится неприменимым. Таким обрааом, задавая различные значения для показателя т, можно получить различные по своему характеру течения в пограничном слое и эти течения буду~ сходны с теми течениями, которые имеют место в отдельных частях действительного пограничного слоя, например на крыле: вблизи критической точки (лг = 1), вблизи точки наименьигего давления (лг = 0) и вблизи точки отрыва (Гл = — 0,0904).
9 6. Приближенные уравнения теории пограничного слоя !1ля решения отдельных задач были использованы в некоторых случаях упрощенные уравнения пограничного слоя, учитывающие квадратичные члены инерции в левой части первого уравнения (1.13) не полностью. Если, например. воспользоваться идеей метода Озеена и заменить и в первом слагаемом (1.13) через скорость частиц (/(х) иа границе слоя и соверщенно отбросить второе слагаем~в, то получим прнближвнные уравнения теории пограничного слоя (6.1) Уравнения вида (6.1) были уже испольйованы в 9 3 главы У!! для задачи погружения пластинки в вязкую среду. Если сравнить полученное там значение напряжения вязкости на пластинке (3.1!) 9 6! птиелижйннык ттдвнения теоеин поггдничного слоя 279 с напряжением вязкости, полученным в 9 2 на основании полных ураннений пограничного слоя, то можно заметить различие з значениях числовых коэффициентов порядка ббогго. Таким образом, приближенные уравнения (6.1) являются грубо приближйннымн, дающими заведомо преувеличенные значения для напряжения вязкости.
К этим уравнениям можно обращаться лишь в тех крайних случаях, в которых не- может быть использован ни один из известных приближйнных методов решения полных уравнений пограничного слоя (1.13). Например, в работах . Л. Г. Лойцянского ') приближйнные уравнения (6.1) были использованы для изучения пространственного пограничного слоя на стыке двух плоскостей, В этом случае ни один нз известных методов решения уравнений (1.13) не может быть использован. Уравнения (6.1) используются также для изучения движения жидкости в области позади тела в предположении, что движение считается ламинарным и распределение сноростей по начальному сечению этой области «следа» за телом считается известным из решений уравнений для пограничного слон'-), Упрощение вида первого уравнения (1.13) пограничного слоя можно произвести и другими способами.
Вместо способа частичного учЕта квадратичных членов инерции иожно, например, применить способ осреднвнного их учйта аналогично тому, как это было сделано в 6 !О главы Ч! по отношению н смазочному слою. При таком способе упрощения уравнения пограничного слоя принимают вид дм~ 1 др+1 (6.2) ду ди до 1 — + — =- О, дл ду ! тле )т'„— среднее по толщине слоя значение проекции вектора уско- рения на направление касательной к рассматриваемому контуру (6.3) Учитывая граничные условия (1!4) и (1,15) и уравнение несжимаемости и проводя преобразования, которые были проведены в 9 3, з) Лайцв иск ий Л. Г., Взаимодействие пограничных слове, Труды ЦАГИ, вып, 249, 1936; Об одной задаче пространственного пограничного слоя, Труды ЛИИ, раздел физ.-мат. ввтк, дй 1, !937.
!) Л о й ц я н е к и й Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя, ГТТИ, !941, стр. !18. 260 (гл. Чш теОРив пОГРАничнОГО слоя среднее ускорение Ю' можно представить в виде (~и — — [д— ~ и ду — ~ -1 — ~ и г(у)' (6.4) О 0 Таким образом, задача изучения движения жидкости в пограничном слое будет сводиться к решению первого уравнения (6.2) и к использованию соотношения (6А) для определения толщины слоя. Наконец, можно сохранить все уравнения (6.2), а ускорение определять не с помощью осреднения, а каким-либо другим способом, например с помощью соотношения при у=О и=О, при у=э и=(/(х), 1 ди — = О.
ду (6.7) Удовлетворяя этим условиям, получим: 1 др 1 1, (1 2и дх+ 2П и Ээ' и и = — —;(уз — 2еу). аэ Используя равенство (6.9), будем иметгс (6.8) (6.9) иду = — и', 2 3 о (6.! О) е ) г) Т а р г С, Л(ч Основные задачи теории ламинарных течеиий, Гостех. издат, 196К (Р' (х, у) = и — — — ~ — ду, ди ди Г ди дх ду ,~ дх (6.5) О в ко~ором скорость и считается заранее заданной функцией, удовлетворяющей граничным условиям на границах слоя '). Рассмотрим применение упрощенной теории пограничного слоя, пречстэвляемой первым уравнением (6.2) и соотношением (6.4). Решение первого уравнения (6.2) будет представляться в зиле и = — ( — Р -+ е Ф'.) уэ+ С,у+ С, (6, 6) Как уже было указано в 6 4, основные граничные условия для скорости и имеют вид: 9 6) пгивлижкипые уРАВнения теОРии пОГРАничнОГО слоя 28! Подставляя в (6.4) значение среднего ускорения из (6.8) и используя равенства (6.10), получим: 1др 2~(Г 2 /, еа'1 — — — — —,= — (3()й — () .').
з дк ее 15(, Бели давление определять из интеграла Бернулли, то б> дем иметь: — ' д' = — (уи', и соотношение (6.11) переплат в следующее дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя: 233'+ 9 — 3з = —. ЕР 30~ (г и' Решение это~о линейного уравнения относительно фе представляется в виде 'е=-В(! 'В "+') (6.13) Таким образом, толщина пограничного слоя определяется олной лишь квадратурой.
Постоянное Сз долгкно быть определено либо из условия задания толщины слоя для начала отсчета криволинейной координаты, лцбо из какого-нибуль другого условия. Для случая прямолинейной пластинки можно положить: () = — соле!, Тогда из (6.13) получим; 6= 5,48 е~ —" Р (Г' (6,14) Сопоставляя правую часть (6.14) с правой частью (2.22), мы приходим к заключению, что подсчдт толщины пограничного слоя с помощью упрощднных уравнений (6.2) и (6.4) дает завышенное вначение для числового коэффициента порядка 5,4О1 .
Ошибка и определении значения числового коэффициента в формуле для толщины пограничного слоя по рассматриваемому методу оказывается всв же меньше, чем это получилось в ф 4 при применении метода интегральных соотношений, з сами вычисления стали проще и ие потребовали численного метода решения лнфференциального уравнения. Основная скорость и по толщине слоя распределяется по параболическом> закону (6.9).
По этоп причине мы не можем установить положение точки отрыва пограничного слоя. Чтобы установить пологкение точки отрыва, необходимо предварительно > точнить полученное решение для основной скорости. Это уточнение можно произвести с помощью первого уравнения (6.2), если подставить в правую часть значение ускорения, подсчитываемое уже по формуле (6.5). БСли подставить значение и из (6.9) в (6.5) и произвести 282 1гл.
щп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ зсе вычисления, то для ускорения %' получим многочлен четвертой степени, а поэтому оспозная скорость, определяемая по первому уравнению (6.2), будет представляться во втором приближении уже многочленом шестой степени. Толщина слоя в этом приближении будет определяться равенством (6,15) а положение точки отрыва булет определяться из равенства Полученное значение (6.16) отличается от экспериментального значениа (4.!3) лла эллиптического цилиндРа на 30е/е, но вез же оно ближе к эксперииентальному, чем то значение, которое получается при применении приближенного метода Польгаузена, й 7. Распространение тонкой ламинарной струн у ~ ля,(у (7.1) Если жидкость простирается до бесконечности и там находится в покое и если нет каких-либо тзардых границ внутри жидкости, то давление можно считать всюд) постоянным, т.
е. ,О = сопя(. (7.2) )(ифференциальные ураанения, выведенные для пограничного слоя вблизи тнардой стенки, нашли своЕ применение и в изучении распространения движения от струи, зтекающей з полубесконечное пространство, заполненное той же жидкостью, но нахолящейся на бесконечности в состоянии покоя. Если при обтекании твардой границы происходит распространение торможения от стенки внутрь потока благодаря вязкости, то при втекании струи в безграничную жидкость происхолит распространение уже самого движения благодаря той же вязкости жилкости.
Такое сходство явлении и обусловливает возможность использования однкх и тех же дифференциальных ураанений. рассмотрим случай бесконечно тонкой плоской струи типа источника. Начало координат поместим в точке источника струи, ось х направим по плоскости симметрии, а ось у †- перпенликулярно к этой плоскости. Так как через элементарный отрезок г(у проходящая масса рис!у переносит с собой количество дзижения ри ггуи, то полное количество лвижения, переносимое всей струей черед зсю прямую, параллельную оси у, будет представляться в аиде РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОНКой ЛАМННАРНОй СТРУИ Применяя теорему об изменении количества движения жидкости к области межлу двумя прямыми, параллельными оси у, и используя постоянство дааления, мы приходим к выводу о постоянстве переносимого струай количества лаижения, т.
е. риэ г(у = сопя( = / = ОК . (?.3) Полное количество дан>кения, переносимое струай, называется импульсом сжруи. Импульс струи считается заданным, так как считается заданным распределение скоростей в начальном сечении струи. Лля изучения движения частиц внутри струи используются уравнения (И)3) пограничного слоя. Эти уравнения при использоаании постоянства лавления принимают вил ди <)и дэи и — +Π— = — У— дх ду дух ' ди, ,дэ — + — =- О. дк ду (7.4) На линии симметрии продольная составляющая аектора скорости должна быть наибольшей, а поперечная составляющая лолжна обратиться в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
