Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Из механики известно, гто в том месте, в котором материальная точка покидает связь, зеакция связи обращается в нуль. Аналогично обстоит дело и здесь, голько роль своеобразной реакции связи играет сила вявкости, котозая в месте отрыва слоя от стенки обращается в нуль. Е 2, Асимптотнческий пограничный слой на пластинке Уравнения пограничного слоя (1.13) при этом принимают вид дн да дзн и — +о — =э —, дх+ ду дуз' ди до д — „+д-=О. (2,1) В качестве граничных условий принимаем условие прилипания (!.14) и одно лишь первое условие (1.15) для скорости на бесконечности: при у=О и=-О, о=О, ~ (2.2) прн у =оо и =(у .
Для решения уравнений (2.1) введем безразмерную переменную ве- личину -у ое т~ — — у з, (2.3) и примем. что компонента скорости и есть функпия только от одной введйнной безразмерной переменной и =()опг(ч). (2. 4) На основании уравнения несжимаемости вводим функцию тока полагая дй дь и= —, о= — — ', ду ' дх' Чтобы удовлетворить предположению (2.4), необходимо для функции тока ф принять следующее выражение: ф = У ()ох/(6) (2.5) Рассмотрим установившееся обтекание безграничным плоским потоком несжимаемой жидкости в продольном направлении плоскости, простирающейся вдоль положительного направления оси х до беснонечности (рис.
69). Так как скорость во внешнем потоке будет всюлу постоянной и равной (уз, то и лавление будет б также постоянным, и поэтому др ~=О. Рнс. 69. ТЕОРИЯ ПОГРЛНИЧНОГО СЛОЯ ХОО (гл. чш где /(и) — функция от одной безразмерной переменной ть При таком предположении будем иметь: = ')7 '(/ех/'(6) ~Д = (го/' (~~), ' ду 1 т у~а,, да О= — — ~7 '— '/(9) — у' и,. /'(Т) 2В' х е ' дх / .и, 2 7' ди и Р дп /г й, дзл К. дх 2х ' * ду Р х 'дуа х — = — — ' 7/" (7)) — = (/о вг~ — „' /" й) — = — /" Ю (2.6) Граничные условия (2.2) принимают теперь вид: при ь.=.О /.=-О, /'=-О, ~ при 7) =со /' =1.
(2.8) Решение нелинейного с одним числовым коэффициентом дифференциального уравнения (2.7) в окрестности П = О можно искать в виде степенного ряда / (7)) =,~~~ Ает~ (2.9) ч=е Чтобы удовлетворить двум первым граничным условиям (2.8), первые два коэффициента ряда (2.9) необхолимо приравнять нулю; Аа — — О, А,=О. Подставляя ряд (2.9) в уравнение (2.7) и приравнивая нулю суммы коэффициентов при различных степенях переменного 7), получим в конце концов следующий рял дчя искомой функции )'(г): Х (,2) (Зп+2)1 ч=а В этом ряде коэффициенты гч имеют определенные числовые значения, например са — 1, г, =:= 1, сз.— -1П сз — — 375, с, —.-27897, а множитель а является пока неопределенным. Для установления вида решения уравнения (2.7) для весьма больших значений аргумента 7~ можно применить следующий приближен- Подставляя значения и и о и их проивволных из (2.6) в первое уравнение (2.1), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка: 2/'х+// =О.
, 2) лсимптотичвския погглничныя слой нл пластинке 201 де р — неизвестная постоянная, Первая производная от этого реше,на всюду равна единице, следовательно, третье граничное условие 2.8) будет уловлетворено, йля построения второго приближения и аменим в уравнении (2.7) произведение 77 через у уэ, тогда полушм следующее уравнение для второго приближения: — '„=- -(1 — т,).
1ыполняя интегрирование, будем иметь: и 1~7 =- — —,(~З вЂ” «,)'+1~7, де Т вЂ” постоянная. Вторая и первая производные от второго при~лижения будут представляться в виде ! уз= Те У,=Т)е ' '' г!т,, (2.13) !ижния предел во второй формуле был выбран с тел~ расчетом, тобы первая производная от рассматриваемого приближения обралалась в нуль при бесконечно большом значении аргумента. Ограничиваясь только двумя первыми приближениями, будем ~меть следующую приближенную асимптотическую формулу для ~скомого решения уравнения (2.7): ! /.—...т,— р+7 ~ Ит~ ~е Т г(Ч, Ю Ш (2.14) Чтобы правая часть (2.14) леяствительно представляла аналитиеское продолжение на область вемма болыпих значений аргумента гункции 7(ч), представляемой для области малых значений аргу~ента рядом (2.10), необходимо потребовать совпадения значения 2.10) и (2.14) для ряда тех значений аргумента, при которых обе юрмы могут иметь место.
Требуя, например, совпаления значеия (2.10) и (2.14) при трах значениях аргумента, получим три 'равнения для численного определения трех постоянных э, 3 н 7. ') В!аэ!аэ Н., Сгепээсщсщеп 1п Г1аээ!8ненеп шн Не!пег Кюнппэ, :е!1эсйг. (аг Э(ангепэапи нпд Риуэбп г, 06, !908, ,ын метОд' ). Решение уравнения (2.7), отвечающее прямолинеино~араллельному течению идеальной жидкости, имеет вид Ль- б — р (2,11) [гл.
шн твовня погвлвячного слов На основании такого рода численных вычислений были получены следующие значения; =О,ЗЗ2, 8= 1,ТЗ, Т=О,231. К решению уравнения (2.7) прн условиях (2.8) были пряменены н лругне методы. В частностн, методом численного интегрирования была составлена подробная таблица значений основной безразмерной скорости и„г). Некоторые значеняя из этой таблицы приводятся ниже. .Таблица ! 3,0 ! 4,0 ~ 5,0 ' 6,0 1,0 ~ 2,0 0 0,2 0,4 иг ( О 0,0664 0,8160 ) 0,9555 ~ 0,9915 0,9990 ~ 0,1328 0,3298 0,6298 Для силы вязкости в точках самой пластинки будем иметь' Используя данные таблицы 1, получим: ( —,~.= Щ л,(0,2) — и, (о) о зз2 Таким образом, снла вязкости в точках пластинки будет представляться в виде 0 332(/еО. 1У 0 г х ' (2.
15) ! Р = 2 ~ "О(» = 1,328()ОГ'~гиР1, О (2.16) Вводя коэффициент сопротнвленнв трения Р с = —— (Га ОГ 2 О- (2.17) н число Рейнольдса г) ТО ргег, Еейаснг. Ваг Ма!!Оешапх ппа Р!1уагв, т. 60, 19!2. Умножая обе части равенства (2,15) на 2О(» и проводя интегрирование в пределах от нуля до 1, получим следующую формулу для силы сопротивления трения обеих сторон пластинки длины 1 н ширины, равной елиннце; 9 2! лсимптотический погвлничиый слой ил пластинка 253 получим: 1,328 с = — ' у'й ' (2.19) Таким образои, «оэффициент сопротивления трения пластинки, создаваемого пограничным слоем, обратна пропораионален квадральному корню из числа Рейнольдса. При рассмотрении асимптотического пограничного слоя толщина слоя 6 будет условной величиной.
За верхнюю границу пограничного слоя можно, например, взять геометрическое место тех точек, в которых величина основной скорости и отличается от соответственной скорости внешнего потока на один лишь процент, т. е. (иг)ь = 0,99. Этому значению скорости отвечает в таблице 1 приблизительное значение ч), равное 5. Учитывая формулу (2.3), получим для толщины слоя следующую аависимостсп 3 = 5 ~/ — = 5 ~/ —. (2.19) (2.20) Величина Ь" характеризует то' смещение внешних линий тока от рассматриваемой обтекаемой потоком поверхности тела, которое обусловлено образованием пограничного слоя.
Если использовать таблицу 1 значений и нли первое приближение (2.1!), то для толщины вытеснения е' для случая пластинки можно будет получить выра- жение 3*= 1,73 в/ —. ь' Тгь (2.21) Таким образом, для толщины пограничного слоя на прямолинейной пластинке будем иметь формулу 3 == 36' = 5,2 ч„ , $/%. (2.22) Таким образом, толщина пограничного слоя на пластинке увеличивается вдоль самой пластинки по закону параболы. Но чаще всего в качестве толщины пограничного слоя принимается утроенная величина толщины вытеснения 3', причем под толщиной вытеснения подразумевается величина Ь', определяемая равенством 264 (гь юп !согни погглничного слон Экспериментьп провеленные Хансеном ') по определению распределения скоростей в пограничнол! слое на пластинке, показали вполне удовлетворительное согласование результатов вычислений, предо!а.
вленных в таблице 1, с результатами измерений до значений чисе,! Реинольдса порялка 300 000. Некоторое отклонение результатов измерений от результатов вычислений имеет место ллв точек, расположенных вблизи носика пластинки. Это отклонение в значительной мере лолжно об ьяснячься тем, что предпосылки теории пограничного слоя вблизи края пластинки менее справедливы, чем вдали от края. Э 3. Интегральные соотношения Первое основное уравнение (1.13) пограничного слои яв:жется нелинейным Поэтому интегрирование уравнений пограничного слоя для конкретных задач связано с достаточно болыпими трудностями, как это было показано на примере пластинки в 9 2. Это обстоятельство побудило многих исследователей искать приближенные методы, упрощающие либо задачу изучения движения жидкости в пограничном слое, либо метод отдельных операций вычисления характеристик пограничного слоя.
К настоящему моменту в литературе имеется достаточно большое количество различных приближенных методов изучения пограничного слон. Основная группа этих приближенных методов связана с использованием интегральных соотношений пограничного слоя. Первое интегральное соотношение было установлено Карманом я) с помощью применения теорем!л об изменении количества движения в фиксированном элементе пограничного слоя, Второе соотношение было установлено Л.
С. Лейбензоном в) с помощью применения теоремы об изменении полной энергии в фиксированном элементе пограничного слоя. Обобщение этих соотношений было дано В. В. Голубевым '). Ладим вывод этих соотношений, следуя рассуждениям В. В. Голубева. Умножим обе части перво~о уравнения (!.13) на п" г(у и пооинтегрируем от нуля ло а, представляющей собой толщину пограничного слоя; получим: и"" ' — гту+ ) пп" — г(у ==. — — — ) льду-(-э ) и' —, г(у. (3.!) 1 ,ди Г ди 1 г)р дти дл,) ду г дл,) ,) дуя г) Н а и з е в М „1)!е Пезспж1пдп Кена Чег1еичп8 1п пег ОгепгесйсЬ! ап ежике!аисыеп Р1апе, Ее!нсьг. Ыг видев. майе п.
ипд Месьап1к г. 8, вып. 3, !928. т) К л г а а и Т., ЦеЬег !а~в!ваге ппд гигЬч1еп!е йе!Ьипд ЕепзсЬг 1аг апЕечг. Мащ. ипд Месь., т. 1, !921. э) Л е й 6 е и з о н Л. С., Энергетическая форма интегрального условия в теории пограничного слоя. Труды ЦАГИ, вып. 240, 1935. ч) К о ч ~г н Н. Е., К иве л ь И.
А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханпка, ч. 2, Гостехнзлат, 1948. 265 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Выполняя простейшие вычисления и учитывая, что толщина слоя зависит от переиенного х, будем иметь: це»' — дУ:= — 1 — дУ.=- — [ — ~ це+Ядя — (ц,)л -ед'(, ди ! Гдцачт ! Гд Г дх а+2 2 дх Л 1-2(дх„) п о = — 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
