Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 40
Текст из файла (страница 40)
— компонента вихря, перпендикулнрная к плоскости дви>кещш, где функция ф удовлегворяет дифференциальному уравнению Лапласа (2.4), а функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.10). Компоненты вихря на основании (2.!2) будут иметь вид э 2(дл дл) 2 да' ' 1!а основании раненств (2.13) мы приходим к тому заключению, что решения в форме (2.12) могут иметь место лишь тогда, когда все вихревые линии располагаются в плоскостях, перпендикулярных к скорости нотокз на бесконечности, Для плоско-параллельного н осесимметрнчного дви'кения жидкости как раз такое положение вихрей и имеет несэо, Следовательно, для этих видов движения вязкой несжимаемой жидкости можно строить решения обобщенных уравнений Стокса (2.1) в форме (2,12).
Условия прилнпания частиц жидкости к поверхности 5, ограниченной контуром у неподвшкного тела, запишутся следующим образом. З 2) посттовнив гашений оаовщйнных теьвнений стокса 231 движения вязкой жилкости булем 1(ля тлоско-параллельного иь ть из (2.15): дт дг — 0; на 7: УР дт ки = из = 2Р ду' (2.17) у =- г соз ж л = г з1п т; 1 ду дх — = соз т, — = з!и з, дг ' дг (2.20) то из (2.19) и (2.15) получим: (и) = — — ~ — — + — — )= — — —, У /дт дх дт ду1 У дт «Л 2з1дл дг дудг) 2лдг' (2.2!) Таким образом, главный вектор сил воздействия (2,16) на непо. лвижное тело при осесимиетричном движении вязкой несжимаемой живности равен )2=рай ~ ~ ф(,— ф(.,)д5. (2.22) Так как на основании рис.
62 ду дх и„= "исоа в+ю яп е = од — +твд —, дг дг' то, подставляя сюлз значения о н ю из (2.!2), получим: и = — =+ —, 1 дк дт 2л дг дг' Таким образом, лля осесимметричного движения вязкой несжимаемой жилкости компоненты скоростей булут: 1 дХ где .+2л дх+дх' 1 дк дт г+ г' 2а дг дг' (2.23) позтому, используя выражение (2.5) лля давления, получим из (2.16) и (2.17) следующую фориулу для глав. ного вектора сил воздействия на плоскмй неподвижный контур И=р(7 ~ (д — '(,— ~ Ез)пж (2.13) т г ьа- Р ° .*,.
Б,-".: из — и„= — м„мп а+ и, соа а, (2,19) Рпс. 62. гле в — полярный угол в плоскости уОл (рис. 62). Так как кдм лвижвнив пги мллык числах еайнольлсв, мвтод озвзнл [гл. чп Обратиися теперь Полагая к дифференциальному уравнению (2.10) у = е" У(х, у, з) (2.24) будем иметь: ду l дкт — = ~де+ — )еь', иу =е и ау+ 2дееиит-+йэеьг)'. дУ дх 1 дхе Следовательно, несимметричное относительно переменных х, у, е дифференциальное уравнение (2.!0) при подстановке (2.24) приводится к симметричному уравнению Гельмгольца ДУ вЂ” дву= О, (2.25) $3. Проникание пластинки в вязкую среду (3.2) (3.3) Рассмотрим вначале простейший пример использования обобщенных уравнений Стокса, Пусть вязкая несжимаемая среда заполннет полупространство вниз от неподвижной оси О,у„(рис.
63). В эту среду с момента х Е = 0 начинает врезаться тонкая "1 пластинка с постоянной скоростью У. Введем связанные с пластинкой подвижные оси координат, начало которых нахолнтся у края пластинки, а положительное направление оси х идат вверх и совпадает с направ- /Г г', ,ф,ф пением самой пластинки. Полные уравнения абсолютного движения вяакой жидкости по отногнению к подвижным осям представятся Рис, 63. в виде (1.3).
Отбрасывая в этих уравнениях: 1) квадратичные члены инерции, 2) локальную производную от вектора скорости по времени, 3) вектор массовой силы, получим дифференциальное уравнение в проекции на ось х ди ! др Едги дги дгиХ У вЂ” = — — — + ч( — + — + — г. дх р дх (две дуг дезу' (3.1) Поскольку движение жидкости вызывается только движением пластинки и на границе среды Огу, давление постоянно, то можно принять градиент давления вдоль оси х равным нулю, т. е. др Р=О.
дх Если считать пластинку в направлении осн е достаточно широкой, то иожно положить; ди — =О. де 233 % 3! пеониканив пластинки в вязктю свндт ди ! д2и дви дх 2В дут дуз (3.4) где п = —. и' (3.5) Таким образом, дифференциальное уравнение (3.4) было получено с помощью: 1) частичного учета квадратичных членов инерции (по Овеену) н 2) частичного учвта членов вязкости (по Рейнольлсу).
Примем следующие граничные условия: !) до подхода края пластинки вся среда пребывает в полном покое, т. е. при х= — 0 и=О; (3.6) 2) частицы жидкости прилипают к сторонам пластинки прн х)0 у=0, и=У; (3.7) 3) при удалении от пластинки в сторону по осн у скорость уменьшается ло нуля, в частности, при у = оо и = О. (3.8) Дифференциальное уравнение (3.4) совпадает с дифференциальным уравнением одномерной задачи теплопроводности. Рассматриваемая же задача при условвях (3.6), (3.7) и (3.3) совпадает формально с задачей нагрева полубесконечного стержня с конца. Решение втой задачи имеет вид О7 и == ~ е-В'с(р= У!! — — ~ е-""яп = — !.
(3.9) в т'йе Вычисляя силу вязкости на пластинке по формуле ди т р ду' получим (т) . = —. пУ у'. или, подставляя значение и из (З.б): пц'д (т) я=в ьг — ' (3.10) (3.11) В предеяах погруженной части пластинки изменение компоненты скорости и в направлении оси у преобладает над изменением втой скорости в продольном направлении .за исключением, быть может, только края пластинки. Следовательно, второй произволной по х от и можно пренебречь по сравнению со второй производной от и по у. Тогда из (3.!) получим следующее дифференциальное уравнение: 234 лвнжвние пги малых числах гейнольдсл ивтод озввнл (гл. чп Таким образом, сила вязкости в какой-либо точке на погружаемой в вязкую среду пластинке пропорциональна скорости в степени з/э н обратно пропорциональна 'квалратному корню из расстояния этой точки от края пластинки. Обозначим ширину пластинки через Ь. Умножая обе части равенства (3.1!) на 2Ьях и интегрируя от нуля до Ь, где Ь вЂ” длина ппгружанной части пластинки, получим следующую формулу для сопротивления трения врезанию тонкой пластинки в вязкую среду Р = — — Ь()п $' руд = — 2,257Ь(РУ ррй.
(3.12) у-к Следовательно, сопрогнвленне прониканию тонкой пластинки в вязкую несжимаемую среду зависит не только от скорости проника. ния () в степени з(з, но и от глубины проникания Ь в степени '/з. 1(опустим, что проннкание пластинки в вязкую среду происходит благодаря тому, что этой п.частнике с весом Р сообщена некоторая начальная скорость (Г. Составляя дифференциальное уравнение движения этой пластинки, получим: Р Л() чл — и-- = — = ()и у'рр(, л дл Разделяя переменные и проволя интегрирование, будем иметь: (3.!3) Обозначая предельную глубцну проникания пластинки через Н, прн которой скорость У обращается в нуль, получим из (3.13) следующую формулу для коэффициента вязкости среды.' эв Р- '1 ,, = — и,— —,—.
1б рдз ЬэН ~' (3,!4) й 4. Задача об обтекании цилиндра В 3 3 главы Ч было показано, что задача об установившемся движении круглого цилиндра в безграничной жидкости на основании уравнений Стокса не может быть решена. Для уравнений же Озеена, в которых квадратичные члены инерции учтены частично, решение этой задачи становится возможным.
!(опустим, что в безграничном потоке вязкой несжимаемой жидкости помещзн неподвижный круглый цилиндр радиуса а (рнс. 64). Полученной формулой можно пользоваться дзя экспериментального определения коэффициента вязкости весьма вязких сред с помощью ударного погружения в ннх тонкой пластинки. 0 4! влдлчл оь оьтеклнии цилиндгл Граничные условия прилипания жидкости к поверхности цилиндра и условия на бесконечности будут прелставляться в виде при г=а о,=О, ие = О; при г= со 'и = Усоь О, оь — — Уь!па, (4.1) Так как вектор скорости частиц жидкости на основании равенств (2.!2) равен и единичный вектор 1 оси х будет составлять с наГччс. 61, правлением г угол О, то при переходе к поляркым координатам г и 0 получим: (4.3) Фуннция о будет удовлетворячь уравнению Лапласа па плоскос~чч дтт ~ дет дхе ' дуя (4 4) а функция у будет представляться в виде ;( = — У+ еелУ, (4 б) где множитель У будет удовлетворять уравнению Гельмгольца дау да у.
дхт дут — + — — ))тУ =- О. (4.0) Проектируя подинтегральное выражение (2,!8) на ось х, получии: дт дт . дтдх дуду дт дх ду дхдг дудг дг' — сов 0-)- — ып 0 = -- - + Следовательно, формула (2.18) для сопротивления цилиндра примет вид )~л=риа ! д еда, 1 дч (4.7) Основное решение уравнения Лапласа (4.4), предсчавляющее потенциал скоростей источника .в начале координат, имеет вид о =!п г. (4М) 0г = — Ут'+ + йгаб(у+2 — у) (4.2) чч = — у соь0+,— —. 1 дт 'че дг 1 дк оь .= у а(0 О+ — — + 2агде дв +— дг ' 1 дт г де' яоо движвнив пзи малых числах звйнольдсл.
метод озввнл [гл. чп Дифференцируя вто решение (4.8) по х и суммируя полученные таким способом новые частные решения, получим для функции е следующий ряд; ОЭ дю Ф =,Га А» дХВ 1П Г. (4.9) Так как д!Пг х сове дх гв ! 2хв ! — 2 сове З сов 2З дв!пг дхв гв гв гв гв 2х ех бхв 6 сов З б сове З гв гв гв дв!пг сов ЗВ гв дхв рв гв дв!пг да,,с з то ряд (4.9) для функции у можно представить в виде р =Ао!п г+ ~~( — 1)" '(п — 1)'Ав — (4 1О) в в Подставляя значение о из (4.10) в (4.7), получим: Ов в* Я„=2прУАе+ ~( — 1)" ~ — „", ~созпбМ. Таким образом, сопротивление круглого цилиндра будет зависеть от одного козффициента, представляющего собой мощность источника (4.В), и будет представляться в виде Общее решение уравнения (4.12) представляется через функции Бесселя нулевого порялка от мнимого аргумента в виде у= Свуо(дг) + авдо (дг). С возрастанием аргумента функция Бесселя ге(йг) неограниченно растет, позтому необходимо положить: С =0.
)2 = 2прУАо. г4.11) Лля функции у. зависящей только от полярного радиуса г, дифференциальное уравнение (4.6) примет вид 1"'+ — У' — ДзУ = О. задача ов овтвкании цнлиндтл Дифференцируя эту функцию источника по х и с, .еируя ревультаты после умножения на постоянные коэффициенты и множитель е", получим следующий ряд для функции у: О у = — У+ е'- „Э', В..р~ Ке(дг). я=0 (4.14) Граничным условиям (4.1) прилипания будем удовлетворять приближенно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
