Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 39
Текст из файла (страница 39)
— — 2+ С,). Входящие з это выражение С, и Сз должны быть определены из условий (9.7) для давления. 224 (гл. в гидводинлмичаскля теогия смазки Таким образом, распределение давления в слое между пластинками будет определяться следующей формулой: р — — ~р + —,)(Š— х) х. бра Е РЛУа 1 лт 5 Полученное решение (9.12) будет отличаться от решения обычных уравнений Рейнольдса дополнительным слагаемым (9.! 2) 5шз — (Š†-л)х, 5Л' которое не зависит от вязкости и пропорционально квадрату скорости поджатия слоя. Умноаеая обе части равенства (9.12) на г)х и интегрируя по переменному х от нуля до Е, получим следующую формулу для сопротивления сжатию вязкого слоя прямолинейной пластинкои ширины Н: г Ез 1 „П Р =- Н ~ Егг)х.== иГвН вЂ” + — 91/,.сŠ—, в Гт ' 5' /!т' О (9.13) Отношение второго сла~аемого в правой части (9.13) к первому будет выражаться через число Рейнольдса слоя таким образом: Уааа 1 (9.14) 5н 5 Следовательно, если число Рейнольлса слоя будет иметь порялок единицы и более, то пренебрегать вторым слзгаемым в формуле (9.13) уже нельзя.
ГЛАВА ЧЛ движение вязкой жидкости при мйлых числАх РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА Е !. Обобшйнные уравнения Стокса Векторное днфференцнальное уравнение лвнження вязкой несжнмаемой жидкости можно представить в следующей форме: дУ 6рвх' дУНу" дреГхе 1 — + — — + — — + — — =гт — — ягабр+тйУ. (1.1) дт дх йс дуЖ дх ей Г Левая часть этого уравнения представляет собой индивидуальную пронзводную от вектора скорости фиксированной частнцы. До снх пор под координатами х, у, х мы рааумелн координаты фнкснрованной точки пространства по отношению к неподвнжной системе координат, тогда множители Фх' еГу* гй' дг' гй г Зе Ге' представляли собой проекцнн вектора скоростн абсолютного движения фиксированной частицы на осп координат. Будем теперь под х, у, х разуметь коордннаты геометрнческой точки по отношению к подвнжной системе коорлннат, имеющей поступательное движение со скоростью 0 н мгновенное вращение с угловой ско.
ростью и (рнс. 61). Прн таком предположе- х нпн производные — —, — будут предИхе еГу' еГх' дг ' егг ' дг Рнс. 61. ставлять собой проекции на осн координат вектора относительной скоростн фнкснрозанной частицы жндкостн. Между векторами абсолютной (У), переносной (У,) н относительной (У,) скоростей имеется следующая зависимость: — Уе+ Уе где / й у.=и+а)(я=и+ а. а, а.. х у кйп движзниз пги малых числах гзйнольдсл. метод овззнл [гл.
чп Так как левую часть уравнения (!.1) можно представить в виде дУ дх' дУ с!у* дУ дв«дУ дУ вЂ” + — — + — — + — — = — ) ! ЧЧ, дс дс д» дс ду дс дз дс где ЧЧ= — г+ — У+ — й, дУ дУ . дУ дх ду дв то векторное дифференциальное уравнение абсолютного движения вязкой несжимаемой жидкости, отнесенное к поднижной системе каор. динзт, будет иметь следующий вид: дУ вЂ” + (У вЂ” 1) — !в Х г) ° Ч Ч = Р— — ига б р+ > 'о Ч.
(1,2) 1 дг Если система координат будет иметь только поступательное дан>кение, совпадающее с поступательным движением рассматриваемого тела, то уравнение (1.2) примет внд дУ ! — +(Ч вЂ” - !1) ЧЧ= Р— — -кгадр+«Ы~. дг Предполагая чис.чо Рейнольдса малым, мы можем, так >ке как и в методе Стокса, отбросить квадратичные члены инерции, содержащие переменный вектор скорости У, т. е. положить: ЧУжО.
!1.4) При етом предположении мы получим из (!.3) уравнение дУ 1 дг — - — !«' ЧУ= Р— — пгадр+«дУ, ().б) которое было впервые предложено Озееном и по его предложению названо векторным обоб>пенныл> уравнением Стокса. Будем предполагать, что ось х поступательно движущейся системы координат прямо противоположна направлению вектора скорости поступательного движения тела.
В таком случае при проектировании левой и правой частей уравнения (!.5) на оси координат и при присоединении уравнения несжимаемости мы получям еле. ду>ощую систему обобщднных дифференциальных уравнений стокса: !1.ь) дс ! ди дг от+ дг ди —.+ д.г 1) — =Р— — — + ° Ли, 1 ди ! др д» е В дх !/ —" = Р— — — Р + «по,, д» в, ду Сг — -= Р— — — +«5т, дт 1др д» * «дв до дьв — + — = О. ду де 227 $ !! оаоп>цаш>иг уРАвцвпия стокса К установлени>о уравнений (1.6) можно полой>и и с лругой сто- роны. Вначале обратим движение, т. е. те,чй и всей л>идкости сообщим поступательное лвижение в направлении, обратном движе- нию тела.
Лля обращенного движения возьмем, яапример, первое уравнение (1.!) в проекцинх на ось х; ди ди ди ди ! др — + и — + о — + ш — =- г" . - - — - + па. де дх ду де ': дх Если бы не было тела, то в обращзнном дан>кении все частицы имели бы скорость (7. Благодаря нзлнчию тела произойдет дефор- мация потока, и частицы будут иметь у>хе другие скорости. Если размеры тела предполтать небольшнмк, то новая компонента ско- рости и будет отличаться от прежней (7 на малую величину, а две другие компоненты скорости будут вообще малыми. 11з атом осноди ванин в левой части (1.7) л>ажно в слагаел>ом и — заменить мно>кидх тель и на (7, а остальными слагаемыми пренебречь.
Таким способом мы и получим чифференциальные уравнения (1.6). Сопоставляя дифференциальные уравнения (1.6) с дифференциаль- ным уравнением Стокса (!А) главы Ч, мы приходим к заключению, что обобщенные уравнения С>полса, введбнные Озеенож, учитывают ли>иь частично квадратичные члены инерции. Если первой ступенью развития приближенных методов использова- ния дифференциа.чьных уравнений движения вязкой жидкости считать дифференциальные уравнения Стокса, а второй ступенью — дифферен- циальные уравнения Рейнольдса для слоя, то уравнения (1.6) Озеена следует считать уже третьей ступенью развития приближенных мето- дов решения отдельных задач авил!ения вязкой несжимаемой жидкости. Свои соображения о целесообразности введения яовых уравне- ний вида (!.6) Озеен построил па основании сравнительной оцен- ки порядка величин отбрасываемых квалратичных членов инерции по отношению к порядку сохраняемых слагаемых от вязкости на примере решения задачи о движении шара.
В конце й 7 главы >7 было указано, что если считать число Рейнольдса меньшим единицы, то и тогда порядок величины отбрасываемых квадратичных членов инерции не может считаться всюду малым по сравнению с порядком величины слагаемых, зависящих от вязкости. В частности, на зна- чительных расстояниях от неподвижного шара порядок величины квадратичных членов инерции будет уже превышать порядок сохра- няемых в уравнениих слагаемых, зависящих от вязкости, причем наибольшие порядки величин на бесконечном удалении от шара ди до дт будут иметь как раз слагаемые и —, и — и и —. Следовательно, дх' дх дх' сохраняя в левых частях уравнений эти слагаемые в приближзнной форме, мы тем самым несколько точнее оправдываем возможность отбрасывания остальных квадратичных членов инерции в бесконечно удалзнных точках потока, 226 движение при малых числах райнольлс*.
матод озввкл (гл. ян 1) 2. Построение решений обобщйнных уравнений Стокса Для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости без учета действия массовых сил обобщенные уравнения Стокса (1.6) представятся в виде (2,1) Лифферен пируя первое уравнение (2.1) по х, второе — по у, третье — по г, складывая результаты и учитывая уравнение несжкмаемости, получим для давления дифференциальное уравнение Лапласа бр=о.
(2.2) Предположим, что вектор скорости У можно представить в виде сунны потенциального вектора и дополнительного вектора У = пгаб у+ Уя, (2.3) иринам потенциал скоростей у удовлетворяет уравнению Лапласа ду=о. (2.4) Подставляя значение и из (2.3) в первое уравнение (2.1), получим: —,'„(и —,"+ ~)+ и',~ =.д,, Так как потенциал скоростей представляет собой пока произвольную гармоническую функцию, а давление р также является гармонической функцией, то мы можем связать зтн две функции, по.
пожив дт р= — рид . (2.6) При этом предположении и при учете равенств (2.3) н (2 4) дифференциальные уравнения (2.!) представятся в виде и— ди дх д и~~ ди дх 1 др р дх = — — — +тпи, 1 др р ду = — — — -1- я оо, 1 др р дг ди дм + — + — = О. ду дг атею и— диг дх и— диз дх и— дог дх диз дх + — + — =о.
дог дмз ду дг (2.6) ф 2) постгоанив гашений ововщяниых гвавнзний стокса 229 Введем обозначение 1 У 2Л" (2.7) Попытаемся удовлетворить дифференциальным уравнениям (2.6), по- лагая 1 д д« 2Я ду' 1 д« 2а дз' (2.8) Подставляя выражения (2.8) в трн последних уравнения (2.6), получим: д / ! д«! 1 — ! из — — = 1+ — ЬХ = О. дх! Я 2Л дх) 2а (2.9) Пусть функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению о«=0 д«! дх 2Л (2.10) При таком предположении первые дза уравнения (2.9) будут удовлетворяться тождественно, а иа последнего получим: — (и — -2я — «+ Х) = О. Этому уравнению мы удовлетворим тождественно, если положим: из —— — «+в 1 д« 2Л дх' (2.1 1) ! д« дт — у+ — — -)— 2» дк дх' ! д«дт 2Л ду г ду 1 д« дт — — +— 2Я дз дг ' дт — рУ вЂ”, дх ' (2,12) При таком представлении скорости иа первое уравнение (2,6) будет также тождественно удовлетворяться в силу уравнения (2.10).
Таким образом, для некоторых случаев установившегося дание. иия вязкой несжимаемой жидкости без учета массовых сил решения обобщенных лифференциальных уравнений Стокса можно представить в анде 230 движвнив пги малых числлх гвйнольдсл. метод озввнл (гл, чн йг , лч .,', Ьч.('=о, — — + — =О. 1 дт дт 2Л дз дз (2.!4) В силу условий (2.14) компоненты вихри (2,!3) на поверхности 5 будут равны (г Дв !) лч дд ' 2а (2,16) Б й 4 главы !11 было показано,, чго главный вектор аш воздействия вязкой янсжимаемой жидкости на неподвижное тело при плоско- параллельном и осесимметричном ее движениях представляется в виде Р = ( ) ( — р! + 2ра.гз) л5, (2.16) тле (, — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5, (в в единичный вектор касательной к поверхносги 5 в плоскости движения частиц жидкости и и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
